6.2.1 空间向量基本定理-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理及推论，涵盖基底表示与几何应用。通过正方体情境导入，以单位向量共面及表示问题引导思考，衔接平面向量知识，搭建从已知到空间向量的学习支架。 其亮点在于以情境问题驱动，结合正方体、三棱柱等模型，通过基底判断、向量表示及几何证明（如OG⊥BC）等典例，落实数学抽象、直观想象与逻辑推理。分层作业设计（A/B/C级）满足不同需求，帮助学生提升空间观念与运算能力，为教师提供系统教学资源，便于实施分层教学。

6.2.1　空间向量基本定理 1 1.理解空间向量基本定理及其推论（数学抽象、直观想象）. 2.会根据需要选择适当的基底来表示任一空间向量（数学运算）. 3.会用向量基底法求解简单的几何问题（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上 分别取单位向量e1，e2，e3. 【问题】　（1）e1，e2，e3共面吗？ （2）如何用e1，e2，e3表示向量 ？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　空间向量基本定理 1. 定理：如果三个向量e1，e2，e3 ，那么对空间任一向量p， 存在 的有序实数组（x，y，z），使p＝ ，其 中{e1，e2，e3}称为空间的一个 ，e1，e2，e3叫作 ⁠. 2. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存 在唯一的有序实数组（x，y，z），使得 ＝ ⁠. 不共面　 唯一　 xe1＋ye2＋ze3　 基底　 基向量　 x ＋y ＋z 　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 1. 构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？ 提示：不可以. 2. 在四棱锥O-ABCD中， 可表示为 ＝x ＋y ＋z 且唯一， 这种说法对吗？ 提示：对. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　正交基底与单位正交基底 1. 正交基底：如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基 底叫作正交基底. 2. 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个 基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）空间向量的基底是唯一的. （　×　） （2）若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量. （　√　） （3）已知A，B，M，N是空间四点，若 ， ， 不能构成空间的 一个基底，则A，B，M，N共面. （　√　） × √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以构成空间的一个基底的是（　　） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 解析： 　由题意知 ， ， 不共面，可以构成空间向量的一个 基底. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若 ＝3i， ＝2j， ＝5k，则 ＝（　　） A. i＋j＋k B. i＋ j＋ k C. 3i＋2j＋5k D. 3i＋2j－5k 解析： 　因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，所以 ＝3i ＋2j＋5k，故选C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜基底的判断 【例1】　（链接教科书第20页练习1题）〔多选〕已知{a，b，c}是空间 的一个基底，则下列选项中不能构成空间的一个基底的是（　　） A. {a，a－2b，2a＋b} B. {b，b＋c，b－c} C. {2a－3b，a＋b，a－b} D. {a＋b，b－c，c＋2a} 解析： 　只有D选项中的三个向量不共面，其他选项中的三个向量都 共面. √ √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 判断基底的基本思路 （1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否 共面，若不共面，就可以构成一个基底； （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何 体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础 上构造其他向量进行相关的判断. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 若向量 ， ， 的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共 线，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量 ， ， 构 成空间一个基底的关系是（　　） A. ＝ ＋ ＋ B. ≠ ＋ C. ＝ ＋ ＋ D. ＝2 － √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　A中，因为 ＋ ＋ ＝1，所以M，A，B，C四点共面，不满 足题意；B中， ≠ ＋ ，但可能 ＝λ ＋μ ，所以 M，A，B，C四点可能共面，不满足题意；D中，因为 ＝2 － ，所以M，A，B，C四点共面，不满足题意.只有C中式子满足题 意，故选C. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 ＝e1＋2e2－e3， ＝－ 3e1＋e2＋2e3， ＝e1＋e2－e3，试判断{ ， ， }能否作为空间 的一个基底. 解：设 ＝x ＋y ，则e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1 ＋e2－e3）， 即e1＋2e2－e3＝（y－3x）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3， 所以 此方程组无解. 即不存在实数x，y，使得 ＝x ＋y ， 所以 ， ， 不共面， 所以{ ， ， }能作为空间的一个基底. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜用基底表示空间向量 【例2】　（链接教科书第19页例1）如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已 知 ＝a， ＝b， ＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用 基底{a，b，c}表示向量 ， . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ （ － ）＋ ＝ ＋ ＋ ＝ （a＋b＋c）. 连接A'N（图略）， ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ） ＝ ＋ （ ＋ ）＝a＋ b＋ c. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 用基底表示向量的策略 （1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形 法则，以及向量数乘的运算律； （2）若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方 便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用基向量 ， ， 表示 和 . 解： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝ ＋ × （ ＋ ）＝ ＋ ＋ . ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜空间向量基本定理的应用 【例3】　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三 条棱的长度都为1，且两两夹角为60°. （1）求AC1的长； 解：设 ＝a， ＝b， ＝c， 则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1， ＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°， 所以a·b＝b·c＝c·a＝ . ｜ ｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋ c·a）＝1＋1＋1＋2×（ ＋ ＋ ）＝6， 所以｜ ｜＝ ，即AC1的长为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求BD1与AC所成角的余弦值. 解： ＝b＋c－a， ＝a＋b， 所以｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， · ＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1. 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ . 所以AC与BD1所成角的余弦值为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤 　　首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基 底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个正交基底.然后 根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运 算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，最后把空间向量的运 算转化为基向量的运算. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB ＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证： OG⊥BC. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：在空间四边形OABC中，令 ＝a， ＝b， ＝c，则｜a｜ ＝｜b｜＝｜c｜， 令∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，因为G是MN的中点， 则 ＝ （ ＋ ）＝ ［ ＋ （ ＋ ）］＝ （a＋b＋ c）， ＝ － ＝c－b， 于是得 · ＝ （a＋b＋c）·（c－b）＝ （a·c－a·b＋b·c－b2＋ c2－b·c） ＝ （｜a｜2 cos θ－｜a｜2 cos θ－｜a｜2＋｜a｜2）＝0， 因此 ⊥ ，所以OG⊥BC. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列结论正确的是（　　） A. 三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向 量共线 C. 若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且 λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一个基底 D. 若 ， ， 不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面 解析： 　由基底的概念可知A、B、D正确.对于C，因为满足c＝λa ＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误. √ √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可 以与向量m，n构成空间的另一个基底的向量是（　　） A. a B. b C. c D. 2a 解析： 　由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝ [（a＋b）＋ （a－b）]＝ m＋ n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝ [（a＋b）－（a－b）]＝ m－ n，故b，m，n共面，排除B；对于选 项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D. 故选C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 在四面体OABC中， ＝a， ＝b， ＝c，D为BC的中点，E 为AD的中点，则 ＝ 　 　.（用a，b，c表示） a＋ b＋ c 解析： ＝ ＋ ＝ ＋ × （ ＋ ）＝ ＋ ×（ － ＋ － ）＝ ＋ ＋ ＝ a＋ b＋ c. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求 证：AB⊥AC1. 证明：设 ＝a， ＝b， ＝c， 则 ＝ ＋ ＝b＋c. 所以 · ＝a·（b＋c）＝a·b＋a·c. 因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°， 所以a·b＝0，a·c＝0， 得 · ＝0，故AB⊥AC1. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 下列说法正确的是（　　） A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B. 空间的基底有且仅有一个 C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D. 若三个向量构不成空间的一个基底，则其中一定有一个零向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A、B，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底， 所以A、B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的 一个基底，C正确；对于D，若三个向量构不成空间的一个基底，只能说明 三个向量共面，不一定有零向量，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A. b＋c，b，b－c B. b，a＋b，a－b C. a＋b，a－b，c D. a＋b，a＋b＋c，c 解析： 　对于A选项，b＝ （b＋c）＋ （b－c），所以b＋c，b，b －c三个向量共面；对于B选项，b＝ （a＋b）－ （a－b），所以b， a＋b，a－b三个向量共面；对于C选项，利用反证法可证得a＋b，a－ b，c三个向量不共面；对于D选项，a＋b＋c＝（a＋b）＋c，所以a＋ b，a＋b＋c，c三个向量共面.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 若{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋ zc＝0，则x，y，z的值分别为（　　） A. 0，0，1 B. 0，0，0 C. 1，0，1 D. 0，1，0 解析： 　若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－ b － c，∴a，b，c共面，这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足 ＝ ，N是BC的中点， 且 ＝a， ＝b， ＝c，用a，b，c表示向量 为（　　） A. a＋ b＋ c B. a＋ b－ c C. － a＋ b＋ c D. a－ b＋ c 解析： 　 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ － ）＝－ ＋ ＋ ＝－ a＋ b＋ c.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕已知A，B，C，D，E是空间中的五点，且任意三点均不共 线.若{ ， ， }与{ ， ， }均不能构成空间的一个基底， 则下列结论中正确的有（　　） A. { ， ， }不能构成空间的一个基底 B. { ， ， }能构成空间的一个基底 C. { ， ， }不能构成空间的一个基底 D. { ， ， }能构成空间的一个基底 解析： 　由题意可得空间五点A，B，C，D，E共面.所以A，B， C，D，E这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能构成空间的一个 基底，所以A、C正确，B、D错误.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别 为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确 的是（　　） A. A1M∥D1P B. A1M∥B1Q C. A1M∥平面DCC1D1 D. A1M∥平面D1PQB1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共 面.因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ，所以 ＝ ，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知 A、C、D正确.而B1Q与D1P不平行，所以B不正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任意一 点，设 ＝a， ＝b， ＝c，则向量 用a，b，c表示为 ⁠ ⁠. 解析：∵ ＝－2 ，∴ － ＝－2（ － ），∴b－a＝－2 （ －c），∴ ＝ a－ b＋c. a－ b＋c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，3c}是空间的另 一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m 在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示为 ⁠ ⁠. 解析：由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x（a＋b）＋y（a－b）＋ z（3c），则有 解得 则m在基底{a＋b，a－b， 3c}下可表示为m＝4（a＋b）－（a－b）＋3（3c）. 4（a＋b）－（a－b）＋3 （3c） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G 分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值 为 ⁠. 0 解析：根据题意可得， · ＝（ ＋ ＋ ）·（ ＋ ＋ ） ＝（－ ＋ ＋ ）· ＝ － － ＝ ×4－1－ ×4＝0，从而得到A1E和GF垂直，故其所成角的余弦值为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中， ＝a， ＝b， ＝c. （1）用a，b，c表示向量 ； 解： ＝ ＋ ＝ － ＋ ＝b－a＋c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）设G，H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a，b，c表示 . 解： ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ （ ＋ ）＋ （ ＋ ） ＝－ （a＋b＋c＋b）＋ （a＋b＋c＋c） ＝ （c－b）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 已知 ＝－3a－3b＋3c， ＝5a＋3b－5c， ＝a＋b－c，其 中{a，b，c}是空间的一个基底，则直线AD与BC的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或重合 解析： 　因为 ＝－3 ，所以A，B，C，D四点共面.因为 ＝ ＋ ＋ ＝3a＋b－3c，所以对∀λ∈R， ≠λ ，所以直线 AD与BC不平行，故直线AD与BC相交. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝ 3GG1，若 ＝x ＋y ＋z ，则（x，y，z）＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　如图所示，连接AG1并延长交BC于点E，则点 E为BC的中点， ＝ （ ＋ ）＝ （ －2 ＋ ）， ＝ ＝ （ －2 ＋ ），∵ ＝ 3 ＝3（ － ），∴ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ － ＋ ）＝ ＋ ＋ ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱 PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则｜ ｜＝ ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：设 ＝a， ＝b， ＝c，因为AB＝AD＝1，PA＝2，所 以｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2.又因为AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝ 60°，所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1× cos 60°＝1.易得 ＝ （－a ＋b＋c），所以｜ ｜2＝ （－a＋b＋c）2＝ [a2＋b2＋c2＋2×（－ a·b－a·c＋b·c）]＝ ×[12＋12＋22＋2×（0－1＋1）]＝ ，所以｜ ｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别为 BB1，BC的中点. （1）求A1B和B1C的夹角； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：设 ＝a， ＝b， ＝c， 则 ＝ － ＝a－c，｜ ｜＝ ， ＝ ＝ － ＝b－c，｜ ｜＝ ， ∴ · ＝（a－c）·（b－c）＝a·b－a·c－b·c＋c2＝0 －0－0＋1＝1， ∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ . 又＜ ， ＞∈[0，π]， ∴＜ ， ＞＝ ，∴A1B和B1C的夹角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求证：AC1⊥EF. 解：证明：∵ ＝a＋b＋c， ＝ ＝ ＝ （ － ）＝ （b－c）， · ＝（a＋b＋c）· （b－c） ＝ （a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2） ＝ （0－0＋1－0＋0－1）＝0， ∴ ⊥ ，∴AC1⊥EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且 PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D， E，F，若 ＝m ， ＝n ， ＝t ，求证： ＋ ＋ 为定 值，并求出该定值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：连接AG并延长交BC于点H（图略），由题意，可令{ ， ， }为空间的一个基底. ＝ ＝ （ ＋ ）＝ ＋ × ＝ ＋ × （ ＋ ）＝ ＋ （ － ）＋ （ － ）＝ ＋ ＋ . 连接DM（图略）.因为点D，E，F，M共面，所以存在实数λ，μ，使 得 ＝λ ＋μ ，即 － ＝λ（ － ）＋μ（ － ），所以 ＝（1－λ－μ） ＋λ ＋μ ＝（1－λ－μ） m ＋λn ＋μt . 由空间向量基本定理，知 ＝（1－λ－μ）m， ＝λn， ＝μt，所以 ＋ ＋ ＝4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ＝4，为定值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $