第6章 空间向量与立体几何 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件系统梳理了空间向量与立体几何的核心内容，通过体系构建将空间向量基本定理、坐标运算与立体几何中的位置关系、空间角、距离计算等知识串联，形成从概念到运算再到应用的完整知识网络。 其亮点在于以例题解析和跟踪训练为载体，如通过平行六面体中向量线性运算、直三棱柱中数量积应用等实例，培养学生用数学思维推理空间关系、用数学语言表达坐标运算的能力。分层设计的反思感悟和变式练习，帮助学生巩固方法，也为教师提供精准复习的教学支持。

第六章　空间向量与立体几何 章末整合提升　体系构建 素养提升 1 体系构建 体系构建 数学·选择性必修第二册（SJ） 素养提升 素养提升 一、空间向量的概念及运算 　　向量的运算包含线性运算、数量积运算和坐标运算，其中线性运算是 研究向量共面、共线的数学表达形式.利用数量积可以解决有关垂直、夹 角、长度问题. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【例1】　（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设 ＝a， ＝ b， ＝c，M，P分别是AA1，C1D1的中点，则 ＝（　C　） A. a＋ b＋ c B. a＋ c C. a＋ b＋c D. a＋ b＋ c 解析：如图，由题意，M，P分别是AA1，C1D1的中点， ∴ ＝ ＋ ＝ ＋（ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ a＋ b＋c.故选C. C 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1 ＝2，G，E，D分别是棱A1B1，CC1，AC的中点，F是棱AB上的点，若 · ＝－1，则线段DF的长度为 ⁠. ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则G（1，0， 2），E（0，2，1），D（0，1，0），故 ＝（－1，1， －2）.又F是棱AB上的点，所以设F（a，0，0），则 ＝（a，－2，－1），因为 · ＝－1，所以－a－2＋2 ＝－1，解得a＝1.所以F（1，0，0），故DF＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 反思感悟 1. 空间向量数量积的3个应用 （1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ，进而可求 两异面直线所成的角； （2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问题 转化为向量数量积的计算问题； （3）解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问 题转化为向量数量积的计算问题. 数学·选择性必修第二册（SJ） 2. 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 1. 已知不共面的三个向量a，b，c都是单位向量，且夹角都是 ，则向量 a－b－c和b的夹角为（　　） A. B. C. D. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　由题意，得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a·b＝a·c＝b·c＝ ， ∴｜a－b－c｜＝ ＝ ＝ ，（a－b－c）·b＝a·b－b2－b·c＝－1.设向量a－b－c和b的夹 角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝－ ，又θ∈[0，π]，∴θ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 2. 已知A，B，C三点不共线，点O为空间任意一点，若点M满足 ＝ ＋ ＋ ，则点M （填“∈”或“∉”）平面ABC. 解析： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ － ）＝ ＋ ＋ ，∵ ＋ ＋ ＝1，∴M，A，B，C四点共面，即点M∈ 平面ABC. ∈ 数学·选择性必修第二册（SJ） 二、利用空间向量证明位置关系 　　用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线 面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为 线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明. 【例2】　在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面 ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点. 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）求证：BM∥平面PAD； 解： 证明：以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分 别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B （1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2， 0），M（1，1，1）， ∵ ＝（0，1，1），平面PAD的一个法向量为n＝（1， 0，0）， ∴ ·n＝0，即 ⊥n， 又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的 位置；若不存在，说明理由. 解： 由（1）知， ＝（－1，2，0）， ＝（1，0，－2）， 假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD. 设N（0，y，z），则 ＝（－1，y－1，z－1）， 从而MN⊥BD，MN⊥PB， ∴ 即 数学·选择性必修第二册（SJ） ∴ ∴N（0， ， ）， ∴在平面PAD内存在一点N（0， ， ），使MN⊥平面PBD. 数学·选择性必修第二册（SJ） 反思感悟 利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重 心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证： 平面EFG⊥平面PBC. 数学·选择性必修第二册（SJ） 证明：由题意，以三棱锥的顶点P为坐标原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设PA＝PB＝PC＝3，则P（0，0，0），A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，0，3），E（0，2，1），F（0，1，0），G（1，1，0）. 于是 ＝（3，0，0）， ＝（1，0，0）， 故 ＝3 ，∴PA∥FG. ∵在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直， ∴AP⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC. 又∵FG⊂平面GEF，∴平面GEF⊥平面PBC. 数学·选择性必修第二册（SJ） 三、利用空间向量求空间角 1. 设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足 cos θ＝｜ cos ＜m1，m2＞｜. 2. 设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α 所成的角θ满足 sin θ＝｜ cos ＜m，n＞｜. 3. 设n1，n2分别是二面角的两个半平面α，β的法向量，则二面角的平面 角与这两个平面的法向量的夹角相等或互补. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【例3】　如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的 正方形，O为AC与BD的交点，AA1＝2，∠C1CB＝∠C1CD，∠C1CO＝ 45°. （1）证明：C1O⊥平面ABCD； 数学·选择性必修第二册（SJ） 解：证明： ＝ ＋ ＝ － （ ＋ ）， · ＝［ － （ ＋ ）］·（ － ）＝（ · － · ）－ （ － ）＝0，∴C1O⊥BD， 而CC1＝2，CO＝ ，∠C1CO＝45°，∴C1O＝ ，∴C1O2＋OC2＝C ，∴C1O⊥OC， ∵BD∩OC＝O，BD，AC⊂平面ABCD，∴C1O⊥平面ABCD. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）求二面角B-AA1-D的正弦值. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，∴B （ ，0，0），A（0，－ ，0），C1（0，0， ），C（0， ，0），A1（0，－2 ， ），D（－ ，0，0）， 设平面AA1B与平面AA1D的一个法向量分别为n1＝ （x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）， 又 ＝（0，－ ， ）， ＝（ ， ， 0）， ＝（－ ， ，0）， ∴ ⇒n1＝（1，－1，－1）， 数学·选择性必修第二册（SJ） ⇒n2＝（1，1，1）， 设二面角B-AA1-D的平面角为θ， ∴｜ cos θ｜＝ ＝ ＝ ，∴ sin θ ＝ .故二面角B-AA1-D的正弦值为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 反思感悟 1. 两异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，两异面直线的方向向量所 成角的范围为0°＜θ＜180°. 2. 要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a 的方向向量a夹角的余弦值 cos ＜n，a＞，而θ＝＜n，a＞－ 或 －＜ n，a＞. 3. 二面角的范围为（0，π），二面角需要根据图形判断是锐角还是钝角. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 （2024·新高考Ⅱ卷17题）如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3， AD＝5 ，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足 ＝ ， ＝ .将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4 . 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）证明：EF⊥PD； 解：证明：由AB＝8，AD＝5 ， ＝ ，＝ ，得AE＝2 ，AF＝4， 又∠BAD＝30°，在△AEF中，由余弦定理得 EF＝ ＝ ＝2， 所以AE2＋EF2＝AF2， 数学·选择性必修第二册（SJ） 则AE⊥EF，即EF⊥AD， 由翻折的性质知EF⊥PE，EF⊥DE，又PE∩DE＝E，PE，DE⊂平面 PDE， 所以EF⊥平面PDE，又PD⊂平面PDE， 故EF⊥PD. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 解：连接CE，由∠ADC＝90°，ED＝3 ，CD ＝3，则CE2＝ED2＋CD2＝36， 在△PEC中，PC＝4 ，PE＝2 ，EC＝6，得EC2 ＋PE2＝PC2， 所以PE⊥EC，由（1）知PE⊥EF，又EC∩EF＝E， EC，EF⊂平面ABCD， 所以PE⊥平面ABCD，又ED⊂平面ABCD， 所以PE⊥ED，则PE，EF，ED两两垂直，建立如图 空间直角坐标系E-xyz， 则P（0，0，2 ），D（0，3 ，0），C（3， 3 ，0），F（2，0，0），A（0，－2 ，0）， 由F是AB的中点，得B（4，2 ，0）， 数学·选择性必修第二册（SJ） 所以 ＝（3，3 ，－2 ）， ＝（0，3 ，－2 ）， ＝（4，2 ，－2 ）， ＝（2，0，－2 ）， 设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n＝（x1，y1，z1），m＝（x2，y2，z2）， 则 ​ 令y1＝2，x2＝ ，得x1＝0，z1＝3，y2＝－1，z2＝1， 所以n＝（0，2，3），m＝（ ，－1，1）， 数学·选择性必修第二册（SJ） 所以｜ cos ＜m，n＞｜＝ ＝ ＝ ， 设平面PCD和平面PBF所成二面角为θ，则 sin θ＝ ＝ ， 即平面PCD与平面PBF所成二面角的正弦值为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 四、利用空间向量求距离 1. 点P到平面α的距离d＝ （其中P是平面α外一点，A∈α，n 为平面α的法向量）. 2. 点P到直线l的距离： 公式①d＝ ； 公式②d＝｜ ｜ sin ＜ ，e＞（其中P是直线l外一点，A∈l，n是 与直线l垂直的直线的方向向量，e是直线l的方向向量）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【例4】　如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所 截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1. （1）求BF的长； 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C （0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）. 设F（0，0，z）.由题意得AEC1F为平行四边形， ∴ ＝ ，∴（－2，0，z）＝（－2，0，2）， ∴z＝2，∴F（0，0，2）.∴ ＝（－2，－4，2）， ∴｜ ｜＝2 ，即BF的长为2 . 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）求点C到平面AEC1F的距离. 解：设n＝（x，y，z）为平面AEC1F的法向量， 由（1）可知 ＝（0，4，1）， ＝（－2，0，2）， 则 ⇒ 令x＝1，则z＝1，y＝－ ，∴n＝ . 又 ＝（0，0，3），∴点C到平面AEC1F的距离d＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 反思感悟 　　利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任 一点连线表示的向量，代入公式求解即可. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 1. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直 线AC的距离为（　　） A. a B. a C. a D. a √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　如图建立空间直角坐标系，易得C（a，a， 0），D1（0，a，2a），则 ＝（－a，0，2a）， ＝ （－a，－a，0），所以 cos ＜ ， ＞＝ ， sin ＜ ， ＞＝ ，则点D1到直线AC的距离为d＝｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝ a. 数学·选择性必修第二册（SJ） 2. 在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4， ∠PBC＝45°，则点C到平面PAB的距离是（　　） A. B. C. D. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0）， P（0，4，4 ），∴ ＝（0，4，4 ）， ＝（4，0，0）， ＝（0，0，－4 ）.设平面PAB的法向量为m＝ （x，y，z），则 即 令y＝ ，则z＝－ 1，∴m＝（0， ，－1），∴点C到平面PAB的距离为 ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） $