10.3 复数的三角形式及其运算（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

该高中数学课件聚焦复数的三角形式及其运算，以欧拉公式（e^(iπ)+1=0）连接五个基本数学常数导入，通过复数几何意义搭建支架，衔接代数形式与三角形式的转化及乘除运算。 其亮点是结合“感悟提升”总结转化步骤和运算法则，借助坐标系插图呈现几何意义，培养数学眼光与几何直观，跟踪训练强化推理思维。帮助学生构建知识体系，教师可高效开展教学。

10.3　复数的三角形式及其运算 1 新课导入 学习目标   欧拉公式exi＝cos x＋isin x是最美的数学公式之一，特别地，当x＝π时，欧拉公式可以等价转化为eiπ＋1＝0，这个等式将五个最基本的数学常数：0，1，e，i和π联系在一起，通过一个简单的等式表达出来，数学家们评价它是“上帝创造的公式”． 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系． 2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 返回导航 特别地，在[0，2π)内的辐角称为z的辐角________，记作________． r(cos θ＋isin θ) 辐角 主值 arg z 返回导航 返回导航 返回导航 复数的代数形式转化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模； (2)判断辐角所在的象限； (3)根据象限求出辐角； (4)求出复数的三角形式． 返回导航 返回导航 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝r cos A，y＝r sin A． 返回导航 解析：复数的三角形式是r(cos θ＋isin θ)，观察所给的四个复数，只有B中的复数是三角形式，注意式子中各个位置的符号． √ 返回导航 返回导航 二　复数的三角形式的乘、除法运算 思考　根据复数乘法定义，复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)和z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)相乘的结果是什么呢？ 提示　z1·z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[(cos θ1cos θ2－sin θ1sin θ2)＋i(sin θ1cos θ2＋cos θ1sin θ2)]＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]. 返回导航 [知识梳理] 1．乘法运算法则 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝ __________________________． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的________，积的辐角等于各复数的辐角的________． 特别地，如果n∈N，则[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos (nθ)＋isin (nθ)]. r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] 积 和 返回导航 商 差 返回导航 返回导航 返回导航 在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示． 返回导航 √ [跟踪训练2] (1)若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：由z2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝cos 60°＋isin 60°，所以arg z2＝60°.故选B. 返回导航 (2)计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝________.(用代数形式表示) 返回导航 三　复数三角形式乘、除法运算的几何意义 [例4] 已知复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位． (1)求实数m的取值范围； 返回导航 (2)当m＝－2时，求复数z的三角形式； 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 28 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：复数三角形式、复数三角形式乘、除运算及其几何意义． 2．须贯通：复数的代数形式与三角形式的相互转化；运用复数乘、除法的几何意义时，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系． 3．应注意：(1)复数的三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连； (2)利用复数三角形式乘、除时，复数必须是三角形式的标准形式． 返回导航 [知识梳理] 一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝，根据任意角余弦、正弦的定义可知cos θ＝，sin θ＝，因此a＝r cos θ，b＝r sin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝______________称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的________． 2．除法运算法则 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝_____________________________． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的________，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的________． 【解】　因为复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限， 所以 解得－3<m<－1， 所以实数m的取值范围为(－3，－1). [跟踪训练3] 已知＝(1，1)，将绕原点O按逆时针方向旋转得到，则点Z对应的复数为______________． $