6.1.1 空间向量的线性运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间向量的概念、线性运算及共线向量定理，通过滑翔伞运动情境导入，从平面向量自然过渡到空间向量，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于以情境激发兴趣，通过平面到空间的推广培养逻辑推理，典例研析结合数学运算提升能力，如用共线向量定理证明线线平行。分层作业满足不同需求，助力学生发展数学抽象和空间观念，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

6.1.1　空间向量的线性运算 1 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念（数学抽象、直观想象）. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程（逻辑推理）. 3.掌握共线向量定理及其应用（数学抽象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　滑翔伞运动是一项极具观赏性、竞技性、娱乐性和刺激性的运动，而且是一种休闲娱乐型比赛项目，它风靡了世界各地.在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然，这些力不在同一个平面内. 【问题】　联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到 空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　空间向量的概念 1. 定义：在空间，把像位移、力、速度、加速度这样既有 ⁠又 有 的量，叫作空间向量. 2. 几何表示法：空间向量用 表示. 大小　 方向　 有向线段　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量称为零向量记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量 相反向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a 相同的向量 相同， ⁠相等 方向　 长度　 3. 几类特殊的空间向量 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　空间向量的线性运算 1. 空间向量的线性运算 已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作 ＝a， ＝b， ＝ c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义 为： ＝ ＋ ＝ ⁠； ＝ － ＝ ＝ ⁠. 若P在直线OA上，则 ＝ （λ∈R）. a＋c　 a－b　 －c　 λa　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律 （1）a＋b＝ ⁠； （2）（a＋b）＋c＝ ⁠； （3）λ（a＋b）＝ （λ∈R）. b＋a　 a＋（b＋c）　 λa＋λb　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 1. 由数乘λa＝0，可否得出λ＝0？ 提示：不能.λa＝0⇔λ＝0或a＝0. 2. λa的长度是a的长度的λ倍吗？ 提示：不是，应是｜λ｜倍. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点三　共线向量与共线向量定理 1. 共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互 相 或 ，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量a与 b平行，记作 .规定零向量与 向量共线. 2. 共线向量定理：对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充 要条件是存在实数λ，使 ⁠. 　　提醒：在共线向量定理中，要特别注意a≠0，若不加a≠0，则该充要 性不一定成立.例如，若b≠0，a＝0，则a∥b，但λ不存在，该充要性 也就不成立了. 平行　 重合　 a∥b　 任意　 b＝λa　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）向量 的长度与向量 的长度相等. （　√　） （2）若A，B，C三点共线，则 与 共线. （　√　） （3）对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c，则a∥c. （　×　） √ √ × 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 化简 － ＋ 所得的结果是（　　） A. B. C. 0 D. 解析： 　 － ＋ ＝ ＋ － ＝ － ＝0，故选C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知非零空间向量a，b，且 ＝a＋2b， ＝－5a＋6b， ＝7a －2b，则一定共线的三点是（　　） A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D 解析： 　∵ ＝ ＋ ＝2a＋4b＝2 ，∴A，B，D三点共线. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜空间向量的概念辨析 【例1】　〔多选〕下列命题为真命题的是（　　） A. 若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b B. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有 ＝ C. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D. 空间中任意两个单位向量必相等 √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　A为假命题，根据相等向量的定义知，两向量相等，不仅模要 相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命 题， 与 的方向相同，模也相等，故 ＝ ；C为真命题，向量 的相等满足传递性；D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但 方向不一定相同，故不一定相等.故选B、C. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 空间向量的概念辨析 　　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概 念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向 量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为始点和终点 的向量中： （1）试写出与 是相等向量的所有向量； 解： 与向量 是相等向量（除它自身之外）的有 ， ， ，共3个. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）试写出 的相反向量. 解： 向量 的相反向量为 ， ， ， . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜空间向量的线性运算 【例2】　（链接教科书第6页例1）已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简 下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： （1） ＋ ＋ ； 解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2） － ＋ ； 解： － ＋ ＝ －（ － ）＝ － ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3） ＋ ＋ （ － ）. 解： ＋ ＋ （ － ） ＝ ＋ （ ＋ ） ＝ ＋ . 设M是线段CB'的中点， 则 ＋ ＋ （ － ） ＝ ＋ ＝ . 向量 ， ， 如图所示. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 解决空间向量线性运算问题的方法 　　进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律 的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形 法则求和.运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点.若 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝（　　） A. a＋b＋ c B. a－b＋ c C. a＋ b＋ c D. a－ b＋ c 解析： 　由题意得 ＝ ， ＝ ，所以 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋ c.故选A. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P 在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心，Q是边CD的中点，若 ＝ ＋x ＋y ，则x＝ 　－ 　，y＝ 　－ 　. 解析：画出如图所示图形，∵ ＝ － ＝ － （ ＋ ）＝ － － ，∴x＝y＝－ . － － 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜共线向量定理 【例3】　（链接教科书第7页例2）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行 四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF 都是平行四边形， ∴ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ .　① 又∵ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝－ ＋ － － ，　② ①＋②得2 ＝ ，∴ ∥ . 又直线CE与MN不重合，∴CE∥MN. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平 行四边形， ∴ ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝ （ ＋ ）－ （ ＋ ） ＝ （ － ）＝ （ － ）＝ . ∴ ∥ . 又直线CE与MN不重合，∴CE∥MN. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 判断两个非零向量共线的方法 判断或证明两向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成 立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简 或用同一组向量表达. 2. 证明空间三点P，A，B共线的方法 （1） ＝λ （λ∈R）； （2）对空间任一点O， ＝ ＋t （t∈R）； （3）对空间任一点O， ＝x ＋y （x＋y＝1）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2（k＋1）e2共线的 k的值为 ⁠. 解析：由题意知，存在实数λ使得2ke1－e2＝λ[e1＋2（k＋1）e2]，又e1 与e2不共线，所以 解得 － 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且 ＝ 2 ，F在对角线A1C上，且 ＝ .求证：E，F，B三点共线. 证明：设 ＝a， ＝b， ＝c， 因为 ＝2 ， ＝ ， 所以 ＝ ， ＝ ， 所以 ＝ ＝ b， 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 ＝ （ － ）＝ （ ＋ － ） ＝ a＋ b－ c， 所以 ＝ － ＝ a－ b－ c ＝ . 又 ＝ ＋ ＋ ＝－ b－c＋a ＝a－ b－c， 所以 ＝ ，又EF，EB有公共点E，所以E，F，B三点共线. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 空间中任意四个点A，B，C，D，则 ＋ － ＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　 ＋ － ＝ ＋ ＝ － ＝ . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 若｜a｜＜｜b｜，则a＜b B. 若a，b为相反向量，则a＋b＝0 C. 对于空间内任意一个向量a，存在λ∈R，使得λa＝0 D. 在四边形ABCD中， － ＝ 解析： 　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向 量的和为0，不是0，B错；对于任意一个向量a，存在实数λ＝0，使得0·a ＝0，C正确；由向量的减法法则，D正确. √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知 ＝e1＋ke2， ＝5e1＋ 4e2， ＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　∵ ＝5e1＋4e2， ＝－e1－2e2，∴ ＝ ＋ ＝（5e1 ＋4e2）＋（e1＋2e2）＝6e1＋6e2. ∵A，B，D三点共线，∴ ＝λ ，∴e1＋ke2＝λ（6e1＋ 6e2）.∵e1，e2是不共线向量，∴ ∴k＝1. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 在空间四边形ABCD中，连接AC，BD. 若△BCD是正三角形，且E为 其中心，则 ＋ － － 的化简结果为 ⁠. 解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则 ＝ .故 ＋ － － ＝ ＋ － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0. 0 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 化简（ － ）－（ － ）的结果是（　　） A. 0 B. C. D. 解析： 　原式＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 向量a，b互为相反向量，已知｜b｜＝3，则下列结论正确的是 （　　） A. a＝b B. a＋b为实数0 C. a与b方向相同 D. ｜a｜＝3 解析： 　向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，在四面体ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则 ＋ （ － ）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　因为 － ＝ ， （ － ）＝ ＝ ，所以 ＋ （ － ）＝ ＋ ＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 如果向量 ， ， 满足｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜，那么下列 判断正确的是（　　） A. ＝ ＋ B. ＝－ － C. 与 同向 D. 与 同向 解析： 　∵｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜，∴A，B，C共线且点C在AB 之间，即 与 同向.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕下列命题是真命题的是（　　） A. 若点A，B，C，D在一条直线上，则 与 是共线向量 B. 若点A，B，C，D不在一条直线上，则 与 一定不是共线向量 C. 若 与 是共线向量，则点A，B，C，D一定在一条直线上 D. 若 与 是共线向量，则点A，B，C一定在一条直线上 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对选项A，由点A，B，C，D在一条直线上，可得 ， 的方向相同或相反，所以 与 一定是共线向量，故A为真命题；对选 项B，由点A，B，C，D不在一条直线上，则 ， 的方向不确定，所 以不能判断 与 是否为共线向量，故B为假命题；对选项C， ， 两向量所在的直线是否有公共点不确定，所以四点不一定在同一条直线 上，故C为假命题；对选项D，由 ， 两向量所在的直线至少有一个公 共点A，且 与 是共线向量，所以三点一定共线，故D为真命题.故选 A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果 为 的是（　　） A. （ － ）－ B. （ ＋ ）－ C. （ － ）＋ D. （ － ）－ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于选项A，（ － ）－ ＝ － ＝ ；对 于选项B，（ ＋ ）－ ＝ ＋ ＝ ；对于选项C， （ － ）＋ ＝ ＋ ＝ ；对于选项D，（ － ） － ＝（ － ）－ ＝ ＋ ＝ ，故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 如图所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中， 与 是 向量， 与 是 向量.（用相等、相反填空） 解析：由相等向量与相反向量的定义知： 与 是相等向量， 与 是相反向量. 相等 相反 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 设e1，e2是不共线的空间向量，已知 ＝2e1＋ke2， ＝e1＋3e2， ＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为 ⁠. 解析：因为 ＝ － ＝e1－4e2， ＝2e1＋ke2，又A，B，D三点 共线，且e1与e2不共线，故由向量共线的充要条件得 ＝ ，所以k＝－8. －8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知四边形ABCD，O为空间任意一点，且 ＋ ＝ ＋ ，则 四边形ABCD的形状是 ⁠. 解析：由已知可得 ＝ ，由相等向量的定义可知，四边形ABCD的一 组对边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各 式，并在图中标出化简得到的向量. （1） ＋ ； 解： ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2） ＋ ＋ ； 解： 因为M是BB1的中点， 所以 ＝ ＝ . 所以 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ . （3） － － . 解： － － ＝ － ＝ . 向量 ， ， 如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 在四面体O-ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点. 若 ＝ ＋ ＋ ，则使G，M，N三点共线的x的值是 （　　） A. 1 B. 2 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意得 ＝ （ ＋ ）， ＝ ，所以 ＝ · ＋ ·2 ＝ ＋ .因为G，M，N三点共线，所以设 ＝ λ ，即 － ＝λ（ － ），即 ＝（1＋λ）· － λ ，所以 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1 的交点，若 ＝a， ＝b， ＝c，则下列向量中与 共线的向量 是（　　） A. － a＋ b＋c B. a＋ b＋c C. a－ b－ c D. － a－ b＋c √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　因为 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝c＋ （－a＋b）＝－ a＋ b＋c， a－ b－ c＝－ （－ a＋ b＋c）， 所以与 共线的向量是－ a＋ b＋c和 a－ b－ c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 设G为△ABC的重心，O为△ABC所在平面外一点，设 ＝a， ＝b， ＝c，试用a，b，c表示 ＝ ⁠. 解析：如图所示.∵ ＝ ＋ （D为BC边的中点）， ＝ （ ＋ ）＝ （b＋c）， ＝ ＝ ＝－ [（b－a）＋（c－a）]＝－ （b ＋c）＋ a，∴ ＝ （b＋c）－ （b＋c）＋ a＝ （a ＋b＋c）. （a＋b＋c） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是对角线AC1的中点，化简下列 表达式： （1） ＋ ＋ ； 解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ . （2） ＋ － . 解： ＋ － ＝ （ ＋ ）－ ＝ － ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB， AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且 ＝ ， ＝ . 求证：四边形EFGH是梯形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 证明：∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴ ＝ ， ＝ ， 则 ＝ － ＝ － ＝ ＝ （ － ）＝ ＝ （ － ）＝ ， ∴ ∥ 且｜ ｜＝ ｜ ｜≠｜ ｜. 又点F不在直线EH上， ∴四边形EFGH是梯形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $