6.1.2 空间向量的数量积-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“空间向量的数量积”，涵盖夹角、定义、运算律及投影向量等核心知识。通过回顾平面向量数量积，类比提出空间向量问题，搭建新旧知识桥梁，形成完整学习支架。 其亮点是以核心素养为导向，情境导入培养数学抽象，典型例题结合正方体等模型强化数学运算与直观想象，通性通法总结提升逻辑推理。助力学生掌握立体几何问题解法，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

6.1.2　空间向量的数量积 1 1.了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（直观想象）. 3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　我们在必修第二册“平面向量”中已经学习了两个平面向量a和b的数 量积的定义、性质及运算. 【问题】　（1）平面向量的数量积a·b是如何定义的？满足哪些运算律？ （2）类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义 吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　空间向量的夹角 定义 a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作 ＝a， ＝b， ＝θ（0≤θ≤π）叫作向量a与向量b的夹 角，记作 ⁠ 范围 ＜a，b＞∈ ⁠ 特殊 夹角 ①如果＜a，b＞＝0，a与b ⁠； ②如果＜a，b＞＝π，a与b ⁠； ③如果＜a，b＞＝ ，a与b互相垂直，记作a ⁠b ∠AOB　 ＜a，b＞　 [0，π]　 同向　 反向　 　 ⊥　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　空间向量的数量积 1. 定义：设a，b是空间两个非零向量，我们把数量 ⁠ 叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝ ⁠ ⁠. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2. 数量积的运算律 交换律 a·b＝ ⁠ 数乘结合律 （λa）·b＝ （λ∈R） 分配律 （a＋b）·c＝a·c＋b·c ｜a｜｜b｜ cos ＜ a，b＞　 ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞　 b·a　 λ（a·b）　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 数量积的性质 两个向 量 数量积 的 性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔ ⁠ ②若a与b同向，则a·b＝ ⁠； 若反向，则a·b＝ ⁠. 特别地，a·a＝ 或｜a｜＝ ⁠ ③若θ为a，b的夹角，则 cos θ＝ ⁠ a·b＝0　 ｜a｜｜b｜　 －｜a｜｜b｜　 ｜a｜2　 　 　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 1. 若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？为什么？ 提示：若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0. 2. 对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝ ？ 提示：不能.向量没有除法运算. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点三　空间向量的投影向量 1. 空间投影向量的定义 （1）如图，对于空间任意两个非零向量a，b，设向量 ＝a， ＝ b，过点A作AA1⊥OB，垂足为A1.由向量a得到向量 的变换称为向量 a向向量b投影，向量 称为向量a在向量b上的投影向量； 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）如图，设向量m＝ ，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为 C1，D1，得向量 .向量 　 　称为向量m在平面α上的投影向量. 　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 空间向量数量积的几何意义 空间向量m，n（n在平面α内）的数量积就是向量m在平面α上的 ⁠ 与向量n的数量积. 投 影向量　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）对于任意向量a，b，c，都有（a·b）c＝a（b·c）. （　×　） （2）若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.（　　×） （3）两个非零向量a，b的夹角满足＜－a，b＞＝＜a，－b＞＝π－＜ a，b＞. （　√　） （4）向量a在平面β上的投影是一个向量. （　√　） × × √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 在正四面体ABCD中， 与 的夹角等于（　　） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 解析：　＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝120°. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则 · ＝ ⁠. 解析：如图， · ＝ · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝a· a cos 45°＝a2. a2 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知正方体ABCD-A'B'C'D'，则向量 在平面ABCD上的投影向量 为 ⁠. 解析：因为A'A⊥平面ABCD，因此 在平面ABCD上的投影向量是 . ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜空间向量数量积的运算 【例1】　（链接教科书第12页练习5题）已知正四面体OABC的棱长为1， 如图所示，求： （1） · ； · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠AOB＝1×1× cos 60°＝ . 解：在正四面体OABC中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1. ＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝60°. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）（ ＋ ）·（ ＋ ）. 解： （ ＋ ）·（ ＋ ） ＝（ ＋ ）·（ － ＋ － ） ＝（ ＋ ）·（ ＋ －2 ） ＝ ＋2 · －2 · ＋ －2 · ＝12＋2×1×1× cos 60°－2×1×1× cos 60°＋12－ 2×1×1× cos 60° ＝1＋1－1＋1－1＝1. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求空间向量数量积的步骤 （1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的 乘积； （3）代入a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞求解. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 如图，在棱长为 的正方体ABCD-A1B1C1D1中， · ＝ （　　） A. 2 B. 1 C. 2 D. 解析：　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，所以 AB⊥AD1，所以 · ＝ · ＝（ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＝0＋ ×2× cos 45°＝2.故选A. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图所示，空间四边形ABCD每条边和对角线长都为a，点E，F分别 是AB，AD的中点，则 · ＝ ⁠. 解析：因为点E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以 ， 的夹角为120°，所以 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos 120°＝－ a2. － a2 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜空间向量的投影向量 【例2】　（链接教科书第11页例4）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点. （1）确定向量 在平面BCC1B1上的投影向量，并求 · ； 解：因为A1B1⊥平面BCC1B1，PC1⊥平面BCC1B1， 所以向量 在平面BCC1B1上的投影向量为 . 所以 · ＝ · ＝ ×1× cos 45°＝1. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）确定向量 在直线B1C1上的投影向量，并求 · . 解：因为A1B1⊥B1C1，PC1⊥B1C1，所以向量 在直线B1C1上的投影向量为 ，故 · ＝ · ＝1. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻 某一向量在平面（或直线）上的投影向量是解题的关键. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为 O1，则 · ＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 解析： 　法一　 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ （ ＋ ）， ＝ ＋ ，则 · ＝ （｜ ｜2＋｜ ｜2）＝1，故选C. √ 法二　设下底面ABCD的中心为O，则向量 在底面ABCD上的投影向 量为 ，故 · ＝ · ＝ ＝1，故选C. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜空间向量数量积的应用 角度1　利用空间向量数量积求夹角 【例3】　如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，M是侧棱 CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是 ⁠. 90° 解析：不妨设正三棱柱的棱长为2，∵ ＝ － ， ＝ ＋ ，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝0，故异面直线AB1和BM所成角的大小是90°. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 提醒　注意两向量的夹角与两异面直线所成角的区别. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 角度2　利用空间向量数量积求线段长度（模） 【例4】　已知正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABC-A1B1C1的各 棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：如图所示，设 ＝a， ＝b， ＝c， 由题意知｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2， 且＜a，b＞＝60°，＜a，c＞＝＜b，c＞＝90°. 因为 ＝ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＝－ a ＋ b＋c， 所以｜ ｜2＝ a2＋ b2＋c2＋2（－ a·b＋ b·c－ a·c） ＝ ×22＋ ×22＋22＋2×（－ ）×2×2× cos 60°＝1＋1＋4－1＝5， 所以EF＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用数量积求线段长度的步骤 （1）将线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用｜a｜＝ 得所求长度. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 角度3　利用空间向量数量积证明位置关系 【例5】　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝ 5，∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点. （1）求AC1的长； 解： 设 ＝a， ＝b， ＝c，则｜a｜＝｜ b｜＝4，｜c｜＝5，a·b＝8，a·c＝b·c＝10， ＝ ＋ ＝ a－ b， ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋c. 因为 ＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a） ＝42＋42＋52＋2×（8＋10＋10）＝113， 所以AC1＝｜ ｜＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求证： ⊥ . 解：证明：因为 · ＝（ a－ b）·（a＋b＋c） ＝ a2＋ a·c－ b2－ b·c＝ ×42＋ ×10－ ×42－ ×10＝0， 所以 ⊥ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用数量积判断（证明）位置关系 （1）若证明两条直线（或向量）垂直，只需要证明两条直线对应的向量的 数量积为0； （2）若证明直线与平面垂直，只需要证明直线对应向量与平面内两条相交 直线对应向量的数量积分别为0； （3）若证明两条直线平行，只需要证明直线对应的向量共线，同时说明它 们不是同一条直线. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量 与向量 的夹角为 （　　） A. 60° B. 150° C. 90° D. 120° 解析： 　如图， ＝ ＋ ，｜ ｜＝ a， ＝ ＋ ，｜ ｜＝ a.∴ · ＝ · ＋ · ＋ · ＋ · ＝－a2.∴ cos ＜ ， ＞ ＝ ＝－ ，∴＜ ， ＞＝120°. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2， a⊥b，则实数k＝ ⁠. 解析：由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，｜e1｜＝｜e2｜＝1，所以（2e1＋ 3e2）·（ke1－4e2）＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6. 6 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知空间向量a，b，c两两夹角为60°，其模都为1，则｜a－b＋ 2c｜＝ ⁠. 解析：∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞ ＝60°，∴a·b＝b·c＝a·c＝ ，a2＝b2＝c2＝1， ∴｜a－b＋2c｜＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45° 的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 解析：　 与 的夹角为45°， 与 的夹角为135°， 与 的夹角为90°， 与 的夹角为180°，故选A. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知｜a｜＝1，且a－b与a垂直，且a与b的夹角为45°，则｜b｜＝ （　　） A. 1 B. C. 2 D. 2 解析：　∵a－b与a垂直，∴（a－b）·a＝0，∴a·a－a·b＝｜a｜2 －｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝0.∴1－｜b｜× ＝0，解得｜b｜＝ . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知两条异面直线的方向向量分别为a，b，且｜a｜＝｜b｜＝1， a·b＝－ ，则a在b上的投影向量为 　－ b　. 解析：设a与b的夹角为θ，∵｜a｜＝｜b｜＝1，且a·b＝－ ，∴ cos θ＝ ＝－ ，∴a在b上的投影向量为 cos θ·b＝－ b. － b 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知｜a｜＝3 ，｜b｜＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＜a，b＞ ＝135°，m⊥n，则λ＝ ⁠. 解析：∵m⊥n，∴m·n＝0，∴m·n＝（a＋b）·（a＋λb）＝a2＋ a·b＋λa·b＋λb2＝（3 ）2＋（1＋λ）×3 ×4 cos 135°＋λ×42 ＝18＋（1＋λ）×12 ×（－ ）＋16λ＝6＋4λ＝0，∴λ＝－ . － 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 对于向量a，b，c和实数λ，下列说法中正确的是（　　） A. 若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B. 若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C. 若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D. 若a·b＝a·c，则b＝c 解析：　若a⊥b，则a·b＝0，故A错误，B正确；由a2＝b2，得｜a｜ ＝｜b｜，长度相等，但方向不定，故C错误；由a·b＝a·c，得a·（b－ c）＝0，所以a＝0或b＝c或a⊥（b－c），故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知单位向量a，b满足｜a｜＝｜a＋b｜，则（a＋ b）·b＝ （　　） A. B. 1 C. D. 0 解析： 　∵a，b是单位向量，∴a2＝b2＝1.∵｜a｜＝｜a＋b｜， ∴a2＋2a·b＋b2＝1，故a·b＝－ ，∴（a＋ b）·b＝a·b＋ b2＝－ ＋ ＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则 PC＝（　　） A. 6 B. 6 C. 12 D. 144 解析： 　因为 ＝ ＋ ＋ ，所以 ＝ ＋ ＋ ＋ 2 · ＋2 · ＋2 · ＝36＋36＋36＋2×36 cos 60°＝144，所 以PC＝12. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（ ＋ － 2 ）·（ － ）＝0，则△ABC是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解析： 　因为 ＋ －2 ＝（ － ）＋（ － ）＝ ＋ ，所以（ ＋ ）·（ － ）＝｜ ｜2－｜ ｜2＝0，所以｜ ｜＝｜ ｜，即△ABC是等腰三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E， F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是 （　　） A. 2 · B. 2 · C. 2 · D. 2 · √ √ 解析： 　对于A，2 · ＝2a2 cos 120°＝－a2，错误；对于B， 2 · ＝2 · ＝2a2 cos 60°＝a2，正确；对于C，2 · ＝ · ＝a2，正确；对于D，2 · ＝ · ＝－ · ＝－ a2，错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下 列命题，其中正确的是（　　） A. （a·b）·c－（c·a）·b＝0 B. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ C. （b·a）·c－（c·a）·b一定不与c垂直 D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　A项，∵（a·b）·c是表示与向量c共线的向量，而（c·a）·b 是表示与向量b共线的向量，∴A错误；B项，∵a，b是两个不共线的向 量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得｜a｜－｜b｜＜｜a－ b｜，∴B正确；C项，∵[（b·a）·c－（c·a）·b]·c＝（b·a）·c·c－ （c·a）·b·c＝0可能成立，∴C错误；D项，∵向量的运算满足平方差公 式，∴（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2，∴D正确，故选 B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC， A1C1的中点，则＜ ， ＞＝ ，＜ ， ＞＝ ，＜ ， ＞＝ ⁠. 0° 0° 90° 解析：由题意得 ， 方向相同，且在同一条直线AC上，故＜ ， ＞＝0°； 可平移到直线AC上，与 方向相同，故＜ ， ＞＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故＜ ， ＞＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则 在直线CB1上的投影向 量是 　​ 　， · ＝ ⁠. 解析：如图，连接BC1交B1C于O，因为BO⊥B1C， A1B1⊥B1C，所以向量 在直线CB1上的投影向量是 ， · ＝ · ＝ a· a＝a2. ​ a2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，则 · ＝ ， · · .（填“＜”“＝”或“＞”） 0 解析：由题易知AE⊥BC，所以 · ＝0，而 · ＝（ ＋ ）· ＝ ·（ － ）＋ · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos 120°－｜ ｜·｜ ｜· cos 120°＋ ｜ ｜·｜ ｜· cos 120°＜0，所以 · ＜ · . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，且SA＝2，SA⊥底 面ABCD. （1）确定向量 在平面SAD上的投影向量，并求 · ； 解： 向量 在平面SAD上的投影向量是 ， · ＝ · ＝2 ×2× cos 135°＝－4. （2）确定向量 在向量 上的投影向量，并求 · . 解：向量 在向量 上的投影向量是 ， · ＝ · ＝｜ ｜2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1（即A1A⊥平面ABC）中，AC＝AB＝AA1＝ ，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC. ∵AC＝AB＝ ，BC＝2，∴AB⊥AC. 又BC＝2AE＝2，∴E为BC的中点，∴ ＝ （ ＋ ）.∵AA1＝ ，∴A1C＝2.∵ · ＝ （ ＋ ）·（ － ）＝ ｜ ｜2＝1，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ， ∴＜ ， ＞＝60°，即异面直线AE，A1C所成的角是60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是 （　　） A. （ ＋ ＋ ）2＝3 B. ·（ － ）＝0 C. 向量 与向量 的夹角是60° D. 正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为｜ · · ｜ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由向量的加法得到： ＋ ＋ ＝ ，∵A1C2＝ 3A1 ，∴ ＝3 ，∴A正确；∵ － ＝ ， AB1⊥A1C，∴ · ＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形， ∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为 60°，但是向量 与向量 的夹角是120°，故C不正确； ∵AB⊥AA1，∴ · ＝0，故｜ · · ｜＝0，因此D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动， 则 · 的取值范围是 ⁠. 解析：依题意，设 ＝λ ，其中λ∈[0，1]， · ＝ ·（ ＋ ）＝ ·（ ＋λ ）＝ ＋λ · ＝1＋λ×1× ×（－ ）＝1－λ∈[0，1].因此 · 的取值范围是[0，1]. [0，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图，正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a. （1）用向量法证明BD⊥PC； 解： 证明：∵ ＝ ＋ ， ∴ · ＝（ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 60°＋｜ ｜｜ ｜ cos 120°＝ a2 － a2＝0.∴BD⊥PC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求｜ ＋ ｜的值. 解： ∵ ＋ ＝ ＋ ＋ ， ∴｜ ＋ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋ 2 · ＋2 · ＋2 · ＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2 cos 60°＋2a2 cos 60°＝5a2， ∴｜ ＋ ｜＝ a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧 棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则 · （i＝ 1，2，…，8）的不同值的个数为（　　） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 解析： 　 · ＝ ·（ ＋ ）＝ ＋ · ，∵AB⊥平面 BP2P8P6，∴ ⊥ ，∴ · ＝0，∴ · ＝｜ ｜2＝1，则 · （i＝1，2，…，8）的不同值的个数为1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $