6.3.2 第2课时 向量方法研究垂直关系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（苏教版）

向量方法研究垂直关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量法判断或证明直线、平面间的垂直关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.空间中垂直关系的向量表示 位置关系 向量表示 线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔ __________ 线面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔ _______⇔∃λ∈R，使得u=λn 面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔_______⇔ n1·n2=0 u1·u2=0 u∥n n1⊥n2 2.三垂线定理 (1)三垂线定理 若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条___________. (2)三垂线定理的逆定理 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的___________. 斜线垂直 投影垂直 |微|点|助|解| (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直. (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. (3)若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行. (4)若证明面面垂直，则证明两平面的法向量垂直. (5)利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： ①利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直； ②直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两直线的方向向量垂直，则两直线垂直. (　　) (2)若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面垂直. (　　) (3)若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°. (　　) (4)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于直线l在平面α内的投影，则l与m垂直. (　　) 基础落实训练 √ × √ × 2.在空间直角坐标系中，直线l1，l2的方向向量分别为a=(2，1，-3)，b=(2，2，2)，则 (　　) A.l1⊥l2 B.l1∥l2 C.l1与l2异面 D.l1与l2相交 √ 解析：由a·b=(2，1，-3)·(2，2，2)=4+2-6=0，故a⊥b，所以l1⊥l2. 3.已知平面α的一个法向量为a=(1，2，-2)，平面β的一个法向量为b=(-2，-4，k)，若α⊥β，则k= (　　) A.4 B.-4 C.5 D.-5 √ 解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b=-2-8-2k=0，解得k=-5. 4.已知直线l的一个方向向量为m=(x，-1，2)，平面α的一个法向量为n=(1，2，-4)，若直线l与平面α垂直，则实数x的值为 (　　) A.- B.-10 C. D.10 √ 解析：由题意得m=λn，则(x，-1，2)=λ(1，2，-4)，即x=λ，-1=2λ，2=-4λ，解得x=λ=-. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　证明直线与直线垂直 [例1]　如图，在四棱锥P⁃ABCD中，PA⊥平面ABCD， 四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点， 点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处， 都有PE⊥AF. 证明：法一：坐标法　以A为原点，AD，AB，AP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的 空间直角坐标系，设AD=a， 则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)， 于是F. ∵E在BC上，∴设E(m，1，0)， ∴=(m，1，-1)，=. ∵·=0，∴PE⊥AF. ∴无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 法二：基向量法　∵点E在边BC上，可设=λ，∴·=(++)·(+)=(++λ)·(+) =(·+·+·+·+λ·+λ·) =(0-1+1+0+0+0)=0，因此⊥. 故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. |思|维|建|模| 向量法证明线线垂直的思路方法 用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b=0即可，具体方法有以下两种： 坐标法 用坐标表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量积为0 基向量法 将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，计算出两向量的数量积为0 针对训练 1.如图，在直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中，AD∥BC， ∠BAD=90°，AB=，BC=1，AD=AA1=3.求证： AC⊥B1D. 证明：因为在直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，又AB，AD⊂平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD. 又因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，即AA1，AB，AD两两垂直， 故以分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，C(，1，0)，B1(，0，3)，D(0，3，0)， 所以=(，1，0)，=(-，3，-3)， 所以·=-3+3+0=0，所以AC⊥B1D. 题型(二)　证明直线与平面垂直 [例2]　如图，在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中，点E，F 分别为线段AB，A1A的中点，A1A=AC=BC，∠ACB =90°.求证：EF⊥平面B1CE. 证明：由直三棱柱ABC⁃A1B1C1可知CC1⊥平面ABC， 因为CA，CB⊂平面ABC，所以CC1⊥CA，CC1⊥CB， 又因为CA⊥CB.所以以{}为正交基底 建立如图所示的空间直角坐标系， 设A1A=AC=BC=2，则C(0，0，0)，B1(0，2，2)，E(1，1，0)，F(2，0，1)，所以=(1，-1，1)，=(0，2，2)，=(-1，1，2)， 设平面B1CE的法向量为n=(x，y，z)， 则 令z=-1，则y=1，x=-1，即n=(-1，1，-1)， 所以=-n，即∥n， 所以EF⊥平面B1CE. |思|维|建|模| 用向量法证明线面垂直的两种思路 (1)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行. 针对训练 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BDC1. 证明：以点C为原点，分别以为x， y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则A1(1，1，1)，C(0，0，0)，B(0，1，0)，D(1， 0，0)，C1(0，0，1)，所以=(-1，-1，-1)， =(1，-1，0)，=(0，-1，1)，有·=-1+1+0=0且·=0+1-1=0，所以A1C⊥BD且A1C⊥BC1.又BD∩BC1=B，BD，BC1⊂平面BDC1，所以A1C⊥平面BDC1. 题型(三)　证明平面与平面垂直 [例3]　在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，如图，E，F 分别是BB1，CD的中点.求证：平面AD1F⊥平面 ADE. 证明：设棱长为2，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，所以=(2，0，0)，=(2，2，1)，=(-2，0，2)，=(-2，1，0)， 设平面ADE的法向量n=(x，y，z)， 则 取y=1，得n=(0，1，-2).设平面AD1F的法向量m=(a，b，c)， 则取a=1，得m=(1，2，1)， 所以n·m=0+2-2=0，所以n⊥m，即平面AD1F⊥平面ADE. |思|维|建|模| 向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 针对训练 3.如图，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CA=2，则CE=2，BD=1，则C(0，0，0)，A(，1，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，D(0，2，1)，所以=(，1， -2)，=(0，0，2)，=(0，2，-1)，设平面ECA的法向量n1=(x1，y1，z1)， 则取x1=1，则y1=-，z1=0， 即n1=(1，-，0).设平面DEA的法向量n2=(x2，y2，z2)， 则取x2=， 则y2=1，z2=2，即n2=(，1，2)， 因为n1·n2=1×+(-)×1+0×2=0， 所以n1⊥n2，所以平面DEA⊥平面ECA. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知平面α的法向量为n=(4，-4，8)，=(-1，1，-2)，则直线AB与平面α的位置关系为(　　) A.AB⊂α B.AB⊥α C.AB∥α D.AB与α相交但不垂直 √ 解析：由题设知n=-4，即n∥，又n是平面α的一个法向量，所以AB⊥α. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.平面α的法向量为(3，1，-2)，平面β的法向量为(-1，1，k)，若α⊥β，则k= (　　) A.-2 B.2 C.1 D.-1 √ 解析：因为α⊥β，所以3×(-1)+1×1+(-2)×k=0，解得k=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知非零向量a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量，且a=λb(λ≠0)，b·c=0，则a与c的位置关系是 (　　) A.垂直 B.平行 C.相交 D.异面 √ 解析：由a=λb(λ≠0)，b·c=0，则a·c=(λb)·c=λ(b·c)=0，即a⊥c，则直线a⊥c，所以a与c的位置关系是垂直. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知向量n为平面α的一个法向量，l为一条直线l的方向向量，则l∥n是l⊥α的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：向量n为平面α的一个法向量，l为一条直线l的方向向量，若l∥n，则向量l为平面α的一个法向量，l⊥α，充分性成立；若l⊥α，则向量l为平面α的一个法向量，l∥n，必要性成立，则l∥n是l⊥α的充要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，点M在棱DD1上，直线AC1⊥平面A1BM，则点M的位置是 (　　) A.点D B.点D1 C.DD1的中点 D.不存在 √ 解析：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，M(0，0，t)，0≤t≤1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 A(1，0，0)，C1(0，1，1)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)， =(-1，1，1)，=(0，-1，1)，=(-1，-1，t). ∵·=-1×0+1×(-1)+1×1=0，∴AC1⊥BA1. ∵直线AC1⊥平面A1BM，BM⊂平面A1BM，∴AC1⊥BM， ∴·=0，∴-1×(-1)+1×(-1)+1×t=0，解得t=0， 此时点M与点D重合. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知m，n是两条不同直线，方向向量分别是m，n；α，β，γ是三个不同平面，法向量分别是 ， ，γ，下列命题正确的是 (　　) A.若 ·γ=0， ·γ=0，则α⊥β B.若m∥ ，m·n=0，则n∥α C.若m· =0，n· =0，则m∥n D.若m∥ ，m∥ ，则α∥β √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：若 ·γ=0， ·γ=0，可知平面α，β同时垂直于平面γ，但无法确定平面α与β的位置关系，故A错误；若m∥ ，m·n=0，可知m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B错误；若m· =0，n· =0，可知m∥α或m⊂α，n∥α或n⊂α，但无法确定直线m，n的位置关系，故C错误；若m∥ ，m∥ ，可知m⊥ α，m⊥ β，垂直于同一条直线的两平面平行，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.[多选]如图，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则 (　　) A.A1C⊥AB1 B.A1B与AD1所成角为60° C.D1D⊥AF D.A1G∥平面AEF √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在 直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角 坐标系，设正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2， 则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0， 0，0)，E(1，2，0)，F(0，2，1)，G(2，2，1)， A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2).=(0，2，2)，=(-2，2，-2)，·=4-4=0，所以A1C⊥AB1，故A正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 =(0，2，-2)，=(-2，0，2)，cos<>== =-，所以向量与向量的夹角是120°，A1B与AD1所成角为60°，故B正确；=(0，0，2)，=(-2，2，1)，则· =2≠0，故C错误；设平面AEF的法向量为m=(x，y，z)，=(-1，2，0)，=(-1，0，1)，由取x=2，可得m=(2，1，2)，又=(0，2，-1)，m·=2-2=0，∴m⊥.∵A1G⊄平面AEF，∴A1G∥平面AEF，故D正确.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)已知直线l的一个方向向量d=(2，3，5)，平面α的一个法向量n=(4，m，n)，若l⊥α，则m+n=_____.  16 解析：因为l⊥α，所以d∥n，所以==，解得m=6，n=10，所以m+n=16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)已知a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有_____对.  0 解析：因为a·b=(0，1，1)·(1，1，0)=1≠0，a·c=(0，1，1)·(1，0，1)=1≠0，b·c=(1，1，0)·(1，0，1)=1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)在△ABC中，A(1，-2，-1)，B(0，-3，1)，C(2，-2，1).若向量n与平面ABC垂直，且 |n|=，则n的坐标为________________________.  (-2，4，1)或(2，-4，-1) 解析：根据题意可得=(-1，-1，2)，=(1，0，2)，设n=(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，则可得 又∵|n|==，则=，解得y=4或y=-4，当y=4时，x=-2，z=1；当y=-4时，x=2，z=-1.∴n的坐标为(-2，4，1)或(2，-4，-1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知空间三点A(-1，1，1)，B(0，0，1)，C(1，2，-3).若直线 AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为_______________； 若空间中点N满足BN⊥平面ABC，则符合条件的一个点N的坐标是______________________.  解析：设M(x，y，z)，A(-1，1，1)，B(0，0，1)，C(1，2，-3)，∵=(1， -1，0)，=(2，1，-4)，=(x，y，z-1)，=(x-1，y-2，z+3)，∴由题意，得∴x=-，y=，z=1.∴点M的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 设平面ABC的法向量为n=(x，y，z)，则n·=x-y=0，·=2x+y-4z=0. 令x=1，则y=1，z=.∴n=. 设点N的坐标为(a，b，c)，则=(a，b，c-1). 由题知，∥n，即==. ∴点N的坐标满足(4k，4k，3k+1)，其中k≠0. 令k=1，则N(4，4，4). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)如图，在四棱锥E⁃ABCD中，平面ADE⊥平面ABCD，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，AE=DE，AE⊥DE.点N在直线AD上，若平面BMN⊥平面ABE，求线段AN的长. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：连接EO，因为AE=DE，则EO⊥AD，又EO⊂ 平面ADE，且平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩ 平面ABCD=AD，于是得EO⊥平面ABCD，又OB⊂ 平面ABCD，OD⊂平面ABCD，即有EO⊥OB，EO ⊥OD，而四边形BCDO是边长为1的正方形.以O为原点， 分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，由AE=DE，AE⊥DE，得OE=OA=OD=OB=1，则O(0，0，0)，M，A(0，-1，0)，E(0，0，1)，D(0，1，0)，B(1，0，0)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 设N(0，λ，0)(-1≤λ≤1)，=(1，-λ，0)，= =(0，1，1)，=(-1，0，1)，设平面BMN的法向量n=(a，b，c)， 则令a=λ，得n=(λ，1，2λ-1)， 设平面ABE的法向量m=(x，y，z)，则 令x=1，得m=(1，-1，1)，因为平面BMN⊥平面ABE，则有m·n=0，即λ-1+2λ-1=0，解得λ=，所以线段AN的长为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(15分)如图，在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中，AB= 2，BC=CC1=1，E，F分别是DC，A1B1的中点.求证： (1)四边形BFD1E为平行四边形；(7分) 证明：以D为坐标原点，分别为x，y， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0， 0)，E(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，2，1)，F(1， 1，1)，B(1，2，0)，所以=(0，-1，1)，= (0，-1，1)，所以=，又B，F，D1，E四点不共线，所以四边形BFD1E为平行四边形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)B1E⊥平面AED1.(8分) 证明：由(1)知=(1，1，1)，=(1，-1，0)， 所以·=1×0+1×(-1)+1×1=0，·=1×1+1×(-1)+1 ×0=0，所以⊥⊥，即EB1⊥ED1，EB1⊥EA. 又因为ED1∩EA=E，ED1，EA⊂平面AED1. 所以B1E⊥平面AED1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(15分)如图，在棱长为3的正方体ABCD⁃A1B1C1D1 中，点E是棱DD1上的一点，且D1E=2DE. (1)若点F满足=2，求证：CF∥平面A1EC1； (7分) 证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，所以A1(3，0，3)，C1(0，3，3)，E(0，0，1)，C(0，3，0)，B1(3，3，3)，B(3，3，0)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以=(-3，3，0)，=(3，0，2). 设平面A1EC1的法向量n=(x，y，z)， 则令x=2，解得y=2，z=-3，所以平面A1EC1的法向量n=(2，2，-3).若=2，则==(0，0，3)=(0，0，2)，所以=+=(3，0，0)+(0，0，2)=(3，0，2)， 所以n·=2×3-3×2=0，所以n⊥.又CF⊄平面A1EC1， 所以CF∥平面A1EC1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)底面ABCD内是否存在一点P，使得PD1⊥平面 A1EC1?若存在，求出线段DP的长度；若不存在， 请说明理由.(8分) 解：假设底面ABCD内存在一点P，使得PD1⊥平面 A1C1E，设P(a，b，0)(0≤a≤3，0≤b≤3)，又D1(0，0，3)，所以=(a，b，-3).又平面A1EC1的一个法向量n=(2，2，-3)，所以∥n，所以==，解得a=2，b=2，所以底面ABCD内存在一点P，使得PD1⊥平面A1EC1，此时DP==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图2. (1)求证：A1E⊥平面BCDE；(5分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：证明：∵DE⊥AB，AB∥DC，∴DE⊥DC，∵A1D⊥DC，A1D∩DE=D，A1D，DE⊂平面A1DE，∴DC⊥平面A1DE，A1E⊂平面A1DE，∴DC⊥A1E，∵A1E⊥DE，DC∩DE=D，DC，DE⊂平面BCDE，∴A1E⊥平面BCDE. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(10分) 解：由题意，以EB，ED，EA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则DE=2，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，∴=(-2，0，2)，=(2，2，0)，设平面A1BC的法向量为m=(x，y，z)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则令x=-，则m=(-，1，-)， 设P(t，0，0)(0≤t≤2)，则=(t，0，-2)，=(0，2，-2)， 设平面A1DP的法向量为n=(a，b，c)， 则取n=， ∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴n·m=-2+-t=0，解得t=-3， ∵0≤t≤2，∴在线段EB上不存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $