11.1.6 第一课时 祖暅原理与柱体、锥体的体积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“祖暅原理与柱体、锥体的体积”，通过课前预习学案衔接立体几何初步的空间几何体结构知识，以学习支架形式构建从空间形式观察到体积计算的完整脉络。 其亮点在于“课前-课堂-随堂-课后”四阶教学链条，结合数学思维（如三棱锥体积推导中的逻辑推理）和数学语言（规范公式表达），帮助学生发展空间观念与推理能力，教师可利用结构化资源提升教学效率。

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 第一课时　祖暅原理与柱体、锥体的体积 第十一章 立体几何初步 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课程标准 素养解读 1.了解祖暅原理 2．掌握柱体、锥体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积 通过求柱体、锥体的体积，培养学生的直观想象素养，提升学生的数学运算素养 [情境引入] 　如图1所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图2所示水平放置时，液面高度为20 cm；当这个几何体如图3所示水平放置时，液面高度为28 cm，如何求这个简单几何体的总高度． [知识梳理] [知识点一]　祖暅原理　 1．祖暅原理的概念：“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”． 2．祖暅原理的应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等． [知识点二]　柱体、锥体的体积公式　 1．柱体、锥体的体积公式： 名称 体积(V) 柱体 棱柱 Sh(S为底面面积，h为高) 圆柱 πr2h(r为底面半径) 锥体 棱锥 eq \f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高) 圆锥 eq \f(1,3)πr2h(r为底面半径) 1.当几何体的形状不规则时，如何求体积？ [提示]　当几何体形状不规则时，常用分割或补形的方法将其变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，再求其体积． 2．锥体中平行于底面的截面具有哪些性质？ [提示]　在锥体与平行于底面的截面所构成的小锥体中，有如下比例关系：eq \f(S小锥底,S大锥底)＝eq \f(S小锥全,S大锥全)＝eq \f(S小锥侧,S大锥侧)＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比，eq \f(V小锥,V大锥)＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的立方之比． [预习自测] 1．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为eq \r(15)，那么这个正三棱锥的体积是(　　) A．9　　B.eq \f(9,2)　　　C．7　　　D.eq \f(7,2) 解析：A　[设正三棱锥高为h，则有h＝eq \r(\r(15)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×6))2)＝eq \r(3)，所以V＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×62×eq \r(3)＝9.] 2．若圆柱的侧面展开图是长12 cm、宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为　________　cm3. 解析：设圆柱的底面半径为r cm，高为h cm，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2πr＝12，,h＝8，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2πr＝8，,h＝12，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝\f(6,π),h＝8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝\f(4,π)，,h＝12，))∴V＝πr2h＝eq \f(288,π) cm3或eq \f(192,π) cm3. 答案：eq \f(288,π)或eq \f(192,π) 3．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积为　________　. 解析：由棱锥的体积公式，得三棱锥P－ABC的体积为eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×22×3＝eq \r(3). 答案：eq \r(3) 柱体的体积 [例1]　已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S，求其内接正四棱柱的体积． [思路点拨]　直接利用柱体的体积公式求解． [解]　如图所示，设圆柱OO1为等边圆柱，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1是圆柱OO1的内接正四棱柱． 设圆柱的底面半径为r，则高h＝2r. ∵S表＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2＝6πr2＝S，∴r＝eq \r(\f(S,6π)).又正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底边边长为AB＝2rsin 45°＝eq \r(2)r， ∴正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V＝S底·h＝(eq \r(2)r)2·2r＝4r3＝4(eq \r(\f(S,6π)))3＝eq \f(S\r(6πS),9π2). 故该圆柱的内接正四棱柱的体积为eq \f(S\r(6πS),9π2). 棱柱和圆柱都是柱体，V柱体＝S·h，关键是找出相应的底面面积和高． [变式训练] 1．底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成的角为45°，求此三棱柱的体积． 解：如图所示，由条件知此三棱柱为正三棱柱． ∵正三棱柱的面对角线AB1＝2，∠B1AB＝45°. ∴AB＝2×sin 45°＝eq \r(2)＝BB1. ∴V三棱柱＝S△ABC·BB1＝eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2×eq \r(2)＝eq \f(\r(6),2). 锥体的体积 [例2]　如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝eq \r(2)，求此四棱锥的体积． [思路点拨]　直接利用锥体的体积公式求解． [解]　在△PAD中，PA＝AD＝1，PD＝eq \r(2)， ∴PA2＋AD2＝PD2. ∴PA⊥AD，又PA⊥CD，且AD∩CD＝D， ∴PA⊥平面ABCD，从而PA是底面ABCD上的高， ∴V四棱锥＝eq \f(1,3)S正方形ABCD·PA＝eq \f(1,3)×12×1＝eq \f(1,3). (1)求锥体体积常利用锥体体积的计算公式V＝eq \f(1,3)S底h直接计算． (2)当锥体不易直接计算时，注意应用间接法求解． [变式训练] 2．(1)用半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为(　　) A.eq \f(\r(3),24)πR3　　　　　 B.eq \f(\r(3),8)πR C.eq \f(\r(5),24)πR3 D.eq \f(\r(3),8)πR3 (2)如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为AA1，CC1的中点，则四棱锥A1－EBFD1的体积为　________　. 解析：(1)设圆锥的底面圆的半径为r，高为h， 则2πr＝πR，所以r＝eq \f(R,2)，且h＝eq \r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)＝eq \f(\r(3)R,2)，所以圆锥的体积 V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2×eq \f(\r(3)R,2)＝eq \f(\r(3),24)πR3. (2)因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝eq \r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq \f(\r(5),2)a，D1F∥EB， 所以四边形EBFD1是菱形．连接EF，则△EFB≌△EFD1， 易知三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1的高相等， 答案：(1)A　(2)eq \f(1,6)a3 等积变换法求锥体的体积 [例3]　如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求三棱锥B－B1DE的体积． [思路点拨]　等积变换法也称等积变形法或等积转换法，它是通过变换合适的底面来求几何体体积的一种方法．求三棱锥的体积时常采用此方法． 等积变换法：利用三棱锥的“等积性”，即体积计算时可以以任意一个面作为三棱锥的底面，在求三棱锥体积或点到面的距离时，可选择容易计算的方式． [变式训练] 3．如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则三棱锥A1－AB1D1的高为　________　；体积为　________　. 解析：设三棱锥A1－AB1D1的高为h， 则＝eq \f(1,3)h×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2)a)2＝eq \f(\r(3)a2h,6). 因为＝＝eq \f(1,3)a×eq \f(1,2)a2＝eq \f(a3,6)， 所以eq \f(\r(3)a2h,6)＝eq \f(a3,6)，所以h＝eq \f(\r(3),3)a， 所以三棱锥A1－AB1D1的高为eq \f(\r(3),3)a. 答案：eq \f(\r(3),3)a　eq \f(a3,6) 1．下列命题中正确的是(　　) A．夹在两条平行线间的两个平面图形，被截得的线段总相等，则这两个平面图形的面积相等 B．经过长方体相对的两个面的中心的任意平面，把长方体分成体积相等的两个柱体 C．夹在两个平行平面间的棱柱和圆柱，若轴截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 D．夹在两个平行平面间的任意几何体，只要截面面积相等，则体积相等 解析：B　[根据祖暅原理进行判断，故选B.] 2．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) A.eq \f(2π,3)　B.eq \f(4π,3)　　C.eq \f(5π,3)　　D．2π 解析：C　[如图所示，此几何体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥，故所求体积V＝2π－eq \f(π,3)＝eq \f(5π,3).] 3．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是　________　. 解析：∵＝eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)， ∴＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3). 答案：eq \f(2,3) 4．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝eq \f(1,4)A1B1，则四棱锥P－BCC1B1的体积为　________　. 解析：PB1＝eq \f(1,4)A1B1＝1，V＝eq \f(1,3)·＝eq \f(1,3)×16×1＝eq \f(16,3). 答案：eq \f(16,3) 5．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？ 解：如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD， 且BD＝eq \f(AB·BC,AC)＝eq \f(12,5)， 两个圆锥的高分别为AD和DC，所以V＝V1＋V2＝ eq \f(1,3)πBD2·AD＋eq \f(1,3)πBD2·CD ＝eq \f(1,3)πBD2·(AD＋CD)＝eq \f(1,3)πBD2·AC＝eq \f(1,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))2×5＝eq \f(48,5)π. 故所形成的几何体的体积是eq \f(48,5)π. $