6_3_1 直线的方向向量与平面的法向量（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.3 空间向量的应用 知识点 1 直线的方向向量 6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 必备知识 清单破 6.3.2 空间线面关系的判定 　　我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　　如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作 n⊥α.此时,我们把向量n叫作平面α的法向量. 知识点 2 平面的法向量 知识拓展    若平面α的一个法向量为n=(A,B,C),且平面α经过点P(x0,y0,z0),M(x,y,z)是平面α内任 意一点,则平面α可以用关于x,y,z的三元一次方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0表示. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　　设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则有下表: 知识点 3 空间线面的平行和垂直关系 平行 垂直 l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2 l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1 α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.直线的方向向量(或平面的法向量)唯一吗? 2.若直线l的方向向量a与平面α内两条相交直线的方向向量垂直,则l⊥α吗? 3.若向量n是平面α的一个法向量,表示非零向量m的有向线段所在直线与平面α平行或在平面 α内,则m与n有怎样的关系? 4.若直线的方向向量与平面的法向量垂直,则这条直线一定与平面平行吗? 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不唯一.若直线的方向向量(或平面的法向量)为a,则ka(k∈R,k≠0)也是该直线的方向向量 (或该平面的法向量). 2.垂直.由线面垂直的判定定理知l⊥α. 3.垂直.m·n=0. 4.不一定.这条直线与平面平行或在平面内. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 求平面的法向量的步骤   关键能力 定点破 定点 1 求平面的法向量 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.AB= AP=1,AD= ,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.   第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两互相垂直. 如图,以A为坐标原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,   则A(0,0,0),E ,C(1, ,0), 所以 = , =(1, ,0). 设n=(x,y,z)为平面ACE的一个法向量, 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 则 即  所以  令y=-1,则x=z= , 所以平面ACE的一个法向量为n=( ,-1, ). 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念     1.证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. 2.利用空间向量证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; (2)在平面内找到一个用有向线段表示的向量与直线的方向向量是共线向量; (3)利用共面向量定理,即证明直线的方向向量可用平面内两个不共线向量线性表示. 3.利用空间向量证明面面平行的方法 (1)证明两个平面的法向量平行; (2)转化为线面平行、线线平行来证明. 定点 2 利用空间向量证明空间中的平行关系 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点.求证: (1)MN∥平面A1BD; (2)平面A1BD∥平面CB1D1.   证明    设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念   则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),M ,N , ∴ =(1,0,1), =(1,1,0), =(0,-1,1), =(1,1,0), = . (1)证法一:设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z), 则 即  令x=1,则y=-1,z=-1, 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1). ∵ ·n= ×1+0×(-1)+ ×(-1)=0, ∴ ⊥n. 又MN⊄平面A1BD, ∴MN∥平面A1BD. 证法二:∵ = = (1,0,1)=  , ∴ ∥ . 又MN⊄平面A1BD,DA1⊂平面A1BD, ∴MN∥平面A1BD. (2)设平面CB1D1的一个法向量为m=(x1,y1,z1), 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 则 即  令y1=1,则x1=-1,z1=1, ∴平面CB1D1的一个法向量为m=(-1,1,1), 由(1)知,平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1), ∴m=-n,∴m∥n, 故平面A1BD∥平面CB1D1. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念     1.证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直. 2.利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)利用线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量分别与平面内的两条相交直线的方向向 量垂直; (2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行. 3.利用空间向量证明面面垂直通常有两种途径 (1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直来证明; (2)直接求解两个平面的法向量,由两个平面的法向量垂直,得到面面垂直. 定点 3 利用空间向量证明空间中的垂直关系 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1 BD.   第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 证明    如图所示,取BC,B1C1的中点O,O1,连接AO,OO1.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC. 因为四边形BCC1B1为正方形, 所以BC⊥OO1. 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO⊥BC, 所以AO⊥平面BCC1B1, 所以AO⊥OO1. 所以AO,BC,OO1两两互相垂直. 以O为坐标原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念   则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2, ),A(0,0, ),B1(1,2,0), 所以 =(1,2,- ), =(-1,2, ), =(-2,1,0). 证法一:因为 · =1×(-1)+2×2+(- )× =0, · =1×(-2)+2×1+(- )×0=0, 所以 ⊥ , ⊥ , 即AB1⊥BA1,AB1⊥BD. 又BA1∩BD=B,BA1,BD⊂平面A1BD, 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 所以AB1⊥平面A1BD. 证法二:设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则 即  令x=1,则y=2,z=- , 故n=(1,2,- )为平面A1BD的一个法向量, 又 =(1,2,- ), 所以 ∥n,故AB1⊥平面A1BD. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中 点.求证:平面BDE⊥平面ABCD.   第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 证明    设AS=AB=1,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,   则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),S(0,0,1),E . 证法一:连接AC,交BD于点O,则O ,连接OE. 易知 =(0,0,1), = , ∴ =  , 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD,∴OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABCD. 证法二:设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z). 易知 =(-1,1,0), = , 由 得  令x=1,则y=1,z=0, ∴平面BDE的一个法向量为n=(1,1,0). ∵AS⊥底面ABCD, 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 ∴平面ABCD的一个法向量为 =(0,0,1). ∵n· =0,∴n⊥ , ∴平面BDE⊥平面ABCD. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 　  1.空间向量适用于解决立体几何中的探索性问题,无须进行复杂的作图、推理、论证,只需建 立适当的空间直角坐标系,写出相关向量的坐标,通过坐标运算解决问题. 2.用向量法解决与平行、垂直有关的探索性问题的步骤 (1)根据题设条件中的垂直关系,建立适当的空间直角坐标系,将相关点、相关向量用坐标表 示出来. (2)假设所求的点或参数存在,用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的平行或垂直 关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合限定的范围,则存在,否则不存在. 定点 4 利用空间向量解决探索性问题 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱C1D1的中点,建立适当的空间直角坐标系. (1)求平面AMC的一个法向量; (2)在棱CC1(包含端点)上是否存在点E,使BE∥平面ACM?给出你的结论,并证明; (3)在棱A1B1(包含端点)上是否存在点F,使BF∥平面ACM?给出你的结论,并证明.   第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,   则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),M , 所以 =(-1,1,0), = . (1)设平面ACM的一个法向量为n=(x0,y0,z0),则  第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 令x0=2,则y0=2,z0=1,所以平面ACM的一个法向量为n=(2,2,1). (2)在棱CC1(包含端点)上不存在点E,使BE∥平面ACM.证明如下: 证法一:设E(0,1,t)(0≤t≤1), 因为B(1,1,0),所以 =(-1,0,t), 由(1)知,平面ACM的一个法向量为n=(2,2,1), 若在棱CC1(包含端点)上存在点E,使BE∥平面ACM, 则 ·n=0,即-2+t=0,解得t=2,这与0≤t≤1矛盾, 所以在棱CC1(包含端点)上不存在点E,使BE∥平面ACM. 证法二:设E(0,1,a)(0≤a≤1), 因为B(1,1,0),所以 =(-1,0,a), 若在棱CC1(包含端点)上存在点E,使BE∥平面ACM, 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 则存在有序实数x,y满足 =x +y , 所以(-1,0,a)= , 所以 解得  故a=2与0≤a≤1矛盾, 所以在棱CC1(包含端点)上不存在点E,使BE∥平面ACM. (3)当F为棱A1B1的中点时,BF∥平面ACM.证明如下: 证法一:设F(1,m,1)(0≤m≤1), 因为B(1,1,0),所以 =(0,m-1,1), 由(1)知,平面ACM的一个法向量为n=(2,2,1), 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 若在棱A1B1(包含端点)上存在点F,使BF∥平面ACM, 则 ·n=0, 所以2(m-1)+1=0, 解得m= ,满足0≤m≤1, 所以当F为棱A1B1的中点时,BF∥平面ACM. 证法二:设F(1,b,1)(0≤b≤1), 因为B(1,1,0),所以 =(0,b-1,1), 若在棱A1B1(包含端点)上存在点F,使BF∥平面ACM, 则存在有序实数x',y'满足 =x' +y' , 所以(0,b-1,1)= , 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 所以 解得  所以当F为棱A1B1的中点时,BF∥平面ACM. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 典例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是 AB,PB的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面PAD内是否存在点G,使GF⊥平面PBC?若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明 理由.   第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 解析    以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐 标系,   设AD=a,则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E ,P(0,0,a),F . (1)证明:易得 = , =(0,a,0), ∵ · =0, ∴ ⊥ ,即EF⊥CD. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 (2)存在.∵G∈平面PAD,∴设G(x,0,z), 又F , ∴ = . 由(1)知 =(a,0,0), =(0,-a,a). ∵GF⊥平面PBC, ∴ · = ·(a,0,0)=a =0,  · = ·(0,-a,a)= +a =0, ∴x= ,z=0, ∴G ,故当G为AD的中点时,GF⊥平面PBC. 第6章　空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 $$