6.1.2 空间向量的数量积（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第二册

6.1.2 空间向量的数量积 第六章 空间向量与立体几何 苏教版2019·选择性必修第二册 学 习 目 标 1 掌握空间向量夹角的概念及其表示方法 2 掌握数量积的概念、性质、运算；并能够运用向量数量积解决空间向量的平行、垂直、夹角等 3 理解空间向量投影相关的概念，并运用其解决对应问题 复习回顾 在高一，我们学习了平面向量数量积，说一说平面数量积公式以及其相关的定义，性质等—— 1.数量积公式 2.平面向量的夹角 3.数量积运算律 4.平面向量数量积的几何意义(投影) 研读教材 本节课我们将类比平面向量数量积，学习空间向量是否有数量积运算，仔细阅读教材9 -12页，思考下面问题： 1. 它与平面向量数量积有什么联系和区别呢？ 2. 它们之间的公式一致吗？ 3. 你记住了么？ 新知讲解 (一)空间向量的夹角 O B A 设 是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作 ，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量 与 的夹角，记作： 。 新知讲解 (一)空间向量的夹角 ★ 向量夹角的注意点：共起点(即起点相同) ★ 向量夹角的范围： 0≤ ≤π ＝0 ⇔ 同向； ＝π ⇔ 反向； ＝ ⇔ 新知讲解 (二)空间向量的数量积 设 是空间两个非零向量，其夹角为θ，把数量| || |cosθ 叫作向量 与 的数量积，记作： ，即 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 说明：向量的数量积运算结果是一个数，不是向量; 中间的“·”不可省略。 归纳概括 (三)向量数量积的常用结论： ——空间向量模的计算公式 ——空间两向量夹角计算公式 (四)空间向量数量积的运算律 新知讲解 交换律： 分配律： 数乘结合律： 向量数量积不满足消去律： ⇏ 向量数量积不满足结合律： ＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32 ＝61， 所以 . 解析 已知 ＝2， ＝3， ＝60°，则 等于( 　) A. 　　　 B. 97 C. 　　　 D. 61 例1 知识运用 1.若 ，则 2.若 是空间两个非零向量，则(1)当 时， (2)当 时， (3)当 时， 随堂练习 随堂练习 已知向量 ，满足 ＝1， ＝2， ＝3，则 ＝1＋ ＋4＝1－4＋4＝1 ∴ ＝－4. 则 ＝1－ ＋4＝9 ∴ ＝1. 解析 1 随堂练习 若 为空间两两夹角都是60°的三个单位向量， 则 ＝____. ＝5. ∴ ＝ . ＝1＋1＋4×1－2×1×1×cos 60°＋4×1×1×cos 60°－4×1×1×cos 60° 解析 随堂练习 已知 是两个空间单位向量，它们的夹角为60°，设向量 .求： (1) ； (2)向量 与 的夹角. (1)因为 是两个空间单位向量，它们的夹角为60°， 所以 所以 解析 随堂练习 已知 是两个空间单位向量，它们的夹角为60°，设向量 . 求：(2)向量 与 的夹角. 解析 (2)因为 所以 又因为 所以 因为 向量 与 的夹角为 所以 ， 所以 知识运用 例2 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1 D1中，求 (1) 与 的夹角是 ； (2) 与 的夹角是 ； (3) 随堂练习 解析 随堂练习 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则 与 所成角的大小为______， ＝____. 即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°， 连接A1D，则∠PA1D就是 与 所成角， 连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝ ， 即 与 所成角的大小为60°， 因此 ＝ × ×cos 60°＝1. 解析 60° 1 例3 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. 求证：PA⊥BD. 在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD， 所以AD2＋BD2＝AB2， 解析 知识运用 如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为 a. (1)求AB和BC的夹角；(2)求证: AB⊥AC. A B C D A B C D (1) = a2， 即AB和BC的夹角为60. 随堂练习 解析 如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为 a. (1)求AB和BC的夹角；(2)求证: AB⊥AC. A B C D A B C D 随堂练习 解析 = 0， ∴AB⊥AC. (2) 证明: 新知讲解 (五)空间向量的投影向量 对于空间任意两个非零向量 ，设 ，过点 A 作AA1⊥OB，垂足为A1，上述由向量 得到向量 的变换称 为向量 向向量 投影，向量 称为向量 在向量 上的投影向量。 O B A A1 新知讲解 (五)空间向量的投影向量 与平面向量的情形类似，我们有 即向量 的数量积就是向量 在向量 上的投影向量与向量 的数量积。 知识运用 例4 如图，A，B为平面 α 外两点，点 A，B在平面 α 上的射影分别是 A′ 、B′， 为平面 α 内的向量，求证： 。 α A B A′ B′ 解析 新知讲解 α C D C1 D1 (六)空间投影向量的概念拓展 如图，设向量 ， 过点C，D分别作平面 α 的垂线，垂足 分别为C1，D1，得向量 . 将上述由向量 得到向量 的 变换称为向量 向平面 α 投影，向量 称为向量 在平面 α 上的投影向量。 新知讲解 (六)空间投影向量的概念拓展 α C D C1 D1 由上例知，对于平面 α 内的任一向量 ，有 也就是说，向量 的数量积就是向量 在平面 α 上的投影向量与向量 的数量积。 归纳概括 (七)空间向量数量积的几何意义 表述1： 空间向量 和 的数量积等于向量 的模 与向量 在 方向 上的投影 的乘积。 表述2： 空间向量 和 的数量积等于向量 在平面 α 上的投影向量 与向量 的乘积。 知识运用 (1)向量 在平面ABC上的投影向量是 解析 知识运用 (2)向量 在直线BC上的投影向量是 解析 随堂练习 解析 随堂练习 解析 课堂总结 (1)空间向量的夹角 (2)空间向量的数量积 (3)空间向量数量积的运算律 (4)向量数量积的常用结论： (5)空间向量数量积的性质 (6)空间向量的投影向量 (7)空间向量数量积的几何意义 熟记公式 应用公式 计算准确 感谢聆听! 如图，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(BA,\s\up16(→))； (2)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))； (3)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(→))； (4)eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→)). (1)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))·eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)|eq \o(BD,\s\up16(→))|·|eq \o(BA,\s\up16(→))|·cos<eq \o(BD,\s\up16(→))，eq \o(BA,\s\up16(→))>＝eq \f(1,2)cos 60°＝eq \f(1,4). (2)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))·eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)|eq \o(BD,\s\up16(→))|2＝eq \f(1,2). (3)eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))·eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)|eq \o(BD,\s\up16(→))||eq \o(DC,\s\up16(→))|·cos<eq \o(BD,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))>＝eq \f(1,2)cos 120°＝－eq \f(1,4). (4)eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))·(eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→)))＝eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(AD,\s\up16(→))|cos<eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))>－ |eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(AC,\s\up16(→))|·cos<eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))>＝cos 60°－cos 60°＝0. 由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则·＝0. 所以·＝(＋)·＝·＋·＝0，即PA⊥BD. 所以DA⊥BD，则·＝0. 又＝＋， 由余弦定理得，BD＝AD， 由AA′⊥α，且m在α内可知eq \o(AA′,\s\up16(→))·m＝0. 同理eq \o(B′B,\s\up16(→))·m＝0， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))·m＝(eq \o(AA′,\s\up16(→))＋eq \o(A′B′,\s\up16(→))＋eq \o(B′B,\s\up16(→)))·m ＝eq \o(AA′,\s\up16(→))·m＋eq \o(A′B′,\s\up16(→))·m＋eq \o(B′B,\s\up16(→))·m ＝0＋eq \o(A′B′,\s\up16(→))·m＋0＝eq \o(A′B′,\s\up16(→))·m，故命题成立． 例5 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱CC1上任意一点． (1) 确定向量eq \o(AM,\s\up16(→))在平面ABC上的投影向量，并求eq \o(AM,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))； (2) 确定向量eq \o(AM,\s\up16(→))在直线BC上的投影向量，并求eq \o(AM,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→)). 例5 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱CC1上任意一点． (1) 确定向量eq \o(AM,\s\up16(→))在平面ABC上的投影向量，并求eq \o(AM,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))； (2) 确定向量eq \o(AM,\s\up16(→))在直线BC上的投影向量，并求eq \o(AM,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→)). $