6.1.3 共面向量定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（苏教版）

6.1.3 共面向量定理 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 1.了解共面向量的概念.　 2.理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面. 共面向量定理 (1)共面向量：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.显然，任意两个空间向量都是共面向量. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p=xa+yb.这就是说，向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示 向量共面的证明 (1)证明点P在平面ABC内，可以用=x+y，也可以用=+x+y.若用=x+y+z，则必须满足x+y+z=1. (2)判断三个向量共面一般用p=xa+yb，证明三线共面常用=x+y，证明四点共面常用=x+y+z(其中x+y+z=1) 续表 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　对共面向量概念的理解 题型(二)　向量共面的判定与证明 题型(三)　共面向量定理的应用 4 课时检测 题型(一)　对共面向量概念的理解 01 [例1]　下列命题正确的是 (　　) A.用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面 B.已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB，BC，CD，DA分别确定的四个向量之和为零向量 C.若存在有序实数组(x，y)使得=x+y，则O，P，A，B四点共面 D.若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面 解析：A错误，空间中任意两个向量都是共面的；B错误，因为四条线段确定的向量没有强调方向；C正确，因为共面，所以O，P，A，B四点共面；D错误，没有强调零向量. √ |思|维|建|模| (1)任意两个空间向量都是共面向量； (2)若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的意义是p在α内或p∥α. 针对训练 1.[多选]下列说法正确的是 (　　) A.若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行 B.已知空间任意两向量a，b，则向量a，b共面 C.已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z，使得p=xa+yb+zc D.若A，B，C，D是空间任意四点，则有+++=0 √ √ 解析：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线可以重合，并不一定平行，故A错误；根据共面向量的定义可知，空间中的任意两个向量都是共面的，故B正确；只有当空间的三个向量a，b，c不共面时，对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z，使得p=xa+yb+zc成立，若空间中的三个向量共面，此说法并不成立，故C错误；根据向量的加法法则即可判断D正确. 题型(二)　向量共面的判定与证明 02 [例2]　如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外 一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分 别取点E，F，G，H，并且使====k， 求证：E，F，G，H四点共面. 证明：在平行四边形ABCD中，=+，得-=(-)+ (-)，由已知得(-)=(-)+(-)，于是得=+，∴E，F，G，H四点共面. [变式拓展] 若本例条件“====k”变为“==m， ==k”，其他条件不变.求证：E，F，G，H 四点共面. 证明：在平行四边形ABCD中，=+，得-=(-)+(-)，由已知得-=-+-，即=+-=.∴E，F，G，H四点共面. |思|维|建|模|　利用向量法证明向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有=x+y或=x+y+z(x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示. 针对训练 2.如图，在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中，M为DD1 的中点，N在AC上，且AN∶NC=2∶1，求证： 与共面. 证明：因为=-，=+= -，==(+).所以=-=(+)-=(-)+=+.所以与共面. 题型(三)　共面向量定理的应用 03 [例3]　如图所示，已知E，F，G，H分别是空间 四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点. (1)用向量法证明E，F，G，H四点共面； 证明：如图所示，连接BG，EG，则 =+=+(+)=++=+. 由共面向量定理知E，F，G，H四点共面. (2)用向量法证明BD∥平面EFGH. 证明：设=a，=b，=c，则=-=c-a. =+=-+(c+b)=-a+b+c，=+=-c+ (a+b)=a+b-c.假设存在x，y，使=x+y.即c-a= x+y=a+b+c. ∵a，b，c不共线.∴解得∴=-.∴ 是共面向量，∵BD不在平面EFGH内，∴BD∥平面EFGH. |思|维|建|模| 利用向量判断线面平行有两种方法：一是利用共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向量共线；二是利用共面向量定理，找出平面内不共线的两个向量能表示出直线上的向量.两种方法中注意说明直线不在平面内. 针对训练 3.如图所示，在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中，O是 B1D1的中点.求证：B1C∥平面ODC1. 证明：设=a，=b，=c，则=c-a， 又O是B1D1的中点， 所以==(b-a).因为D1D C1C， 所以=c，=+=(b-a)+c. =-(a+b)，假设存在实数x，y，使=x+y，所以c-a=x-y·(a+b)=-(x+y)a+xc+b，且a，b，c不共线，所以x=1，(x+y)=1，且=0，即x=1，y=1. 所以=+，所以是共面向量， 又因为不在所确定的平面ODC1内， 所以B1C∥平面ODC1. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.对于空间中的任意三个向量a，b，2a+4b，它们一定是 (　　) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 √ 解析：若a，b不共线，则由空间共面向量定理知，a，b，2a+4b共面；若a，b共线，则a，b，2a+4b共线，也共面. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有=x+ +，则x的值为(　　) A.1 B.0 C.3 D. √ 解析：∵=x++，且M，A，B，C四点共面，∴x++=1，∴x=，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中，向量是(　　) A.有相同起点的向量 B.等模的向量 C.共面向量 D.不共面向量 √ 解析：如图所示，向量显然不是 有相同起点的向量，故A错误；由该平行六面体 不一定是正方体可知，这三个向量不一定是等模 的向量，故B错误；因为=共面，所以共面，故C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.[多选]若向量a，b，c不共面，则下列选项中的三个向量共面的是 (　　) A.b-c，b，b+c B.a+b，c，a+b+c C.a+b，a-c，c D.a-b，a+b，a √ √ √ 解析：向量a，b，c不共面，b-c=2b-(b+c)，因此三个向量共面；a+b+c=a+(b+c)，因此三个向量共面；若a+b，a-c，c共面，则存在实数s，t，使得a+b=s(a-c)+tc，故b=(s-1)a+(t-s)c，这与a，b，c不共面矛盾，故三个向量不共面；a-b=2a-(a+b)，因此三个向量一定共面. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.(5分)已知点M在平面ABC内，对空间任一点O，若2=x-+4，则x=_____.  -1 解析：因为2=x-+4，所以=-+2，又点M在平面ABC内，所以-+2=1，解得x=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.(5分)若=λ+μ(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系为______________________________.  AB⊂平面CDE或AB∥平面CDE 解析：由=λ+μ(λ，μ∈R)及共面向量定理可知，向量与向量共面，即直线AB可能在平面CDE内，也可能和平面CDE平行. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.(5分)已知i，j，k不共面，=i-2j+2k，=2i+j-3k，=λi+3j-5k，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为_______.  1 解析：由题意得=+=3i-j-k，=+=(3+λ)i+2j-6k. 因为A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的(x，y)，使得=x+y，即(3+λ)i+2j-6k=x(i-2j+2k)+y(3i-j-k)， 则解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.(5分)如图，已知四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面 A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，= =2，AC1与平面EFG交于点M，则=______.  解析：由题可设=λ(0<λ<1)，因为=++=2+3+ ，所以=2λ+3λ+λ.因为M，E，F，G四点共面，所以2λ+3λ+λ=1，解得λ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.(5分)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，若点P满足=+x+y，其中x，y∈R，则点P可以是正方体表面上的点_______________________________.(答案不唯一)  B1(或C或△ACB1边上的任意一点) 解析：因为点P满足=+x+y=+x(-)+ y(-)=(1-x-y)+x+y，其中1-x-y+x+y=1，所 以点A，M，N，P四点共面，因为点M和N分别是矩形ABCD 和BB1C1C的中心，所以CN=B1N，AM=MC，连接MN，AB1，如图，则MN∥AB1，所以△ACB1即为经过A，M，N三点的平面与正方体的截面，故点P可以是正方体表面上的点B1(或C或△ACB1边上的任意一点). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(10分)已知两个非零向量e1，e2不共线，如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3e1-3e2.求证：A，B，C，D四点共面. 证明：∵+=5e1+5e2=5，∴=(+)=+， 又与不共线，∴共面，又它们有一个公共起点A. ∴A，B，C，D四点共面. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(10分)H为四棱锥P⁃ABCD的棱PC的三等分点，且PH=HC.点G在AH上，AG =mAH，四边形ABCD为平行四边形.若G，B，P，D四点共面，求实数m的值. 解：如图，∵H为棱PC的三等分点，且PH=HC， ∴=，∴=.又∵点G在AH上，AG =mAH，∴=m=m(+)=m= m=m=++. 又∵B，G，P，D四点共面，且不共面，∴++=1，解得m=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(10分)设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点.求证：M，N，P，Q四点共面. 证明：如图，过B1作l3∥l1，取点C2∈l3且BC=B1C2，取 CC2的中点P1.因为==，所以= 2=2.因为A，B，C及A1，B1，C1分别 共线，所以=λ=2λ=μ=2μ.于是=+=+ =+(-)=(+)=(2λ+2μ)=λ+μ. 因此共面.故M，N，P，Q四点共面. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $