6.1.3 共面向量定理-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“共面向量定理”，通过李老师下班位移的情境导入，引导学生思考空间向量是否共面，衔接空间向量基本概念，为后续线面平行、四点共面证明等应用搭建学习支架。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心素养，通过情境导入培养用数学眼光观察现实世界的能力，典例研析中如证明EF∥平面PAD时，用向量线性表示体现逻辑推理，通性通法总结帮助学生构建知识体系。学生能提升空间观念和推理能力，教师可借助分层训练和系统例题优化教学效果。

6.1.3　共面向量定理 1 1.了解共面向量的概念，理解共面向量定理（数学抽象）. 2.能运用共面向量定理解决空间中的共面问题（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶 1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处.在这个过程中，李老师从学校 大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成（如图所示）. 【问题】　以上三个位移是同一个平面内的向量吗？为什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　共面向量 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 　　提醒：（1）共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于 同一平面的向量；（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量 就不一定共面了. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存 在有序实数组（x，y），使得 .即向量p可以由两个不共 线的向量a，b线性表示. p＝xa＋yb　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共 面. （　×　） （2）空间中任意三个向量一定是共面向量. （　×　） （3）若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对（x，y），使 ＝x ＋y . （　×　） × × × 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则（　　） A. m，n，p共线 B. m与p共线 C. n与p共线 D. m，n，p共面 解析：　由于（a＋b）＋（a－b）＝2a，即m＋n＝2p，即p＝ m ＋ n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 若 ＝λ ＋μ ，λ，μ∈R，则直线AB与平面CDE的关系 是 .⁠ 解析：∵ ＝λ ＋μ （λ，μ∈R），∴ ， ， 共面， ∴AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE. AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜空间向量共面的判断与证明 【例1】　（链接教科书第15页练习1题）对于空间的任意三个向量a，b， 2a－b，它们一定是（　　） A. 共面向量 B. 共线向量 C. 不共面向量 D. 既不共线也不共面的向量 解析： 　由共面向量定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 向量共面的判定方法 　　充分利用题目条件将其中一个向量表示成另两个不共线向量的线性组 合，即若p＝xa＋yb（a，b不共线），则向量p，a，b共面. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量 ， ， 是（　　） A. 有相同起点的向量 B. 等长向量 C. 共面向量 D. 不共面向量 解析： 　如图所示.向量 ， ， 不是有相同起点的 向量，故A错误；三个向量的模不一定相等，故B错误；又在平 行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∵ ＝ ，而线段D1A， D1C，AC构成△D1AC的三个边，故向量 ， ， 是 共面向量，故C正确，D错误. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M， N分别在对角线BD，AE上，且BM＝ BD，AN＝ AE. 求证：向量 ， ， 共面. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：因为点M在BD上，且BM＝ BD， 所以 ＝ ＝ ＋ . 同理 ＝ ＋ . 所以 ＝ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＋（ ＋ ）＝ ＋ . 又 与 不共线，根据共面向量定理可知 ， ， 共面. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜利用共面向量定理证明线面平行 【例2】　（链接教科书第13页例5）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ AD，若E，F 分别为PC，BD的中点.求证：EF∥平面PAD. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：因为 ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ， 所以向量 ， ， 共面， 又EF⊄平面PAD，DA，PD⊂平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用空间向量证明线面平行的一般方法 　　证明线面平行时，只需把直线上的一个向量用平面内的两个不共线向 量线性表示，并且说明直线在平面外即可. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，E是PD的中点，求证：PB∥平面AEC. 证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB＝DC，而E是PD的中点，所以 PD＝2ED. 所以 ＝ ＋ ＋ ＝2 ＋ ＋ ＝（ ＋ ） ＋（ ＋ ）＝ ＋ ， 又因为 与 不共线，可知 ， ， 共面， 而PB⊄平面EAC，所以PB∥平面AEC. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜共面向量定理的应用 角度1　利用共面向量定理证明四点共面 【例3】　（链接教科书第14页例6）（1）〔多选〕对空间任一点O和不共 线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（　　） A. ＝ ＋ ＋ B. ＝ ＋ ＋ C. ＝ ＋ ＋ D. ＝2 － － √ √ 解析： 　点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有 ＝x ＋y ＋z ，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC， 且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝b－a， ∵M为DD1的中点，∴ ＝c－ a. 又∵AN∶NC＝2∶1，∴ ＝ ＝ （b＋c）， ∴ ＝ － ＝ （b＋c）－a＝ （b－a）＋ （c－ a）＝ ＋ ， ∴ ， ， 为共面向量. 又三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 角度2　利用共面向量定理求参数 【例4】　已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共 线，设P为空间中任意一点，若 ＝6 －4 ＋λ ，则λ＝（　） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 解析：　 ＝6 －4 ＋λ ，即 － ＝6 －4 ＋λ ，整理得 ＝6 －3 ＋λ ，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 四点共面的证明方法 （1）先证三向量共面，即 ＝x ＋y ，又三向量有公共点P，则 P，A，B，C四点共面； （2）若存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得对于空间中任一点O 和不共线的三点A，B，C，有 ＝x ＋y ＋z ，且x＋y＋z＝1 成立，则P，A，B，C四点共面. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知空间中A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若P为该平 面外一点，且 ＝ －x － ，则实数x＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　由共面向量定理的推论，知 －x－ ＝1，解得x＝ . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判定在下 列条件下，点P是否与A，B，M共面. （1） ＋ ＝3 － ； 解： ∵ ＋ ＝3 － ， ∴ ＝ ＋（ － ）＋（ － ） ＝ ＋ ＋ ， ∴ － ＝ ＋ ， ∴ ＝ ＋ ， ∴ ， ， 为共面向量， 又 ， ， 过同一点P， ∴P与A，B，M共面. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2） ＝4 － － . 解：由 ＝4 － － ，得4＋（－1）＋（－1）＝2≠1. 又 ＝x ＋y ＋z 中，P，A，B，M共面的条件为x＋y＋z＝1， ∴P与A，B，M不共面. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 下列说法正确的是（　　） A. 空间的任意三个向量都不共面 B. 空间的任意两个向量都共面 C. 三个向量共面，即它们所在的直线共面 D. 若三个向量两两共面，则这三个向量一定也共面 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知 ， 是空间两个不共线的向量， ＝3 －2 ，那么必 有（　　） A. ， 共线 B. ， 共线 C. ， ， 共面 D. ， ， 不共面 解析： 　由共面向量定理知， ， ， 共面. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有 ＝x ＋ ＋ ，则x的值为（　　） A. 1 B. 0 C. 3 D. 解析： 　∵ ＝x ＋ ＋ ，且M，A，B，C四点共面， ∴x＋ ＋ ＝1，∴x＝ . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别在棱AA1，CC1上，且A1M＝ AA1，CN＝ CC1，且∠A1AD＝ ∠A1AB＝∠DAB＝60°.求证：D，M，B1，N四点共面. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，连接MD， DN，NB1，B1M，如图. 因为A1M＝ AA1，CN＝ CC1， 所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ， 所以 ＝ ，即DN＝MB1且DN∥MB1，所以四边形 DMB1N为平行四边形，即D，M，B1，N四点共面. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（　　） A. ＝2 － － B. ＝ ＋ ＋ C. ＋ ＋ ＝0 D. ＋ ＋ ＋ ＝0 解析：　C选项中， ＝－ － ，∴点M，A，B，C共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j， k共面的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 　若i与j不共线，则k与i，j共面⇔存在唯一的一对有序实数组 （x，y），使k＝xi＋yj，x，y不一定非零.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是（　　） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 解析： 　如图，连接CD1，则 ＝ ，∴ ＝ － ，故 ， ， 共面，选项A、B、D均不共面. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 下面关于空间向量的说法正确的是（　　） A. 若向量a，b平行，则a，b所在直线平行 B. 若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面 C. 若A，B，C，D四点不共面，则向量 ， 不共面 D. 若A，B，C，D四点不共面，则向量 ， ， 不共面 解析： 　若向量a，b平行，则向量a，b所在的直线平行或重合，则A不 正确；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b是共面向量，则 B不正确；空间中的任意两个向量通过平移可在一个平面内，因此 ， 是共面的，则C不正确；利用反证法即可证明若A，B，C，D四点不 共面，则向量 ， ， 不共面，则D正确.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕已知空间四点A，B，C，D及空间任意一点O，由下列条件 一定可以得出A，B，C，D四点共面的有（　　） A. ＝2 ＋3 B. ＝3 － － C. ∥ D. ＝ ＋3 －5 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A， ＝2 ＋3 ，一定有 ， ， 共面，且 有公共顶点A，故A，B，C，D四点共面，故A正确；对于B， ＝3 － － ＝3 － ＋ ，3－1＋1≠1，故A，B，C，D四点不共 面，故B错误；对于C， ∥ ，可得A，B，C三点共线，则A，B， C，D四点一定共面，故C正确；对于D， ＝ ＋3 －5 ＝－ －3 ＋5 ，－1－3＋5＝1，故A，B，C，D四点一定共面，故D正 确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P，M为空间内任意两点，且 有 ＝ ＋6 ＋7 ＋4 ，则下列结论正确的有（　　） A. ， ， 共面 B. ， ， 不共面 C. M∈平面A1BCD1 D. M∉平面A1BCD1 解析： 　因为 ＝ ＋6 ＋7 ＋4 ，所以 － ＝ ＋6 ＋6 ＋4 ，所以 ＝ ＋6 ＋4 ＝ ＋ 2 ＋4 ，所以 － ＝2 ＋4 ，所以 ＝2 ＋ 4 ，所以 ， ， 共面.又因为A1M与平面A1BCD1有公共点 A1，因此，M∈平面A1BCD1. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 已知向量a，b，c不共面，则使向量m＝2a－b，n＝b＋c，p＝xa ＋5b＋3c共面的实数x的值是 ⁠. 解析：因为向量m，n，p共面，所以存在实数s，t，使p＝sm＋tn，即 xa＋5b＋3c＝2sa＋（t－s）b＋tc，所以t＝3，s＝－2，x＝2s＝－4. －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线且 四点共面，且 ＝2x ＋3y ＋4z ，则2x＋3y＋4z＝ ⁠. 解析：因为A，B，C，D四点满足任意三点均不共线且四点共面，所以 存在实数λ1，λ2，λ3，使得 ＝λ1 ＋λ2 ＋λ3 且λ1＋λ2＋ λ3＝1.因为 ＝2x ＋3y ＋4z ＝－2x －3y －4z ，所 以λ1＋λ2＋λ3＝－2x－3y－4z＝1，所以2x＋3y＋4z＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外任意一点，点P满足 ＋2 ＝6 －3 ，则P与平面ABC的关系是 ⁠. 解析：由题意得 ＝ ＋ ＋ ，∵ ＋ ＋ ＝1，且A，B，C 三点不共线，∴点P与点A，B，C共面. P在平面ABC内 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图，平面ABC内的小方格均为正方形，点P为平面ABC内的一点， O为平面ABC外一点，若 ＝m ＋n ＋2 ，求m＋n的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：法一　由题知 ＝ ＋ ， ∵A，P，B，C四点共面，根据平面向量基本定理， 不妨设 ＝x ＋y （x，y∈R）， 则 ＝ ＋x ＋y ＝ ＋x（ － ）＋y（ － ）＝（1 －x－y） ＋x ＋y ， ∵ ＝m ＋n ＋2 ， ∴ ∴m＋n＝1－x－y＋x＝1－y＝－1. 法二　直接由共面向量定理的推论，得到m＋n＋2＝1，∴m＋n＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 已知向量e1，e2不共线， ＝e1＋e2， ＝2e1＋8e2， ＝3e1－ 5e2，则（　　） A. 与 共线 B. 与 共线 C. A，B，C，D四点不共面 D. A，B，C，D四点共面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，∵ ≠ ，∴不存在实数λ，使得 ＝λ 成立， ∴ 与 不共线，A错误；对于B，∵ ＝2e1＋8e2， ＝3e1－5e2， ∴ ＝ － ＝e1－13e2，又 ≠ ，∴不存在实数λ，使得 ＝ λ 成立，∴ 与 不共线，B错误；对于C、D，若A，B，C，D四 点共面，则有 ＝x ＋y ＝（x＋2y）e1＋（x＋8y）e2＝3e1－ 5e2，∴ 即 故 ＝ － ，故A，B， C，D四点共面，C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕若空间中任意四点O，A，B，P满足 ＝m ＋n ， 其中m＋n＝1，则结论正确的有（　　） A. P∈直线AB B. P∉直线AB C. O，A，B，P四点共面 D. P，A，B三点共线 解析： 　因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以 ＝（1－n） ＋ n ，即 － ＝n（ － ），即 ＝n ，所以 与 共 线.又 ， 有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈ 直线AB. 因为 ＝m ＋n ，故O，A，B，P四点共面.故选A、 C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 如图，M是三棱锥P-ABC的底面△ABC的重心，若 ＝x ＋y ＋z ，则x＋y－z＝（　　） A. B. C. D. 1 解析： 　因为M为△ABC的重心，所以 ＝ （ ＋ ）＝ （ － ＋ － ），所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ，又 ＝x ＋y ＋z ，所以x＝y＝z＝ ，所以x＋y－z＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 在正四棱锥P-ABCD中，M，N，S分别是棱PA，PB，PC上的点， 且 ＝x ， ＝y ， ＝z ，其中x，y，z∈（0，1]. （1）若x＝1，y＝ ，且PD∥平面MNS，求z的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 因为 ＝x ， ＝y ， ＝z ，且x＝1，y＝ ，所 以 ＝ ， ＝ . 在正四棱锥P-ABCD中，由 ＝ ＋ ，可得 － ＝ － ＋ － ，即 ＝ － ＋ . 又因为PD∥平面MNS，所以存在实数λ，μ，使得 ＝λ ＋ μ ，即 ＝λ（ － ）＋μ（ － ）＝（－λ－μ） ＋ ＋μz . 又因为 ＝ － ＋ ，且 ， ， 不共面，所以 解得z＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）若x＝ ，y＝ ，且点D∈平面MNS，求z的值. 解： 由（1）可知 ＝ － ＋ ， 又因为 ＝x ， ＝y ， ＝z ，且x＝ ，y＝ ，可得 ＝ －2 ＋ . 因为点D∈平面MNS，即D，M，N，S四点共面，所以 －2＋ ＝1，解 得z＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 已知四边形ABCD是平行四边形，P是▱ABCD所在平面外一点，点 E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心. （1）试用向量方法证明E，F，G，H四点共面； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明： 分别连接PE，PF，PG，PH并延长交对 边于点M，N，Q，R. 因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以 M，N，Q，R为所在边的中点，顺次连接M，N， Q，R得到的四边形为平行四边形，且有 ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， 所以 ＝ ＋ ＝（ － ）＋（ － ） ＝ （ － ）＋ （ － ）＝ （ ＋ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 又因为 ＝ － ＝ － ＝ ，所以 ＝ （ ＋ ），即 ＝ ＋ . 由共面向量定理知E，F，G，H四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的 判断. 证明：平面EFGH∥平面ABCD. 证明如下：由（1）得 ＝ ，故MQ∥EG. 又因为MQ⊂平面ABCD，EG⊄平面ABCD，所以EG∥ 平面ABCD. 又因为 ＝ － ＝ － ＝ ，所以MN∥EF. 又因为MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD. 因为EG与EF交于点E，所以平面EFGH∥平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $