第11章 阶段小测(三)（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）
2026-05-01
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教辅
摘要：
该高中数学课件聚焦立体几何核心内容，涵盖空间几何体结构特征、表面积与体积计算及外接球问题，通过从基础概念辨析到综合应用的梯度设计，搭建学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。
其亮点在于以实例驱动，如“笼具”体积计算培养数学眼光与应用意识，正四面体中圆锥体积最值问题强化空间观念与推理能力，助力学生深化理解，也为教师提供高效教学资源，提升课堂效果。
内容正文：
阶段小测(三)
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一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．下列说法正确的是( )
A．三棱台有8个顶点
B．底面是矩形的四棱柱是长方体
C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
D．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
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阶段小测
解析：由三棱台的图形知三棱台有6个顶点，所以A错误；
因为四棱柱的底面是矩形时，侧棱与底面矩形不一定垂直，所以B错误；
各个面都是三角形的几何体可如图所示，但该几何体不是三棱锥，所以C错误；
由圆台的定义可知，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，所以D正确．
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2.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是( )
A．四棱台 B．四棱锥
C．四棱柱 D．三棱柱
解析：记水面与三棱柱四条棱的交点分别为D，E，D1，E1，如图所示，由三棱锥性质可知，梯形ABED和梯形A1B1E1D1全等且所在平面互相平行，
由题意，可知AA1，BB1，DD1，EE1互相平行，
所以盛水部分的几何体是四棱柱．
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5.如图，在棱长为6的正四面体P-ABC中，以P为顶点的圆锥在正四面体的内部(含表面)，则该圆锥体积的最大值为( )
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二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．)
7．已知用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是( )
A．侧面积之比为1∶4
B．侧面积之比为1∶8
C．体积之比为1∶27
D．体积之比为1∶26
解析：依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.
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三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．)
9.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为4，则该几何体的表面积为________．
解析：依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和，所以所求表面积为S＝2π×22＋π×22＋2π×1×4＝20π.
20π
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16π
解析：连接B1D1，BD，取B1D1，BD的中点E，F，连接C1E，CF，EF，则EF为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，则外接球球心在直线EF上，设该正四棱台外接球的球心为O，半径为R，如图所示，连接OC，OC1，则OC＝OC1＝R，
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四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)
12．(本小题满分13分)某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面相同，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计．已知圆柱的底面周长为32π cm，高为30 cm，圆锥的母线长为20 cm.
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(1)求这种“笼具”的体积；(6分)
解：设圆柱的底面半径为r cm，高为h cm，圆锥的母线长为l cm，高为h1 cm，
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(2)现用100 m2的纱网材料制作这种“笼具”，问至多可以制作多少个“笼具”？(假设纱网材料没有浪费，π≈3.14，结果保留整数)(7分)
解：由(1)可知，圆柱的侧面积为
S1＝2πrh＝2π×16×30＝960π (cm2)，
圆柱的底面积为S2＝πr2＝256π (cm2)，圆锥的侧面积为S3＝πrl＝320π(cm2)，
所以这种“笼具”的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝1 536π(cm2)，
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13．(本小题满分15分)如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为1，BC⊥CC1，点P为线段B1C1上的动点．
(1)若点P恰为线段B1C1上靠近点C1的三等分点，求三棱锥P-A1BC和三棱柱ABC-A1B1C1的体积的比值；(7分)
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(2)求PA1＋PC的最小值及此时B1P的值．(8分)
解：将△A1B1C1绕着直线B1C1旋转至平面BCC1B1，
当P，A1，C三点共线时，PA1＋PC取得最小值，
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14.(本小题满分15分)如图，四面体A-B1CD1的四个顶点均为长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点．
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解：由于四面体A-B1CD1的四个顶点均为长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点，所以四面体A-B1CD1的外接球与长方体的外接球是同一个球，
所以所求四面体外接球的表面积为4πR2＝6π.
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解析：因为圆锥的轴截面是一个斜边长为2的等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径R＝，母线l＝2，所以圆锥的表面积S＝πR2＋πRl＝π.
解析：因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，且其体积为16，则S△ABC＝a2sin 60°＝a2，所以V正三棱柱ABC-A1B1C1＝S△ABC·AA1＝a3＝16，解得a＝4.
解析：如图所示，因为＝2，所以O1O＝，OO2＝，所以r2＋＝(2r)2＋，解得3r2＝，所以＝3.
设正四棱台的高为h，
故[()2＋(2)2＋]h＝，
因为∠A1C1B1＝，∠B1C1C＝，CC1＝A1C1＝1，
所以A1C2＝A1C＋CC－2A1C1×CC1cos ∠A1C1C＝1＋1－2cos ＝2＋，所以A1C＝，
所以表面积SA-B1CD1＝4××××sin 60°＝4××××＝2，
体积VA-B1CD1＝VABCD-A1B1C1D1－4VB1-ABC＝13－4×××1×1×1＝.
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