专题05 立体几何（空间几何体）（7大考点期末真题汇编，辽宁专用）高一数学下学期人教B版

**基本信息** 专题聚焦立体几何7大高频考点，汇编辽宁多地期末试题，覆盖几何体概念、表面积体积、球与轨迹截面等核心内容，题型多样且注重空间想象与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|24|几何体概念（圆柱形成）、斜二测画法（直观图面积）、外接球（三棱锥模型）|结合中国古代建筑（正六棱锥攒尖）、祖暅原理应用| |多选|12|轨迹截面（正方体截面形状）、内切球（半正多面体）|注重空间关系推理与多选项辨析| |填空|11|表面积（圆台）、体积（圆锥）|联系实际问题（包装盒捆扎）| |解答|1|斜二测画法（原图形还原及面积计算）|强调作图与运算综合能力|

专题05 立体几何（空间几何体） 7大高频考点概览 考点01几何体概念 考点02斜二测画法 考点03多面体表面积 考点04多面体体积 考点05外接球 考点06内切球 考点07轨迹/截面问题 地 城 考点01 几何体概念 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁省朝阳市凌源·期末）将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（    ） A．圆柱 B．圆台 C．圆锥 D．棱柱 【答案】A 【分析】由圆柱的定义可得答案. 【详解】将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是圆柱. 故选：A. 二、多选题 2．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B．棱柱至少有五个面 C．棱台的侧棱延长后必交于一点 D．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 【答案】BC 【分析】根据棱锥、棱柱、棱台、圆台的概念以及性质，即可判断得出答案. 【详解】对于A项，根据棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，可知A项错误； 对于B项，棱柱中面最少的为三棱柱，有五个面.故B正确； 对于C项，由于棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的多面体为棱台.结合棱锥的性质，可知棱台的侧棱延长后必交于一点.故C正确； 对于D项，以直角梯形的垂直于底面的腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台，当腰与底面不垂直时，得到的旋转体不是圆台.故D错误. 故选：BC. 3．（24-25高一下·辽宁大连二十四中·期末）（多选）关于空间中的几何体和基本事实，下列说法错误的是（   ）. A．长方体不同的三条棱长分别为3、5、8，则其外接球的表面积为 B．所有侧面均为全等的等腰三角形的棱锥一定是正棱锥 C．点是某一给定平面外的两点，则一定存在过直线的平面垂直于这个平面 D．棱长相同的正方体和正四面体的棱切球的表面积之比为 【答案】ABD 【分析】A选项利用长方体外接球的直径等于长方体的体对角线即可求解；B选项举出一个反例即可；C选项利用平面与平面垂直的判定定理即可判断；D选项分别求出正方体和正四面体的棱切球的半径即可求解. 【详解】对于A选项，设长方体外接球的半径为， 长方体不同的三条棱长分别为3、5、8，， 外接球的表面积为，故A错误； 对于B选项，如图所示的三棱锥，满足所有侧面均为全等的等腰三角形，但此三棱锥不是正三棱锥，故B错误； 对于C选项，当直线垂直于给定平面时，根据面面垂直判定定理可知， 存在过直线的平面与给定的平面垂直， 当直线与给定的平面不垂直时，过点作直线与给定平面垂直， 此时直线与直线所确定的平面即为所求，故C正确； 对于D选项，设正方体和正四面体的棱长都为， 正方体棱切球的半径为，表面积为，正四面体棱切球的半径为，表面积为， 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长， 则正方体棱切球的半径， ； 将正四面体补成一个正方体，正四面体的棱长为正方体的面对角线，则正四面体的棱切球的直径等于正方体的棱长，设正方体的棱长为，则，， 则，， ，故D错误. 故选：ABD. 地 城 考点02 斜二测画法 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，的面积为3，则（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】D 【分析】先根据三角形的面积公式求的长度，再根据斜二测画法的规则确定的长度. 【详解】在中，由 所以. 根据斜二测画法的规则可得：. 故选：D 2．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据斜二测图形信息推出原图形的尺寸，再分析旋转后几何体的构成，最后求出体积. 【详解】已知在斜二测图形中，， 根据斜二测画法中平行于轴的线段长度不变的规则，可知在原图形中，，. 又已知，由斜二测画法中平行于轴的线段长度减半的性质， 可得原图形中，且（斜二测画法中轴与轴夹角在原图形中为）. 如图，得到原图. 因为梯形以边为轴旋转一周，所以得到的几何体为圆台. 其中圆台的底面半径，高； 根据圆台体积公式，可得. 故选：B. 3．（24-25高一下·辽宁鞍山台安县·期末）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直观图画出原图象，计算即可. 【详解】由直观图画出原图象，如图所示： 由直观图可知，， 所以，所以的周长为. 故选：B. 4．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意得到，然后还原原图形计算即可. 【详解】由图可知：，则，原图形如下图： 所以，则面积为 故选：B 二、多选题 5．（24-25高一下·辽宁重点高中联考·期末）（多选）关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 【答案】AC 【分析】根据斜二测画法的性质依次判断即可． 【详解】对于选项A，根据斜二测画法的规则，平行关系在直观图与原图中保持不变，故选项A正确； 对于选项B，斜二测画法可能会改变边长比例，故选项B错误； 对于选项C，斜二测画法会改变直角关系，故选项C正确； 对于选项D，直观图的面积是原图面积的，故选项D错误． 故选：AC． 三、解答题 6．（24-25高一下·辽宁沈文新联盟·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)5，． 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， 所以四边形的面积为． 地 城 考点03 多面体表面积 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末）已知圆台的上、下底面面积分别为和，其母线长为5，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆台的上、下底面的半径，结合圆台的母线长，代入圆台的表面积公式计算即可． 【详解】∵圆台的上、下底面面积分别为和， ∴圆台的上、下底面半径分别为6和7，又圆台的母线长5， ∴圆台的表面积为. 故选：B． 2．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1且侧棱长为，则棱锥侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故选：A 3．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由圆锥的侧面积公式得到. 【详解】因为，所以圆锥的侧面积. 故选：C. 4．（24-25高一下·辽宁大连二十四中·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其直角边为，由可得，即可得答案. 【详解】由题设分析，如下图，转动45°了后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：D. 二、填空题 5．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为_________． 【答案】/ 【分析】根据扇形的弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知扇形的弧长， 设该圆锥的底面圆的半径为，则， 即，得，即该圆锥的底面圆的直径为. 故答案为： 6．（24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3.则四棱台的高为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出正四棱台的对角面等腰梯形的高即可作答. 【详解】正四棱台对角面等腰梯形的高即为该正四棱台的高， 因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3， 则该四棱台对角面等腰梯形的上下底边长分别为，腰长为3， 因此等腰梯形的高为， 所以四棱台的高为. 故答案为： 7．（24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末）小王同学在手工课上制作了一个圆锥模型，若该模型的底面积是侧面积的一半，则该模型轴截面顶角的大小为________. 【答案】60°/ 【分析】利用圆锥的侧面积公式列方程，求解推得圆锥轴截面的形状即得. 【详解】设圆锥模型的底面半径为，母线长为， 由题得，解得， 所以轴截面为等边三角形，故该模型轴截面顶角的大小为60°. 故答案为：. 8．（24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末）日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面是正方形，且，.    店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为________ . 【答案】 【分析】计算出两种捆扎法中绳的长度后相减即得． 【详解】图A，沿彩绳展开正四棱柱，彩绳长度最小值为，    图B，彩绳长度最小值为， 则图A比图B最多节省的彩绳长度为. 故答案为：. 地 城 考点04 多面体体积 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）若圆锥的表面积为，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆锥表面积公式求出圆锥的母线及高，再利用锥体的体积公式计算即得. 【详解】圆锥底面圆半径，母线，高， 由圆锥的表面积为，得，而，解得， 因此， 所以该圆锥的体积. 故选：C 2．（24-25高一下·辽宁省名校联盟·期末）中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（    ） A．144 B．72 C．36 D．24 【答案】B 【分析】利用正六边形的性质求出正六棱柱的底面边长，再根据棱柱的体积公式求解即可. 【详解】如图，正六边形的每个内角为120°， 按虚线处折成高为的正六棱柱，即，所以， 可得正六棱柱底边边长， 则正六棱柱的底面积为 所以正六棱柱的体积. 故选：B 3．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据棱锥与棱柱的体积公式，结合图形，可得答案. 【详解】取的中点为，连接，如下图： 易知三棱柱的体积是三棱柱的一半， 由图可知三棱锥与三棱柱同底等高， 则三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一， 即四棱锥的体积是三棱柱体积的三分之二， 综上可得四棱锥的体积是是三棱柱的三分之一， 即. 故选：A. 4．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用扇形的面积公式得到相似比，再根据相似几何体的体积之比等于相似比的立方可推出小圆锥与原圆锥的体积比，从而求得上下两个几何体的体积之比. 【详解】一个圆锥被平行于底面的平面所截得到两个几何体：圆锥与圆台，如图， 设大圆锥侧面展开扇形的圆心角为，大圆锥的侧面积与体积分别为， 小圆锥的侧面积与体积分别为，圆台的体积为 由题意可得, 因为相似几何体的体积之比等于相似比的立方， 所以，则， 所以上下两个几何体的体积之比为. 故选：D 5．（24-25高一下·辽宁大连二十四中·期末）一正四棱台内接于圆锥，其俯视图如下图所示.若底面上弓形（即图中阴影部分）面积与棱台上底面面积之比为，则圆锥与棱台体积之比为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为R，结合题意求出棱台上底面正方形边长，设圆锥高，即可表示出棱台的高，结合棱台以及圆锥的体积公式，即可求得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为R，则正四棱台的底面边长为， 则阴影部分面积为， 由于底面上弓形（即图中阴影部分）面积与棱台上底面面积之比为， 设棱台上底面正方形边长为a，则，则， 即正四棱台的上下底面边长之比为，而正四棱台内接于圆锥， 则正四棱台各侧棱延长后交于一点，即为圆锥的顶点， ， 设圆锥的高为h，则正四棱台的高为， 故, 故选：D 6．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（   ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A． B． C．36π D．72π 【答案】B 【分析】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等，在正四棱柱，作四棱锥，作一平行截面，先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等， 在正四棱柱，作四棱锥， 为底面正方形的中心， 作截面平行于帐篷底面，与帐篷和正四棱柱与正四棱锥相截， 截面分别为四边形，四边形，四边形，如图所示， 设截面与底面的距离为，设底面中心为， 截面中心为，则，， 所以，所以截面的面积为. 设四棱柱底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形的面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 故选：B. 二、填空题 7．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期末）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____.    【答案】 【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果. 【详解】由题，为等腰直角三角形，作于点，如图， 则绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和，    由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高为2， 则圆锥的体积为， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为， 因此剩余部分所形成的几何体的体积为. 故答案为：. 地 城 考点05 外接球 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁名校联盟·期末）已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理得，再补成正方体得外接球得半径，最后根据球体积公式得结果. 【详解】因为所以，， 即， 因为，，所以平面，同理可得平面， 所以可作为边长为1的正方体的四个顶点， 因为正方体的外接球直径为，所以外接球的半径为， 因此球的体积为， 故选：A. 2．（24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末）在长方体中，M为的中点，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A．56π B．52π C．48π D．64π 【答案】D 【分析】取的中点，将三棱锥补成直三棱柱，利用正弦定理可得外接圆的半径，直三棱柱上下底面外接圆圆心距离为，根据勾股定理可得三棱锥外接球的半径，利用球的表面积公式计算即可． 【详解】取的中点，连接，将三棱锥补成直三棱柱， 因为，所以， 设外接圆的半径为，又， 利用正弦定理可得，即， 直三棱柱上下底面外接圆圆心距离为， 根据勾股定理可得三棱锥外接球的半径， 则球的表面积为. 故选：D． 3．（24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，则，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】在中由余弦定理 ，所以, 设外接圆的半径为，则，所以， 又平面，，设三棱锥外接球的半径为， 则， 所以三棱锥外接球的表面积. 故选：C 4．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由棱台的体积公式可得棱台的高，再求棱台的外接球体积即可. 【详解】由题可知，，设棱台高为， 则，解得，    根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 5．（24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，该四棱柱的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据几何体的特征，确定球心的位置位于下底面与上底面的外接圆圆心的中点，进而求得球的半径满足，进而可得表面积. 【详解】 如图，过点作于点，连接， 因为，所以， 由平面几何知识可和， 又，故，所以， 所以. 设直四棱柱的下底面与上底面的外接圆圆心为， 则的中点为球心，且. 设球的半径为，因为，所以， 所以， 所以球的表面积. 故选：A 6．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为6，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接相交于点，当平面时，四棱锥的体积的最大，此时球心在上，根据求出，再利用是直角三角形求出可得答案. 【详解】连接相交于点，连接，当平面时， 四棱锥的体积的最大，此时球心在上，连接， 所以，解得， 四边形是边长为的正方形，所以， 设球的半径为，因为是直角三角形，所以， 即，解得， 则球的表面积为. 故选：C. 7．（24-25高一下·辽宁名校联盟·期末）在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，得到为外接球的球心，且，设，求得三棱锥的体积为，得到取得最大值，在中，利用余弦定理，求得的值，结合球的截面圆的性质，得到截面圆的半径为，结合圆的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因为，所以，即为外接球的球心， 可得球的半径为， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面， 设，则，所以， 所以三棱锥的体积为： ， 当时，取得最大值， 因为， 在中，由余弦定理得 ， 根据球的性质得，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积的最小值为. 故选：B. 二、多选题 8．（24-25高一下·辽宁大连八中·期末）（多选）在正三棱柱中，，，，分别为，的中点，，，，四点均在球的表面上，则（    ） A．平面 B．球的表面积为 C．球表面与三棱柱表面的交线长度之和为 D．六面体与七面体公共部分的体积为 【答案】AC 【分析】设中点为，易证四边形为平行四边形，可得，根据线面平面的判定即可证明平面确定A；由题可得为直角三角形，为公共斜边，则球心在中点处，为球的直径，利用球的表面积公式即可判断B；利用球的性质可求与各面的交线长，求和即可判断C；易知六面体与七面体无公共部分即可判断D. 【详解】设中点为，又为中点，所以，且， 又为中点，所以，且， 即，且，则四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 根据题意，易得 又平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证，所以为直角三角形， 为公共斜边，则球心在中点处，为球的直径， 则球的表面积为，故B错误； 设分别为的中点，平面截球的截面半径为， 易得平面，则， 所以球与上底面的交线如图，，， ，则为等边三角形， 所以，则，由对称性与底面的交线长也为， 因为分别为的中点，所以， 又平面，所以平面， 设平面截球的截面半径为，， 所以球与面的交线如图，，， ，所以， ，根据对称性可知与面的交线长也为， 易知与面无交线， 所以球表面与三棱柱表面的交线长度之和为，故C正确； 根据图像六面体与七面体无公共部分，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 9．（24-25高一下·辽宁朝阳凌源·期末）在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为______． 【答案】/ 【分析】由题意作图，根据外接球的性质确定球心位置，利用余弦定理、正弦定理以及勾股定理，结合球的表面积公式，可得答案. 【详解】由题意，取的外接圆圆心为，取的中点为，空间中取点， 连接，其中，平面，如下图： 则点是三棱锥的外接圆圆心， 在中，由余弦定理可得， 即，所以， 因为平面，平面，所以， 又，则在平行四边形中，， 易得，则外接球表面积为. 故答案为：. 10．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】52π 【分析】由题可得三棱锥为侧棱垂直于底面的三棱锥，据此可由图确定外接球球心，据此可得答案. 【详解】由题，折叠后可得，又平面， 则易得平面. 设为外接圆圆心，过做平面垂线， 则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面， 过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形. 取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心. 易得，由正弦定理可得， 则外接球半径满足. 则外接球的表面积为. 故答案为：. 11．（24-25高一下·辽宁大连八中·期末）已知圆台上、下底面的圆周都在球心为的球面上，若球半径为1，，分别为圆台上下底面圆周上的动点，且直线，与圆台底面所成的角分别为，，则面积的取值范围为______． 【答案】 【分析】分圆台的上下底面在外接球球心的同侧和两侧进行讨论. 【详解】如下图，为圆台的轴截面，圆台的上、下底面的圆周在球心的同侧. 可令点保持不动，点在底面圆周上运动. 因为，，所以，. 所以在点的运动过程中，与的夹角的取值范围为：. 所以，当时取得最小值，当时，取得最大值. 又，所以 . 如下图：圆台的轴截面，圆台的上、下底面的圆周在球心的两侧. 则，. 所以在点的运动过程中，与的夹角的取值范围为：. 所以，当时取得最小值，当时，取得最大值. 所以 . 综上可得：面积的取值范围为. 故答案为： 地 城 考点06 内切球 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出正四面体外接球半径，再根据勒洛四面体的特征求出其内切球的半径. 【详解】由对称性知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心， 连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径， 在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心， 连接、、，由正四面体的性质知在上，而， 则，， 由，得， 又，所以该勒洛四面体内切球的半径. 故选：B 二、多选题 2．（24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末）（多选）“阿基米德多面体”也称半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.将棱长为的正方体沿从同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到如图所示的半正多面体，则该半正多面体（    ）    A．有24条棱，12个顶点 B．表面积为 C．表面上任意两点间的最大距离为 D．有内切球，且它的体积为 【答案】AB 【分析】对于A选项，直接观察几何体即可判断选项正误； 对于B选项，由题可得该半正多面体的表面由6个边长为1的正方形和8个边长为1的等边三角形组成，然后通过面积公式计算即可判断选项正误； 对于C选项，通过求解正方体的上底面内一条棱的中点与下底面内不在同一个正方体表面上且与之平行的棱的中点距离，并将该距离与比较即可判断选项正误. 对于D选项，通过比较正方体的中心到半正多面体的正方形侧面的距离与正方体的中心和半正多面体三角形侧面的距离是否相等，即可判断选项正误 【详解】对于A选项，该半正多面体共有24条棱，12个顶点，故A项正确； 对于B选项，由题可得该半正多面体的表面由6个边长为1的正方形和8个边长为1的等边三角形组成，所以表面积为，故B项正确； 对于C选项，正方体的上底面内一条棱的中点与下底面内不在同一个正方体表面上且与之平行的棱的中点距离为2，，故C项错误； 对于D选项，正方体的中心到半正多面体的正方形侧面的距离为，正方体的中心和半正多面体三角形侧面的三个顶点构成棱长为1的正四面体，所以该正四面体的高，故半正多面体不存在内切球，故D项错误. 故选：AB 3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）（多选）如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．设平面，则 B．三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C．若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D．正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 【答案】ABD 【分析】利用空间向量四点共面的结论判断A的真假；利用棱锥的体积公式判断B的真假；分别求内切球和外接球半径，判断C的真假；利用B选项的结论，可以判断D的真假. 【详解】对A：取为空间向量的基底. 则 . 设 . 因为四点共面，所以 . 所以，即，故A正确； 对B：如图： 连接，交于，连接. 因为四棱锥为正三棱锥，所以平面平面，平面. 又分别为中点，为中点，所以， 所以，同理， 所以，即，故B正确； 对C：若，不妨设，,则，. 所以 . 又， 设内切球的半径为，则， 即 . 设外接球球心为，则在上，设外接球半径为， 则 . 所以.故C错误； 对D：由B选项可知：， 且,所以， 又，所以， 所以. 所以正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 4．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 【答案】 【分析】根据几何图形相似求出内切球的半径，进而根据球的表面积公式可求出结果. 【详解】连接，如图所示. 根据题意可知，， 所以，因为. 所以. 因为，所以. 所以，所以， 所以圆台的内切球半径为，所以圆台的内切球的表面积为. 故答案为：. 地 城 考点07 轨迹/ 截面问题 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）在正三棱柱中，，外接球表面积为，P为的中点，Q为侧面内（含边界）一点，若平面，则点Q运动轨迹的长度为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】先求出外接球半径，作出辅助线，根据外接球半径求出正三棱柱的高，取的中点，连接，证明出面面平行，从而当在线段上时，平面，故 平面，故点Q运动轨迹的长度为的长，求出. 【详解】设正三棱柱的外接球半径为， 则，解得， 设的中点分别为，连接， 在上分别取，使得， 故分别为等边三角形和等边三角形的中心， 连接，则的中点即为正三棱柱的外接球球心， 即，设正三棱柱的高为，则，， 因为，所以，， 则，解得， 因为P为的中点，所以，又，所以， 因为平面，平面，所以平面， 取的中点，连接，则，同理可证平面， 因为，平面，所以平面 平面， 故当在线段上时，平面，故 平面， 故点Q运动轨迹的长度为的长，.    故选：A 二、多选题 2．（24-25高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末）（多选）如图，在长方体中，，动点M在长方体的表面上运动（含边界），且，点M的轨迹形成的封闭图形为，则（   ） A．点M的轨迹长度为 B．与所在平面所成角的正弦值为 C．Ω所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为 D．若与所在的平面交于点E，则 【答案】ABD 【分析】对于A，取的中点，证明平面，即可确定点M的轨迹形成的封闭图形即为，求出的周长即可判断；对于B，先求出点到所在平面的距离，则与所在平面所成的角的正弦值根据计算即可判断；对于C，先求出三棱锥及长方体的体积，再求出除去三棱锥剩余部分的体积，即可求出大小两部分体积的比值，即可判断；对于D，先确定点E的位置，再通过两次三角形相似即可求出的值，即可判断. 【详解】 对于A，如图所示，取的中点，连接， 连接与交于点. 当点在平面上时， 因为平面，平面，所以 . 由已知平面为正方形，则，，所以平面， 因为平面，所以， 若，则点在平面上的轨迹为，长度为； 当点在平面上时， 因为平面，平面，所以 . 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 若，则点在平面上的轨迹为，长度为； 因为，所以平面， 所以点M的轨迹形成的封闭图形即为， 因为，所以点M的轨迹长度为，故A正确； 对于B，设点到所在平面的距离为， 可知，等腰的面积为， 则由可得，解得. 又， 设与所在平面所成的角为，则， 所以与所在平面所成角的正弦值为，故B正确； 对于C，因为三棱锥的体积 ， 而长方体的体积， 所以除去三棱锥剩余部分的体积为， 所以所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为，故C错误； 对于D，连接与交于点，则为平面与平面的交线， 则点即为与所在的平面交点， 由，可知，即， 由，可知，故D正确. 故选：ABD 3．（24-25高一下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）（多选）如图，长方体中，，，点是线段的中点，点为线段中点，则下列说法正确的是（    ） A．长方体被平面截得的截面是一个五边形 B．长方体被平面截得的截面面积为 C．与平面平行 D．三棱锥的体积为6 【答案】ABD 【分析】根据基本事实3确定截面的形状，再求截面的面积由此判断A，B，根据直线与平面的位置关系判断C，由锥体体积公式求体积判断D. 【详解】延长交于点，延长交于点，连接分别交与点，连接，则五边形为长方体被平面截得的截面，A对， 因为，点是线段的中点，点为线段中点，所以 所以为等腰直角三角形，所以，， 又与相似，所以，又， 所以，， 所以，， 同理可得，， 在中，，， 所以的面积， 在中，，， 所以的面积， 同理的面积， 所以五边形的面积为，B对， 若与平面平行，平面，平面平面， 所以，则，但，所以与平面不平行， 所以C错， 因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 由 所以，D对， 故选：ABD. 4．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，点是棱的中点，过线段作与平面平行的平面，截正方体所得的截面，下列选项正确的是（   ） A．截面图形是梯形 B．截面图形是五边形 C．截面的面积为 D．该截面所在平面截正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】ACD 【分析】对于AB，根据面面平行的判定定理找到截面，并进行证明，则得出截面为梯形；对于C，根据截面等腰梯形的面积公式计算得到结果；对于D，先求的正方体的外接球半径，再利用等体积法计算球心到截面的距离，进而计算截面圆半径，最后计算圆的面积； 【详解】 延长至点使得，取的中点，连接， 因为点分别是棱，的中点，点是棱的中点， 所以，在正方体中，， 因为平面，平面，所以 平面， 同理 平面， 又 且 平面，所以平面 平面， 则过线段作与平面平行的平面为梯形. 对于AB，A正确，B错误； 对于C，正方体的棱长为2，所以， ， 计算等腰梯形的高为 则截面梯形面积为，C正确； 对于D，正方体的外接球球心在正方体体对角线的中点， 所以球的半径， 在正方体中，设点到平面的距离为，则球心到平面的距离为， 在中，，， 所以，则面积为， 根据等体积，解得， 因此该截面所在平面截正方体的外接球所得截面圆的半径， 所以面积为，D正确； 故选：ACD. 5．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）（多选）如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（    ）    A．存在点，使得平面 B．当为中点时，过，，三点的平面截正方体所得截面图形的面积为 C．三棱锥的体积为 D．当在棱上时，若为，三棱锥外接球表面积为 【答案】ABD 【分析】对于A，易知当点在线段（不含点）时，使得平面；对于B，作出截面，截面是边长为的正六边形，再求面积即可；对于C，由三棱锥体积公式可判断；对于D，设的外心为，半径为，过分别作平面，平面的垂线，交点即为球心，设中点为，连接，易得四边形为矩形，结合勾股定理求出外接球半径，然后利用正弦定理结合球的表面积公式求解即可. 【详解】对于A，易知当点在线段（不含点）时，使得平面， 此时，平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，根据题意作出截面，截面是边长为的正六边形，    所以截面面积，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，设的外心为，半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为球心， 设中点为，连接， 因为是外心，所以， 则就是平面与平面所成角的平面角， 又易知平面平面，所以四边形为矩形， 所以外接球半径 ， ，， ，即， 故三棱锥外接球表面积为，故D正确.    故选：ABD. 6．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点，使得直线平面 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可①②③确定ABC的正误，利用展开法和点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A， ∵正方体的对面互相平行， ∴过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行， 又∵为线段的中点，∴截面交BC于其中点G， 连接，则四边形即为所求截面，显然为等腰梯形， 且， 梯形的高， 面积为，故A正确； 如图所示，设为的中点， 因为，平面，平面， 所以平面， 假设直线平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为分别为正方形的边的中点，所以， 又因为， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 而直线与平面相交，所以直线与平面相交， 这与平面矛盾，故假设直线平面不成立，故B错误. ∵，平面，不在平面内， ∴平面， 又∵，∴到平面AD1C的距离为定值，又∵的面积为定值， ∴当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，故C正确； 将等腰直角三角形展开到与矩形在同一平面内， ， 当共线时取等号，故D正确. 故选：ACD. 7．（24-25高一下·辽宁省名校联盟·期末）（多选）正方体的棱长为2，O为底面ABCD的中心．P为线段上的动点（不包括两个端点），则（    ） A．不存在点P，使得平面 B．正方体的外接球表面积为 C．存在P点，使得 D．当P为线段中点时，过A，P，O三点的平面截此正方体外接球所得的截面的面积为 【答案】ABD 【分析】利用反证法，由此判断A；求正方体的外接球的半径，结合球的体积公式判断B；根据勾股定理判断C；根据球的截面性质判断D. 【详解】假设存在点P，使得平面， 在上取点，使得，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，又 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面，又平面，,平面， 所以平面平面，与已知矛盾， 所以不存在点P，使得平面，A正确； 正方体的外接球的球心为的中点，外接球的半径， 所以正方体的外接球表面积，B正确； 假设存在P点，使得，在线段上取点使得, 设，则，，， 因为，所以， 所以，解得，与已知矛盾；C错误； 取的中点，因为P为线段中点时，连接交与点， 所以，又， 所以，故过A，P，O三点的平面为平面， 取的中点，过作，垂足为， 又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 过球心作，则平面， 所以正方体的外接球的球心到截面的距离为的长， 又， 所以，因为为的中点，所以， 故截面圆的半径为， 所以截面圆的面积，D正确； 故选：ABD. 三、填空题 8．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 【答案】 . 【分析】由题意截面的面积为求出截面圆半径，继而可求球的半径，即可求得球的表面积；过点作球的截面，确定截面圆与垂直时，球心到截面圆的距离最大，即可求得截面面积最小时，截面圆的半径. 【详解】设球的半径为R，由于，故， 球所得截面的面积为，设截面圆半径为r，则， 则，即，解得， 故球的表面积为； 过点作球的截面，则当截面面积最小时，只需该截面圆的半径最小； 设球心到截面圆的距离为d，设截面圆半径为，则， 故只需d最大，此时截面圆与垂直， 即， 故， 故答案为：； 9．（24-25高一下·辽宁省名校联盟·期末）已知直四棱柱的所有棱长均为4，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为__________． 【答案】 【分析】由题设知圆弧为球面与侧面的交线，根据题设由直棱柱的性质求弧长即可. 【详解】如图：取的中点,连接， 结合题意：易得为等边三角形， 因为为的中点，所以 因为在直四棱柱中有面,且面， 所以,又因为,且面 所以面，结合球的性质可知为该截面圆的圆心， 因为直四棱柱的所有棱长均为4，， 所以 ,, ,, 故以A为球心，为半径的球面与侧面的交线为：以为圆心, 为半径的圆所成的圆弧. 所以. 故答案为: . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05立体几何（空间几何体） 目目 考点01 几何体概念 一、 单选题 1.A. 二、多选题 2.BC 3.ABD 目目 考点02 斜二测画法 一、单选题 1.D 2.B 3.B 4.B 二、多选题 5.AC 三、解答题 6.【详解】(1)由题意得CD=3, 如图，建立平面直角坐标系xOy, D O 在x轴上截取0D=0D'=1,CD=CD'=3,OC=CD-OD=2, 在过点D的y轴的平行线上截取DA=2DA=2, 在过点A的x轴的平行线上截取AB=AB=2, 连接BC,即可得到原四边形ABCD, (2)由题意得，原四边形ABCD是直角梯形，且AB=2,CD=3,AD=2, 故四边形ABCD的面积为李×2=5， 1/4 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又直观图中榜形的高为AD'sin45°=号，AB=2,CD=3, 所以四边形ABCD的面积为×(2+3)×号= 目目 考点03 多面体表面积 一、单选题 1.B. 2.A 3.C 4.D 二、填空题 5.号 6.V万 7.60°/胃 8.20-10W2 目目 考点04 多面体体积 一、单选题 1.C 2.B 3.A 4.D 5.D 6.B 二、填空题 7.号m 目目 考点05 外接球 一、单选题 1.A 2.D 2/4 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 二、多选题 8.AC 三、填空题 9.号π/2 10.52元 1.[字，] 目目 考点06 内切球 一、单选题 1.B 二、多选题 2.AB 3.ABD 三、填空题 4.32π 目目 考点07 轨迹/截面问题 一、单选题 1.A 二、多选题 2.ABD 3.ABD 4.ACD 5.ABD 6.ACD 3/4 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.ABD 三、填空题 8.16π E 9.2π 4/4 专题05 立体几何（空间几何体） 7大高频考点概览 考点01几何体概念 考点02斜二测画法 考点03多面体表面积 考点04多面体体积 考点05外接球 考点06内切球 考点07轨迹/截面问题 地 城 考点01 几何体概念 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁省朝阳市凌源·期末）将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（    ） A．圆柱 B．圆台 C．圆锥 D．棱柱 二、多选题 2．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B．棱柱至少有五个面 C．棱台的侧棱延长后必交于一点 D．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 3．（24-25高一下·辽宁大连二十四中·期末）（多选）关于空间中的几何体和基本事实，下列说法错误的是（   ）. A．长方体不同的三条棱长分别为3、5、8，则其外接球的表面积为 B．所有侧面均为全等的等腰三角形的棱锥一定是正棱锥 C．点是某一给定平面外的两点，则一定存在过直线的平面垂直于这个平面 D．棱长相同的正方体和正四面体的棱切球的表面积之比为 地 城 考点02 斜二测画法 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，的面积为3，则（    ） A． B． C．6 D．12 2．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁鞍山台安县·期末）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一下·辽宁重点高中联考·期末）（多选）关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 三、解答题 6．（24-25高一下·辽宁沈文新联盟·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 地 城 考点03 多面体表面积 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末）已知圆台的上、下底面面积分别为和，其母线长为5，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1且侧棱长为，则棱锥侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁大连二十四中·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为_________． 6．（24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3.则四棱台的高为______. 7．（24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末）小王同学在手工课上制作了一个圆锥模型，若该模型的底面积是侧面积的一半，则该模型轴截面顶角的大小为________. 8．（24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末）日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面是正方形，且，.    店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为________ . 地 城 考点04 多面体体积 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）若圆锥的表面积为，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁省名校联盟·期末）中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（    ） A．144 B．72 C．36 D．24 3．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·辽宁大连二十四中·期末）一正四棱台内接于圆锥，其俯视图如下图所示.若底面上弓形（即图中阴影部分）面积与棱台上底面面积之比为，则圆锥与棱台体积之比为（   ）. A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（   ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A． B． C．36π D．72π 二、填空题 7．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期末）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____.    地 城 考点05 外接球 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁名校联盟·期末）已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末）在长方体中，M为的中点，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A．56π B．52π C．48π D．64π 3．（24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，该四棱柱的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为 （    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为6，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·辽宁名校联盟·期末）在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一下·辽宁大连八中·期末）（多选）在正三棱柱中，，，，分别为，的中点，，，，四点均在球的表面上，则（    ） A．平面 B．球的表面积为 C．球表面与三棱柱表面的交线长度之和为 D．六面体与七面体公共部分的体积为 三、填空题 9．（24-25高一下·辽宁朝阳凌源·期末）在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为______． 10．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 11．（24-25高一下·辽宁大连八中·期末）已知圆台上、下底面的圆周都在球心为的球面上，若球半径为1，，分别为圆台上下底面圆周上的动点，且直线，与圆台底面所成的角分别为，，则面积的取值范围为______． 地 城 考点06 内切球 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末）（多选）“阿基米德多面体”也称半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.将棱长为的正方体沿从同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到如图所示的半正多面体，则该半正多面体（    ）    A．有24条棱，12个顶点 B．表面积为 C．表面上任意两点间的最大距离为 D．有内切球，且它的体积为 3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）（多选）如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．设平面，则 B．三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C．若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D．正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 三、填空题 4．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 地 城 考点07 轨迹/ 截面问题 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）在正三棱柱中，，外接球表面积为，P为的中点，Q为侧面内（含边界）一点，若平面，则点Q运动轨迹的长度为（   ） A． B．3 C． D．4 二、多选题 2．（24-25高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末）（多选）如图，在长方体中，，动点M在长方体的表面上运动（含边界），且，点M的轨迹形成的封闭图形为，则（   ） A．点M的轨迹长度为 B．与所在平面所成角的正弦值为 C．Ω所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为 D．若与所在的平面交于点E，则 3．（24-25高一下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）（多选）如图，长方体中，，，点是线段的中点，点为线段中点，则下列说法正确的是（    ） A．长方体被平面截得的截面是一个五边形 B．长方体被平面截得的截面面积为 C．与平面平行 D．三棱锥的体积为6 4．（24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，点是棱的中点，过线段作与平面平行的平面，截正方体所得的截面，下列选项正确的是（   ） A．截面图形是梯形 B．截面图形是五边形 C．截面的面积为 D．该截面所在平面截正方体的外接球所得截面的面积为 5．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）（多选）如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（    ）    A．存在点，使得平面 B．当为中点时，过，，三点的平面截正方体所得截面图形的面积为 C．三棱锥的体积为 D．当在棱上时，若为，三棱锥外接球表面积为 6．（24-25高一下·辽宁省普通高中·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点，使得直线平面 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 7．（24-25高一下·辽宁省名校联盟·期末）（多选）正方体的棱长为2，O为底面ABCD的中心．P为线段上的动点（不包括两个端点），则（    ） A．不存在点P，使得平面 B．正方体的外接球表面积为 C．存在P点，使得 D．当P为线段中点时，过A，P，O三点的平面截此正方体外接球所得的截面的面积为 三、填空题 8．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 9．（24-25高一下·辽宁省名校联盟·期末）已知直四棱柱的所有棱长均为4，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为__________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $