11.1.6 祖暅原理与几何体的体积（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

该高中数学课件围绕祖暅原理及柱体、锥体、台体、球和组合体的体积展开，通过金字塔、世贸双子塔等现实情境导入，连接已学几何体知识，搭建从具体问题到抽象原理的学习支架。 其亮点在于结合高考真题（如2024新课标Ⅰ卷、天津卷），用数学眼光观察现实（如“椭半球体”体积推导），通过祖暅原理逻辑推理培养数学思维，以规范公式推导和例题解析强化数学语言表达。提供补体法、等积法等解题方法，帮助学生提升空间观念和应用能力，教师可借助丰富例题高效教学。

11．1.6　祖暅原理与几何体的体积 1 新课导入 学习目标 　　瞧，这么宏伟壮观的金字塔呀！你们能求出它的体积吗？ 看，这不是不复存在的世贸双子塔吗？这两个棱柱的体积怎么求？　 想知道吗？让我们一起来学习今天的内容吧！ 1.理解祖暅原理的内容，会用祖暅原理推导柱体、锥体和台体的体积公式． 2．掌握柱体、锥体、台体的体积公式，并能熟练应用． 3．熟练掌握并能运用球的体积公式． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　祖暅原理 [知识梳理] (1)内容：幂势既同，则积不容异． (2)含义：夹在________________的两个几何体，如果被平行于这两个平面的________________所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等． (3)应用：________________的两个柱体或锥体的体积相等． 两个平行平面间 任意平面 等底面积、等高 返回导航 [即时练] 1．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 √ 返回导航 2．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β相距任意距离d处的平面截两个几何体，可横截得到一个圆面和一个圆环面，可以证明S圆＝S环总成立．据此，当b＝2 cm，a＝3 cm时，“椭半球体”的体积是(　　) A．4π cm3 B．8π cm3 C．12π cm3 D．16π cm3 √ 返回导航 返回导航 二　柱体、锥体、台体的体积 思考　如果一个锥体的底面积和高与一个柱体的底面积和高都相等，那么这个锥体的体积与柱体的体积有什么关系？ 返回导航 [知识梳理] 其中S表示棱柱和棱锥的底面积，S1，S2分别表示棱台上、下底面的面积，h表示高，r表示圆柱和圆锥的底面半径，r1和r2分别表示圆台上、下底面的半径． 返回导航 返回导航 点拨　(1)棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系． (2)在求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意转换顶点． (3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系 返回导航 [例1] (1)如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个正六棱柱的体积为(　　) √ 返回导航 (2)(对接教材例2)正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，则正四棱台的体积为________ cm3. 【解析】正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E为斜高． 2 800 返回导航 返回导航 求几何体体积的常用方法 返回导航 √ [跟踪训练1] (1)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　) A．5π B．6π C．20π D．10π 解析：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 返回导航 √ 返回导航 三　球的体积 [知识梳理] 一般地，如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝________________． 返回导航 √ 返回导航 (2)在一个底面直径为12 cm，高为18 cm的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为12 cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13 cm，则球型小钢珠的半径为__________cm. 3 返回导航 (1)求球的体积，关键是求球的半径R. (2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等． 返回导航 √ 返回导航 √ 四　组合体的体积 [例3] (2024·天津卷)在如图所示的五面体中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间的距离均为1.若AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　) 返回导航 【解析】　用一个完全相同的五面体HIJ-LMN(顶点与五面体ABC-DEF一一对应)与该五面体相嵌，使得D，L；E，M；F，N重合， 返回导航 求组合体体积的步骤 (1)分析组合体的结构特征：弄清组合体的组成形式，找准常见几何体的关键量． (2)设计计算方法：依据组合体的组成形式，经常利用“切割”“补形”的方法求解． (3)计算求值：依据计算方法与常见几何体的体积公式计算求解． 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 29 √ 返回导航 √ 返回导航 √ √ 返回导航 4．如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥A-A1BD，求剩余的几何体的体积． 返回导航 1．已学习：祖暅原理，柱体、锥体、台体、球及简单组合体的体积公式． 2．须贯通：三棱锥的体积可以通过转换底面即“等体积法”来求解；求旋转体体积的关键是寻求底面积与高，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程求解． 3．应注意：熟记体积公式，球心位置的确定要准确． 返回导航 名称 体积(V) 柱体 棱柱 V＝Sh 圆柱 V＝πr2h 锥体 棱锥 V＝Sh 圆锥 V＝πr2h 台体 棱台 V＝(S2＋＋S1)h 圆台 V＝π(r＋r2r1＋r)h 解：因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， 三棱锥A-A1BD的体积V三棱锥A-A1BD＝V三棱锥A1-ABD＝S△ABD·AA1＝××1×1×1＝. 所以剩余几何体的体积V＝V正方体－V三棱锥A-A1BD＝1－＝. $