6.2.2 第1课时 空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示，通过从直线、平面坐标系过渡的情境导入，以“怎样刻画空间中点的位置”为问题支架，帮助学生建立平面到空间的知识脉络。 其亮点在于以数学抽象和直观想象为核心，通过单位正交基底构建坐标系，结合图形分析点的投影与对称，如例1中点在yOz平面的垂足坐标求解。数学运算方面，通过典例及通性通法总结向量坐标运算步骤，培养学生运算能力。分层作业设计满足不同需求，助力学生构建知识体系，教师可直接用于课堂教学提升效率。

第1课时　空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示 1 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系（数学抽象、直观想象）. 2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标（数学抽象、直观想象）. 3.掌握空间向量的线性运算的坐标表示（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上 的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻 画点在平面内的位置. 【问题】　怎样才能刻画空间中点的位置呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　空间向量的坐标 1. 空间直角坐标系 如图，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原 点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴： ⁠ ，它们都叫作坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角 坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条 确定一个坐标平面，分别称为 平面、 平面 和 平面. x轴、y轴、z 轴　 xOy　 yOz　 zOx　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6 2. 空间中点的坐标的求法 如图，在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一点P，我们称向量 为点P的位置向量.把与向量 对应的有序实数组（x，y，z）叫作点P 的坐标，记作 ⁠. P（x，y，z）　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 　在空间直角坐标系中，向量 （O为坐标原点）的坐标与终点P的坐标 有何关系？ 提示：O为坐标原点，向量 的坐标与点P的坐标相同. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　空间向量的坐标表示及运算 1. 空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基 本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a＝a1i＋a2j＋a3k. 有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标， 记作a＝ ⁠. （a1，a2，a3）　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 空间向量的坐标运算 （1）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）， 则a＋b＝ ⁠. a－b＝ ⁠， λa＝ （λ∈R）. （2）若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 ＝ － ＝ ⁠ .这就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量 的有向线段的 坐标减去它的 坐标. （x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）　 （x1－x2，y1－y2，z1－z2）　 （λx1，λy1，λz1）　 （x2 －x1，y2－y1，z2－z1）　 终点　 起点　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点三　空间向量平行的坐标表示 已知空间向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），且a≠0，则 a∥b⇔b＝λa⇔ （λ∈R）. x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知a＝（1，－2，1），a＋b＝（－1，2，－1），则b＝（　　） A. （2，－4，2） B. （－2，4，－2） C. （－2，0，－2） D. （2，1，－3） 解析： 　∵a＋b＝（－1，2，－1），∴b＝（a＋b）－a＝（－1， 2，－1）－（1，－2，1）＝（－2，4，－2）.故选B. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，则图中的点M的坐标 为 ⁠. 解析：易得D（2，－2，0），C'（0，－2，2），所以线段DC'的中点M 的坐标为（1，－2，1）. （1，－2，1） 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 设a＝（2，4，m＋1），b＝（4，3n－1，8），若a∥b，则m＋n ＝ ⁠. 解析：∵a∥b，∴ ＝ ＝ ，∴m＝3，n＝3，∴m＋n＝6. 6 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜空间中点的坐标表示 【例1】　（1）在空间直角坐标系中，已知点P（1， ， ），过点P 作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（　B　） A. （0， ，0） B. （0， ， ） C. （1，0， ） D. （1， ，0） 解析： 由于垂足在yOz平面内，所以纵坐标、竖坐标不变，横坐标为0， 即Q（0， ， ）. B 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于 坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标 为 ⁠. 解析：点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为（2，3， 1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关 于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）. （2，－3，1） 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 求空间一点P的坐标有两种方法：（1）利用点在坐标轴上的投影求 解；（2）利用单位正交基底表示向量 ， 的坐标就是点P的坐标. 2. 空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题求解.其规律 为“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 在空间直角坐标系中，已知点M（a，b，c），给出下列命题： ①点M关于x轴的对称点M1的坐标为（a，－b，c）； ②点M关于yOz平面的对称点M2的坐标为（a，－b，－c）； ③点M关于y轴的对称点M3的坐标为（a，－b，c）； ④点M关于原点的对称点M4的坐标为（－a，b，－c）. 其中真命题的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：　①点M关于x轴的对称点M1的坐标为（a，－b，－c），故错 误；②点M关于yOz平面的对称点M2的坐标为（－a，b，c），故错误； ③点M关于y轴的对称点M3的坐标为（－a，b，－c），故错误；④点M 关于原点的对称点M4的坐标为（－a，－b，－c），故错误.故选D. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝ 4，则PD的中点M的坐标为 ⁠. ​ 解析：由题意知PO＝ ＝ ＝ ，点M在x轴、y轴、z轴上的投影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－ ，0， ，所以点M的坐标为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜空间向量的坐标表示及运算 角度1　空间向量的坐标表示 【例2】　在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，以{ ， ， }为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求 ， 的坐标. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：因为 ＝－ ＝－（ ＋ ） ＝－ ＝－ － － ， 所以 ＝（－2，－1，－4）. 因为 ＝ － ＝ －（ ＋ ） ＝ － － ，所以 ＝（－4，2，－4）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 用坐标表示空间向量的步骤 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 角度2　空间向量的坐标运算 【例3】　（链接教科书第23页例2）（1）已知a＝（2，－3，1），b＝ （2，0，3），c＝（0，0，2）.则a＋6b－8c＝ ⁠； 解析：∵a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），∴a＋ 6b－8c＝（2，－3，1）＋6（2，0，3）－8（0，0，2）＝（14，－3， 3）. （2）已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，2）， （4，5，－1），（－2，2，3），若 ＝ （ － ），则点P的坐标 为 ⁠. （14，－3，3） （5， ，0） 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：∵ ＝（2，6，－3）， ＝（－4，3，1），∴ － ＝ （6，3，－4），∴ （ － ）＝（3， ，－2）.设点P的坐标为 （x，y，z），则 ＝（x－2，y＋1，z－2）.∵ ＝ （ － ），∴ 解得 则点P的坐标为（5， ，0）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间 向量坐标运算公式计算； （2）由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建 立方程组，解方程组求出其坐标. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且 ＝2a，则点B 的坐标为（　　） A. （－7，10，24） B. （7，－10，－24） C. （－6，8，24） D. （－5，6，24） 解析： 　∵a＝（－3，4，12），且 ＝2a，∴ ＝（－6，8， 24）.∵A的坐标为（1，－2，0），∴ ＝（1，－2，0）， ＝ ＋ ＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），∴点B的坐标为（－ 5，6，24）.故选D. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5， λ），若a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为 （　　） A. B. 9 C. D. 0 解析： 　∵a，b，c三向量不能构成空间的一个基底，∴这三个向量共 面，∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，即（7，5，λ）＝m（2，－ 1，3）＋n（－1，4，－2），∴2m－n＝7，－m＋4n＝5，3m－2n＝ λ，解得λ＝ .故选A. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜空间向量平行的坐标表示及应用 【例4】　（链接教科书第23页例3）已知四边形ABCD的顶点坐标分别是 A（3，－1，2），B（1，2，－1），C（－1，1，－3），D（3，－5， 3），求证：四边形ABCD是一个梯形. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：∵ ＝（1，2，－1）－（3，－1，2）＝（－2，3，－3）， ＝（3，－5，3）－（－1，1，－3）＝（4，－6，6）， ∴ ＝ ＝ ， ∴ 与 共线，即AB∥CD， 又∵ ＝（3，－5，3）－（3，－1，2）＝（0，－4，1）， ＝（－1，1，－3）－（1，2，－1）＝（－2，－1，－2）， ∴ ≠ ≠ ， ∴ 与 不平行. ∴四边形ABCD为梯形. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 判断空间向量平行的步骤 （1）向量化：将空间中的平行转化为向量的平行； （2）向量关系代数化：写出向量的坐标； （3）对于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），根据x1＝λx2，y1＝ λy2，z1＝λz2（λ∈R）或 ＝ ＝ （x2，y2，z2都不为0）判断两向 量是否平行. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 若四边形ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，1）， C（3，7，－5），则顶点D的坐标为（　　） A. （5，12，－2） B. （12，5，－2） C. （5，13，－3） D. （13，5，－3） 解析： 　由四边形ABCD是平行四边形知 ＝ .设D（x，y，z）， 则 ＝（x－4，y－1，z－3），又 ＝（1，12，－6），所以 解得 即D点坐标为（5，13，－3）. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知向量a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1）.若向量a＋b与向量c＝ （m，2，n）平行，则实数n＝（　　） A. 6 B. －6 C. 4 D. －4 解析： 　因为a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1），所以a＋b＝（1， －1，2），又因为向量a＋b与向量c＝（m，2，n）平行，所以存在实数 λ，使得λ（a＋b）＝c，所以 解得 故选D. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知向量a＝（1，－2，1），a－b＝（－1，2，－1），则向量b＝ （　　） A. （2，－4，2） B. （－2，4，－2） C. （－2，0，－2） D. （2，1，－3） 解析： 　由已知可得b＝（1，－2，1）－（－1，2，－1）＝（2，－4， 2）.故选A. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 在空间直角坐标系O-xyz中，若点M（2a－a2，b＋1，2c－1）关于z 轴的对称点M'的坐标为（－1，2，9），则a＋b＋c＝（　　） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 解析： 　依题意，点M（2a－a2，b＋1，2c－1）关于z轴的对称点为 M'（a2－2a，－b－1，2c－1），得 解得 所 以a＋b＋c＝3. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 〔多选〕已知向量a＝（λ＋1，2，3μ－1）与b＝（6，2λ，0）共 线，则实数λ的值可能是（　　） A. －3 B. 2 C. D. 0 解析： 　∵a∥b，∴存在实数k使得a＝kb，∴ 解得λ ＝－3或λ＝2.故选A、B. √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，向量 的坐标为 ⁠. ​ 解析：因为PA＝AD＝AB＝1，所以可设 ＝i， ＝j， ＝k. 因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ ＋ ＋ ）＝－ ＋ ＋ （－ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＝ j＋ k，所以 ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 设{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝ －2e1－3e2＋7e3，则a＋b＝（　　） A. （2，－11，10） B. （－2，11，－10） C. （－2，11，10） D. （2，11，－10） 解析：　a＋b＝2e1－11e2＋10e3，由于{e1，e2，e3}是空间的一个单位 正交基底，所以a＋b＝（2，－11，10）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若 ＝ （O为坐标原 点），则点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 解析： 　∵ ＝（－3，7，－5），∴ ＝ （－3，7，－5）＝（－ 2， ，－ ）.∴点C的坐标为（－2， ，－ ）.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图所示的空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，｜PQ｜＝3｜ PR｜，则点R的坐标为（　　） A. （ ，2， ） B. （1，2，3） C. （3，2，1） D. （1，2，1） 解析：　由题意，P（2，2，2），Q（0，2，0），所以 ＝（－2， 0，－2）.因为｜PQ｜＝3｜PR｜，所以 ＝ ＝（ － ，0，－ ），所以R（ ，2， ）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知向量a＝（1，2，1），b＝（3，2，2），且（ka＋b）∥（a－ 2b），则实数k的值为（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　向量a＝（1，2，1），b＝（3，2，2），则ka＋b＝（k＋3， 2k＋2，k＋2），a－2b＝（－5，－2，－3），因为（ka＋b）∥（a－ 2b），则 ＝ ＝ ，解得k＝－ ，所以实数k的值为－ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕如图，在长方体OABC-O'A'B'C'中，OA＝1，OC＝3，OO'＝ 2，点E在线段AO的延长线上，且OE＝ ，则下列向量坐标表示正确的有 （　　） A. ＝（3，0，0） B. ＝（1，0，2） C. ＝（ ，3，2） D. ＝（－ ，3，0） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设x，y，z轴正方向的单位向量分别为i，j，k，则 ＝i， ＝3j， ＝2k，所以 ＝（0，3，0），故A不正确；因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ，所以 ＝（1，0，2），故B正确；因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，所以 ＝（ ，3，2），故C正 确；因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ，所以 ＝（ ，3，0），故D不正 确.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕下列各命题正确的是（　　） A. 点（1，－2，3）关于平面Oxz的对称点为（1，2，3） B. 点 关于y轴的对称点为 C. 点（2，－1，3）到平面Oyz的距离为1 D. 设{i，j，k}是空间向量单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝ （3，－2，4） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　A项，关于平面Oxz的对称点，x，z不变，y变为相反数， 则（1，－2，3）的对称点为（1，2，3），正确；B项，关于y轴的对称 点，y不变，x，z变为相反数，则 的对称点为 ， 正确；C项，空间点到平面Oyz的距离为该点x坐标值的绝对值，则（2， －1，3）到面Oyz的距离为2，错误；D项，根据空间向量的正交分解中正 交基系数的含义知m＝3i－2j＋4k表示m＝（3，－2，4），正确.故选 A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 若向量a＝（2，－1，1），b＝（ 1，－ ， ），则这两个向量的位置 关系是 ⁠. 解析：因为a＝2b，所以两个向量平行（共线）. 平行（共线） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知点A（λ＋1，μ－1，3），B（2λ，μ，λ－2μ），C（λ＋ 3，μ－3，9）三点共线，则实数λ＝ ，μ＝ ⁠. 解析：因为 ＝（λ－1，1，λ－2μ－3）， ＝（2，－2，6），由 A，B，C三点共线，得 ∥ ，即 ＝－ ＝ ，解得λ＝0， μ＝0. 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝ 1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，则向量 的坐标为 ⁠. ​ 解析：因为AB＝BC＝PB＝1，所以可设 ＝i， ＝j， ＝k，所以 ＝ ＋ ＝－ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝ － ＝ i－ k＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点， 并且AB＝AP＝1，以{ ， ， }为单位正交基底建立如图所示的空 间直角坐标系，求 ， 的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：设 ＝e1， ＝e2， ＝e3，则 ＝ ＝e2， ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ ＋ ＋ ） ＝－ e2＋e3＋ （－e3－e1＋e2） ＝－ e1＋ e3， ∴ ＝（－ ，0， ）， ＝（0，1，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 如图，空间四边形ABCD中，若向量 ＝（－3，5，2）， ＝（－ 7，－1，－4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则 的坐标为 （　　） A. （2，3，3） B. （－2，－3，－3） C. （5，－2，1） D. （－5，2，－1） 解析： 　取AC中点M，连接ME，MF（图略），则 ＝ ＝（－ ， ，1）， ＝ ＝（－ ，－ ，－2），所以 ＝ － ＝ （－2，－3，－3），故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1 ＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标 系，则（　　） A. 点B1的坐标为（4，5，3） B. 点C1关于点B对称的点的坐标为（5，8，－3） C. 点A关于直线BD1对称的点的坐标为（0，5，3） D. 点C关于平面ABB1A1对称的点的坐标为（8，5，0） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意可知，点B1的坐标为（4，5，3），点C1（0，5，3） 关于点B对称的点的坐标为（8，5，－3），点A关于直线BD1对称的点为 C1（0，5，3），点C（0，5，0）关于平面ABB1A1对称的点的坐标为 （8，5，0），因此A、C、D正确，B错误.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，－5），D （x，－1，3）共面，则x的值为 ⁠. 解析： ＝（－2，2，－2）， ＝（－1，6，－8）， ＝（x－4， －2，0）.因为A，B，C，D四点共面，所以 ， ， 共面，所以 存在实数λ，μ，使 ＝λ ＋μ ，即（x－4，－2，0）＝（－2λ －μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ），所以 解得 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）. （1）求 ＋ ， － ； ＋ ＝（1，1，0）＋（－1，0，2）＝（0，1，2）. － ＝（1，1，0）－（－1，0，2）＝（2，1，－2）. 解： ＝（－1，1，2）－（－2，0，2）＝（1，1，0）， ＝（－3，0，4）－（－2，0，2）＝（－1，0，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：假设存在x，y∈R满足条件， 由已知可得 ＝（－2，－1，2）. 由题意得（－1，0，2）＝x（1，1，0）＋y（－2，－1，2）， 所以（－1，0，2）＝（x－2y，x－y，2y）， 所以 所以 所以存在实数x＝1，y＝1使得结论成立. （2）是否存在实数x，y，使得 ＝x ＋y 成立？若存在，求x，y 的值；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面 ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：如图所示，以D为原点， ， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0）， A1（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，1）. 因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为（ ，0， ）. 因为点H在平面ABCD上，所以设点H的坐标为（m，n，0）. 因为 ＝（m，n，0）－（ ，0， ）＝（m－ ，n，－ ）， ＝（0，0，1）－（1，1，0）＝（－1，－1，1），又 ∥ ， 所以 ＝ ＝ ，解得m＝1，n＝ . 所以点H的坐标为（1， ，0），即H为线段AB的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $