6.1.1 第1课时 空间向量的概念及线性运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（苏教版）

第6章 空间向量与立体几何 空间向量及其运算 6.1 空间向量的线性运算 6.1.1 空间向量的概念及线性运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.类比平面向量，理解空间向量的定义及表示方法，掌握几种特殊的空间向量. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　空间向量的概念 逐点清(二)　空间向量及其线性运算 逐点清(三)　共线向量及共线向量定理 4 课时检测 逐点清(一)　空间向量的概念 01 1.空间向量的定义及表示 多维理解 定义 在空间，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有____又有____的量，叫作空间向量 长度或模 空间向量的大小叫作空间向量的_____或____ 表示方法 几何表示 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示 符号表示 表示空间向量的有向线段，若以A为起点，B为终点，则记作，其模记作|| 空间向量常用一个小写字母表示.如：向量a，b，其模分别记为|a|，|b| 大小 方向 长度 模 2.几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量   1   相反向量 _____ _____ a的相反向量：_____，的相反向量： 相等向量 _____ 相等 a=b 相反 相等 -a 相同 |微|点|助|解| 理解空间向量相关概念的注意点 (1)单位向量、零向量都明确规定了向量的模，需注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，因此，它们不一定相等；零向量的方向任意，但规定所有的零向量都相等. (2)在平面内，若以两个同向向量为对边可构成平行四边形，则这两个向量相等.在空间中，这个结论同样成立. (3)和平面向量一样，若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同. 1.[多选]下列命题为真命题的是 (　　) A.空间向量就是空间中的一条有向线段 B.所有的零向量相等 C.任一向量与它的相反向量不相等 D.向量与向量的长度相等 √ 微点练明 √ 解析：有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误；零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故B正确，C错误；与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确. 2.下列关于空间向量的说法正确的是 (　　) A.单位向量都相等 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量满足||>||，则> D.相等向量其方向必相同 √ 解析：单位向量长度相等，方向不确定，故A错误；|a|=|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定，故B错误；向量作为矢量不能比较大小，故C错误；相等向量方向相同，大小相等，故D正确. 3.如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点 的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； 解：与向量相等的所有向量(除它自身之外)有及，共3个. (2)试写出的相反向量； 解：向量的相反向量为. (3)若AB=AD=2，AA1=1，求向量的模. 解：||===3. 逐点清(二)　空间向量及其 线性运算 02 1.空间向量的加法、减法与数乘运算 多维理解 名称 运算法则 特点 图示 加法 运算 三角形法则 首尾相接首尾连 (通过平移) 平行四边形法则 起点相同(共起点) (通过平移) 减法 运算 平行四边形法则 起点相同连终点，被减向量定指向 数乘 运算 实数λ的作用：正负定方向，数值定模比 续表 2.空间向量的加法和数乘的运算律 (1)加法交换律：a+b=______. (2)加法结合律：(a+b)+c=__________. (3)数乘分配律：λ(a+b)=______________. b+a a+(b+c) λa+λb(λ∈R) 1.在三棱锥O-ABC中，+-等于(　　) A. B. C. D. √ 微点练明 解析：+-=-=+=，故选C. 2.在四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则-(+)=(　　) A.- B.- C. D. √ 解析：-(+)=-(2)=-==-. 3.已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量 表达式，并在图中标出化简得到的向量： (1)++； 解：++=++=.向量如图(1)所示. (2)-+； 解：-+=-(-)=-=.向量如图(2)所示. (3)++(-). 解：++(-)=+(+) =+，设M是线段CB'的中点， 则++(-)=+=. 向量如图(3)所示. 逐点清(三)　共线向量及共线 向量定理 03 1.共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线_________或______，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量a与b平行，记作_____. 规定零向量与任意向量______. 2.共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使_______. 多维理解 互相平行 重合 a∥b 共线 b=λa 1.[多选]下列说法错误的是 (　　) A.在平面内共线的向量在空间内不一定共线 B.在空间内共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间内一定不共线 D.在空间内共线的向量在平面内一定共线 √ 微点练明 √ √ 解析：在平面内共线的向量在空间内一定共线，故A、C错误；在空间内共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故B错误，D正确. 2.与共线是直线AB∥CD的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：若与共线，则∥，此时AB与CD可能平行也可能为同一直线，所以充分性不成立；而若AB∥CD，则必有与共线，必要性成立. 3.已知空间四边形ABCD，点E，F分别是AB与AD边上的点，M，N分别是BC与CD边上的点，若=λ=λ=μ=μ，则向量与满足的关系为(　　) A.= B.∥ C.||=|| D.||≠|| √ 解析：由=λ=λ，得=-=λ(-)=λ， 所以共线.同理，由=μ=μ，得=μ， 所以共线，所以共线，即∥.故选B. 4.设向量e1，e2，e3不共面，已知=e1+e2+e3，=e1+λe2+e3，=4e1+8e2+4e3，若A，C，D三点共线，则λ=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析：由=e1+e2+e3，=e1+λe2+e3，得=+=2e1+(1+λ)e2 +2e3，因为A，C，D三点共线，所以∥，则存在唯一实数μ，使得=μ，则解得 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.下列命题中，假命题是 (　　) A.任意两个空间向量的模能比较大小 B.两个共线向量，它们的方向相同或相反 C.只有零向量的模等于0 D.空间中任意两个单位向量必相等 √ 解析：空间向量不能比较大小，但它们的模可以比较大小；共线向量的方向相同或相反；零向量的模等于0；单位向量模相等，方向不一定相同. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.化简(a+2b-3c)+3×-(a-2b+c)为(　　) A.2a+b-2c B.2a+b-2c C.2a-b-2c D.2a-b-2c √ 解析：原式=a+3×a-a+2b-3×b+2b-3c+3×c-c=2a+b-2c.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.下列说法正确的是 (　　) A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.数乘运算中，λ既决定大小又决定方向 D.在四边形ABCD中，一定有+= √ 解析：空间中共线的向量不一定在同一条直线上，有可能两向量所在的直线平行，所以A错误；两个向量不相等，有可能方向不同，模相等，所以B错误；向量数乘运算中，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；在平行四边形ABCD中，才有+=，所以D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.对于空间中的非零向量，其中一定不成立的是(　　) A.+= B.-= C.||+||=|| D.||-||=|| √ 解析：对于A，+=恒成立；对于C，当方向相同时，有||+||=||；对于D，当方向相同且||≥||时，有||-||=||；对于B，由向量减法可知-=，又为非零向量，所以B一定不成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.如图，在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与. 其中互为相反向量的有n对，则n等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析：对于①与，③与中的两向量，长度相等，方向相反，均互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；对于④与长度相等，方向相同.故互为相反向量的有2对. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知四边形ABCD，O为空间任意一点，且+=+，则四边形ABCD是(　　) A.空间四边形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.矩形 √ 解析：由已知可得=，由相等向量的定义可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形，无法判断其是不是矩形.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.[多选]如图，在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，则 (　　) A.-= B.-=2 C.= D.= √ √ 解析：-=+=，A正确，B不正确.=，C正确，D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.[多选]若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且=a，=b，则下列结论正确的是(　　) A.=-a-b B.=a+b C.=-a+b D.=a √ √ √ 解析：∵=a，=b，∴=+=-+=--=-a-b，故A正确；=+=+=a+b，故B正确；∵=+= -b-a，∴=+=+=b+(-b-a)=-a+b，故C正确；==-a，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.[多选]已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则=(　　) A.(-) B.(-) C.-(+) D.+(+) √ √ 解析：对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以==(-)，正确；对于B，==( +)=(-)，错误；对于C，=-=-(+)，正确；对于D，=-(+)=+ -(+)=+(+)-(+)，错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.已知m=a+2b-3c，n=x(a+b)-y(b+c)+3(a+c)，若m∥n，则=(　　) A.-3 B.- C.3 D. √ 解析：由题意知m=a+2b-3c，n=x(a+b)-y(b+c)+3(a+c)=(x+3)a+(x-y)b +(3-y)c.因为m∥n，所以存在实数λ，使n=λm，所以(x+3)a+(x-y)b+ (3-y)c=λ(a+2b-3c)，所以即 解得x=-，y=-，所以=3.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，-+=________.  解析：-+=+-=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知在四面体O⁃ABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点 N为BC中点，设=a，=b，=c，则等于_______________.  -a+b+c 解析：如图可知=+=-+(+)=-a+b+c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知空间向量c，d不共线，设向量a=kc+d，b=c-k2d，且a与b共线，则实数k的值为________.  -1 解析：因为c，d不共线，所以c≠0，且d≠0. 由a与b共线知，存在λ∈R使a=λb成立，即kc+d=λ(c-k2d)， 整理得(k-λ)c+(1+λk2)d=0，所以解得k=λ=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)如图，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，点E为 棱B1C1上任意一点.只考虑图上已画出线段所对应的 向量，写出： (1)的相等向量，的相反向量；(4分) 解：根据正方体棱与棱之间的关系，的相等向量有的相反向量有. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)用另外两个向量的和或差表示；(3分) 解：用“首尾规则”求解，如果只在含的三角形中考虑，有= +=+=-=-.(答案不唯一) (3)用三个或三个以上向量的和表示.(3分) 解：用“首尾规则”求解，则=++=++ ++.(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)如图，四边形ABCD，ABEF都是平行 四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点， 判断与是否共线. 解：因为M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，所以=++=++.又=++ +=-+--，所以++=-+--.所以=+2+=2(++)=2，即与共线. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $