6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（苏教版）

空间向量数量积的坐标表示 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.掌握空间向量数量积的坐标运算.　 2.会根据空间向量数量积的坐标运算解决向量垂直、夹角和距离问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.空间向量数量积运算的坐标表示及应用 设空间两个非零向量为a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b |a||b|cos<a，b> ______________ a⊥b a·b=0 _______________ 模 |a|= _______________ 夹角余弦 cos<a，b>= __________________________ x1x2+y1y2+z1z2 x1x2+y1y2+z1z2=0 2.空间两点间的距离及中点坐标 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 (1)AB=||=_______________________________________. (2)线段AB的中点M的坐标为___________________________. 1.若a=(1，-2，1)，b=(-1，-3，2)，则(a+b)·(a-b)= (　　) A.10 B.8 C.-10 D.-8 √ 基础落实训练 解析：因为a=(1，-2，1)，b=(-1，-3，2)，所以a+b=(0，-5，3)，a-b=(2，1，-1)，则(a+b)·(a-b)=-5-3=-8. 2.已知a=(2，-1，3)，b=(-4，y，2)，且a⊥(a+b)，则y的值为 (　　) A.6 B.10 C.12 D.14 √ 解析：因为a⊥(a+b)，所以a·(a+b)=(2，-1，3)·(2-4，-1+y，3+2)=-4+1-y+15=0，解得y=12. 3.已知向量a=(-1，0，-1)，b=(1，2，-1)，则向量a与b的夹角为_____.  解析：因为cos<a，b>====0，又<a，b>∈[0，π]，所以<a，b>=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　坐标法求空间向量的数量积 [例1]　如图，在边长为4的正方体ABCD⁃ A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，DD1，CD 的中点，以A为坐标原点，的方向为x轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出B1，C1，E，F，G五点的坐标； 解：由题图可知，B1(4，0，4)，C1(4，4，4)，E(0，2，4)，F(0，4，2)，G(2，4，0). (2)求·(+). 解：由(1)可知，=(-2，0，-4)， =(-4，2，0)，=(-4，4，-2)， 则+=(-8，6，-2)， 所以·(+)=-2×(-8)+0×6+(-4)×(-2)=24. |思|维|建|模|　求空间向量数量积的两种方法 基向量法 首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算.注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量 坐标法 对于建系比较方便的题目，采用此法较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可 针对训练 1.已知空间向量m=(1，2，3)，空间向量n满足m∥n且m·n=7，则n= (　) A. B. C. D. √ 解析：∵m=(1，2，3)，且空间向量n满足m∥n，∴可设n=λm=(λ，2λ，3λ)，又m·n=7，∴1×λ+2×2λ+3×3λ=14λ=7，解得λ=. ∴n=m=，故A正确. √ 2.设O为坐标原点，向量=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则·的最小值为(　　) A. B.- C. D.- 解析：∵=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，∴可设=λ=(λ，λ，2λ).又向量=(1，2，3)，=(2，1，2)，∴=(1-λ，2-λ，3-2λ)，=(2-λ，1-λ，2-2λ)，则·=(1-λ)×(2-λ)+(2-λ)×(1-λ)+(3-2λ) ×(2-2λ)=6λ2-16λ+10，易得当λ=时，·取得最小值-.故选B. 题型(二)　空间向量数量积的坐标运算解决垂直问题 [例2]　如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的 平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=， CE=EF=1.求证：CF⊥平面BDE. 证明：因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，两平面的交线为AC，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.如图，以C为原点，CD，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则C(0，0，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，F，所以==(0，-，1)， =(-，0，1)，所以·=0-1+1=0，·=-1+0+1=0， 所以⊥⊥，即CF⊥BE，CF⊥DE. 又BE∩DE=E，且BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE， 所以CF⊥平面BDE. |思|维|建|模|　判断空间向量垂直的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直关系转化为向量的垂直关系. (2)向量关系代数化：写出向量的坐标. (3)对于a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，根据x1x2+y1y2+z1z2是否为0判断两向量是否垂直. 针对训练 3.如图，在四棱锥P⁃ABCD中，PA⊥平面ABCD， 底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD， AB=AD=BC=2，PA=4，E为棱BC上的点，且BE= BC.求证：DE⊥平面PAC. 证明：因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂ 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD. 又AB⊥AD，则以A为坐标原点，建立如图所示的空间 直角坐标系.由已知可得A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(2，4，0)，D(0，2，0)，P(0，0，4)，E(2，1，0)，所以=(2，-1，0)，=(2，4，0)，=(0，0，4). 因为·=2×2-1×4+0=0，·=0，所以DE⊥AC，DE⊥AP. 又AP∩AC=A，AP⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以DE⊥平面PAC. 题型(三)　空间向量坐标法解决夹角、模问题 [例3]　如图，在棱长为2的正方体ABCD⁃A1B1C1D1 中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上， 且B1E1=A1B1，D1F1=C1D1. (1)求AM的长； 解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x， y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2， 0，0)，M(1，2，1)，=(-1，2，1)， ∴||==，故AM=. (2)求BE1与DF1所成角的余弦值. 解：由(1)知B(2，2，0)，E1，D(0，0，0)， F1，所以= =，则||=，||=. 所以·=0×0++2×2=，则cos<>= ==，所以BE1与DF1所成角的余弦值为. |思|维|建|模| 1.利用向量坐标求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角. 2.利用向量坐标求空间中线段的长度的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长. 针对训练 4.已知空间三点，A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5). (1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积； 解：∵=(-2，-1，3)，=(1，-3，2)， ∴||=||==， cos<>===，∴sin<>=. ∴S平行四边形=2××AB×AC×sin<>=××=7. (2)若||=，且∠DAB=∠DAC=60°，点P是BC的中点，求||的值. 解：∵点P是BC的中点，∴=+， ∴=-=+-， ∴||2=||2+||2+||2+·-·-· =×()2+×()2+()2+×(-2×1+1×3+3×2)-××cos 60°×2=-7=，∴||=. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知向量a=(0，-1，1)，b=(4，1，0)，|λa+b|=，且λ>0，则λ等于(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 √ 解析：λa+b=λ(0，-1，1)+(4，1，0)=(4，1-λ，λ)，由已知得|λa+b|==，且λ>0，解得λ=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若向量a=(x，-4，-5)，b=(1，-2，2)，且a与b的夹角的余弦值为-，则实数x的值为(　　) A.-3 B.11 C.3 D.-3或11 √ 解析：根据题意得cos<a，b>===-. 化简得=-.解得x=-3.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2， E为PB的中点，cos<>=，若以DA，DC， DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则点E的坐标为(　　) A. B.(1，1，1) C.(1，1，) D.(1，1，) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设PD=a(a>0)，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E，∴=(0，0，a)，=， ∴cos<>==，解得a=2，∴E的坐标为(1，1，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.[多选]已知空间向量m=(-1，2，5)，n=(2，-4，x)，则下列选项正确的是 (　　) A.当m⊥n时，x=2 B.当m∥n时，x=-10 C.当|m+n|=时，x=-4 D.当x=时，cos<m，n>= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为m⊥n，所以m·n=-1×2+2×(-4)+5x=-10+5x=0，解得x=2，故A正确；因为m∥n，所以存在λ∈R，使得m=λn，则(-1，2，5)=λ(2，-4，x)=(2λ，-4λ，λx)，即解得故B正确； 因为m+n=(-1+2，2-4，5+x)=(1，-2，5+x)， 所以|m+n|===， 解得x=-5，故C错误；因为x=，则m=(-1，2，5)，n=(2，-4，)，所以cos<m，n>===，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.[多选]如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形 ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点 P使得GP⊥BP，则边CG长度的可能取值为 (　　) A.4 B.4 C.2 D.2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：以DA，DC，DF为坐标轴建立空间直角 坐标系，如图所示.设CG=a，P(x，0，z)，则 =，即z=，又B(2，2，0)，G(0，2，a)，所以 ==·=x(x-2) +4+=0，显然x≠0且x≠2，所以a2=-4.因为x∈(0，2)，所以2x-x2∈(0，1]，则当2x-x2=1时，a2取得最小值12，所以a的最小值为2，即边CG长度的最小值为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)，则||的取值范围是(　　) A.[1，3] B.[1，5] C.[，5] D.[3，] √ 解析：∵A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)， ∴=(2cos θ-3cos α，2sin θ-3sin α，0)， ∴||= = =，∴1≤||≤5.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，P是底面ABCD(含边界)上一动点，满足A1P⊥AC1，则线段A1P长度的取值范围是 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)， A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，∵P是底面ABCD(含边 界)上一动点，∴设P(x，y，0)(0≤x≤1，0≤y≤1)， 则=(x，y，-1)，=(1，1，1)，∵A1P⊥AC1， ∴·=x+y-1=0，∴=x2+y2+1=x2+(1-x)2 +1=2x2-2x+2=2+，∴当x=时，取最小值，此时线段A1P的长度为；当x=0或x=1时，取最大值2，此时线段A1P的长度为，∴线段A1P长度的取值范围是.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)已知向量a=(-2，1，x)，b=(-1，1，2)，a·b=3，则x=_______.  0 解析：a·b=2+1+2x=2x+3=3，解得x=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)若m=(2，-1，1)，n=(λ，5，1)，且m⊥(m-n)，则λ=______.  5 解析：由已知得m-n=(2-λ，-6，0). 由m·(m-n)=0，得2(2-λ)+6+0=0，所以λ=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)由二维平面向量可以类比得到三维空间向量一些公式，比如若a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则a·b=x1x2+y1y2+z1z2，|a|=，非零向量a，b，a⊥b⇔a·b=0等.若a=(2，3，-4)，b=(2，-3，2)，则与a，b向量垂直的单 位向量的坐标是_______________________________________.(写出一个即可)  (满足x2+y2+z2=1，且2x=y=z即可) 解析：设向量n=(x，y，z)与a，b垂直，则取x=1，得n=(1，2，2)，所以与n共线的单位向量±的坐标为或. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知向量a=(-2，1，1)，点A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2).在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标 为___________________.  解析：设=λ，因为A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2)，所以=(1，-1，-2)，=(λ，-λ，-2λ)，=(3，1，-4)，=-=(λ-3，-λ-1，-2λ +4).因为⊥a，所以-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=0，解得λ=.又A(-3，-1，4)，=，所以点E的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)已知空间向量a=(2，-1，3)，b=(m，4，n). (1)若c∥a，且a·c=28，求c的坐标；(4分) 解：由题意c∥a，a=(2，-1，3)≠0，不妨设c=λa， 因为a·c=28，所以a·c=λa2=λ|a|2=λ×[22+(-1)2+32]=28，解得λ=2， 所以c=λa=2a=(4，-2，6). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若a⊥b，且m>0，n>0，求mn的最大值.(6分) 解：由题意a⊥b，得a·b=2m-4+3n=0，即2m+3n=4. 又因为m>0，n>0， 所以由基本不等式可得2m+3n=4≥2，当且仅当m=1，n=时，等号成立，解得mn≤. 所以当且仅当m=1，n=时，mn的最大值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)如图，设边长为2的正方形ABCD的中心 为O，过点O作平面ABCD的垂线VO，VO=2，E为 VO的中点，求与夹角的余弦值. 解：连接BD，AC，显然有BD⊥AC，BD∩AC=O， BD=AC=2.如图分别以的方向为 x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则B(0，，0)，C(-，0，0)，O(0，0，0)，V(0，0，2)，E(0，0，1)，则=(0，-，2)，=(，0，1)，则·=0×-×0+2×1=2，||= =， ||= =，所以cos<>===. 所以与夹角的余弦值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(15分)如图，在四棱锥P⁃ABCD中，△PBC为等腰 直角三角形，且∠CPB=90°，四边形ABCD为直角 梯形，满足AD∥BC，CD⊥AD，BC=CD=2AD=4， PD=2. (1)若点F为DC的中点，求cos<>；(9分) 解：因为△PBC为等腰直角三角形，∠CPB=90°，BC=CD=4，所以PC=PB=2.又PD2==24，PC2+CD2=+42=24，所以DC⊥PC.而CD⊥AD，AD∥BC，故CD⊥BC， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PBC，所以CD⊥平面PBC. 以点C为原点，CP，CD所在直线分别为x，z轴， 过点C作PB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系 C⁃xyz，如图所示， 则P(2，0，0)，B(2，2，0)，F(0，0，2)， A(，4)，=(，-，-4)，=(-2，-2，2). 所以cos<>===-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当⊥ 时，求的值.(6分) 解：由(1)知E(2，0)，=(，-4)， 设=t，则=(t，t，-4t)，所以M(+ t，+t，4-4t)，所以=(t-t，4-4t).又=(-2，-2，2)，⊥，所以·=-2×(t-)-2×t+8-8t=0，解得t=，所以=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)如图，在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中，底面是 以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1= 3a，D是A1C1的中点，E是B1C的中点. (1)求cos<>；(7分) 解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角 坐标系.∵AC=2a，∠ABC=90°， ∴AB=BC=a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴B(0，0，0)，A(a，0，0)，C(0，a，0)，B1(0，0，3a)，A1(a，0，3a)，C1(0，a，3a)，D，E=(a，-a，3a)，=.∴||=a，||=a，·=0-a2+a2=a2.∴cos<>==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF? 若存在，求出||；若不存在，请说明理由.(8分) 解：存在.理由如下： 假设存在点F，使CF⊥平面B1DF.不妨设AF=b，则 F(a，0，b)，=(a，-a，b)，=(a，0，b-3a)，=.∵·=a2-a2+0=0，∴⊥恒成立. 由·=2a2+b(b-3a)=b2-3ab+2a2=0，得b=a或b=2a. ∴在线段AA1上存在点F，使CF⊥平面B1DF，且||=a或||=2a. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $