10.3 第一课时 复数的三角形式-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦复数的三角形式及其运算第一课时，核心内容包括复数三角形式的概念、辐角与辐角主值的定义，以及代数形式与三角形式的互化。课堂导入通过回顾复数代数形式在乘除运算中的繁琐，提出“寻找更优表示法”的问题，搭建从几何表示到三角形式的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以问题驱动和素养培育为核心，结合课标要求设计“预习-互动-夯实-提升”四环节。通过情境引入培养数学抽象素养，如探究复数三角形式的必要性；借助例题（如求-1+i的辐角主值）和变式训练（判断三角形式是否正确）提升逻辑推理与数学运算素养。对学生而言，可深化对复数表示的理解，对教师则提供结构化教学资源，助力高效开展分层教学。

10．3　复数的三角形式及其运算 第一课时　复数的三角形式 第十章 复数 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第十章 复数 数学B版·必修第四册 课程标准 素养解读 1.了解复数的三角形式，了解复数的代数形式及三角形式之间的关系． 2．会进行复数的代数形式与三角形式的转化，了解辐角. 通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，培养学生的逻辑推理素养，提升数学抽象素养；通过复数的代数形式与三角形式的互化，提升学生的数学运算素养. [情境引入] 通过前面的学习，我们已经知道在复平面内，复数z有两种表示：一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)；二是几何表示，复数z既可用点Z(a，b)表示，也可用向量eq \o(OZ,\s\up6(→))表示，但代数形式在解决复数乘、除、乘方等问题中还是较为繁琐． 问题　能否找到复数z的另一种表示，彻底解决复数的乘、除、乘方、开方等问题？ 提示　复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)(r≥0)是解决问题的桥梁． [知识梳理] [知识点一]　复数的三角形式　 一般地，非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r＝　|z|＝eq \r(a2＋b2)　，θ是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，则a＝rcos θ，b＝rsin θ，从而z＝a＋bi＝　r(cos_θ＋isin_θ)　，上式的右边称为非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中θ称为z的　辐角　. 复数三角形式的结构特征是：模非负、角相同、余弦前、加号连，否则不是三角形式． [知识点二]　辐角与辐角主值　 (1)任何一个非零复数z的辐角有无数个，而且任意两个辐角之间相差都是　2π　的整数倍，即辐角为θ＋2kπ(k∈Z)． (2)在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作　argz　. 1.复数三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)中θ一定是辐角主值吗？一个复数的三角形式唯一吗？ [提示]　复数三角形式中的θ不一定是辐角主值，三角形式不唯一． 2．两个复数的模和辐角主值相等是两个复数相等的充要条件吗？ [提示]　是．因为一个非零复数的模和辐角主值是唯一确定的，所以两个非零复数相等当且仅当他们的模和辐角主值相等． [预习自测] 1．复数1＋i的辐角主值为(　　) A.eq \f(π,6)　B.eq \f(π,3)　　C.eq \f(π,4)　　D.eq \f(π,2) 解析：C　[因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝eq \f(π,4).] 2．复数z＝eq \r(3)－i的三角形式为(　　) A．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)＋isin\f(2π,3))) B．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,3)－isin\f(5π,3))) C．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,6)－isin\f(7π,6))) D．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(11π,6)＋isin\f(11π,6))) 解析：D　[因为r＝2，所以cos θ＝eq \f(\r(3),2)，又z＝eq \r(3)－i对应的点在第四象限，所以arg(eq \r(3)－i)＝eq \f(11π,6)，所以z＝eq \r(3)－i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(11π,6)＋isin\f(11π,6))).] 3．将复数化为三角形式：－2＋2i＝　________　. 解析：|－2＋2i|＝2eq \r(2)，点(－2,2)在第二象限，又tan θ＝－1，∴arg(－2＋2i)＝eq \f(3π,4)，∴－2＋2i＝2eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(3π,4)＋isin\f(3π,4))). 答案：2eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,4)＋isin\f(3π,4))) 4．将复数z＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(5π,6)))化为代数形式为　________　. 解析：z＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))＝eq \f(5\r(3),2)＋eq \f(5,2)i. 答案：z＝eq \f(5\r(3),2)＋eq \f(5,2)i 5．将复数的代数形式化为三角形式． 解：(1)z1＝2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))＝2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6))). (2)z2＝－1－i＝eq \r(2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)i))＝ eq \r(2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,4)＋isin\f(5π,4))). 复数的辐角主值 [例1]　求下列复数的模和辐角主值． (1)－1＋i；(2)eq \r(3)－i. [思路点拨]　z＝a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)，r是复数的模，当0≤θ＜2π时，θ的值为辐角主值，记作argz. [解]　(1)|－1＋i|＝eq \r(2)，又tan θ＝－1，点(－1,1)在第二象限，所以arg(－1＋i)＝eq \f(3π,4). (2)|eq \r(3)－i|＝2，又tan θ＝－eq \f(\r(3),3)，点(eq \r(3)，－1)在第四象限，所以arg(eq \r(3)－i)＝eq \f(11π,6). 适合于[0,2π)的辐角的值叫做辐角主值，除0外每个复数有且仅有一个辐角主值，一般先用复数z对应的点Z(a，b)确定角所在的象限，由tan θ＝eq \f(b,a)确定在[0,2π)内的角θ，即为argz. [变式训练] 1．说出下列复数的辐角主值． (1)2i　(2)－5　(3)－3i 解：(1)arg(2i)＝eq \f(π,2).(2)arg(－5)＝π.(3)arg(－3i)＝eq \f(3,2)π. 复数的三角形式的判断 [例2]　判断下列复数是否是三角形式． (1)z1＝－2(cos θ＋isin θ)； (2)z2＝cos θ－isin θ； (3)z3＝－sin θ＋icos θ； (4)z5＝cos 60°＋isin 30°. [思路点拨]　z＝a＋bi可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)，r≥0，θ为辐角． [解]　(1)由r≥0知，z1不是三角形式． (2)z2中cos θ与sin θ之间为减号，不是三角形式． (3)z3中正、余弦位置不对，不是三角形式． (4)z5中角不同不是三角形式． 三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)，需要的条件：①r≥0.②θ前后一致，可取任意值．③cos θ在前，sin θ在后．④加号连接，可简记为：模非负、角相同、余弦前、加号连，此四个条件缺一不可． [变式训练] 2．判断下列复数是不是三角形式． (1)3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(11,3)π＋isin\f(11,6)π))； (2)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))； (3)sineq \f(π,3)－icos eq \f(π,3)； (4)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋isineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))； (5)－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))； (6)5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(7π,3)＋isin \f(7π,3))). 答案：(1)不是　(2)不是　(3)不是　(4)是 (5)不是　(6)是 [思路点拨]　z＝a＋bi(a，b∈R)＝r(cos θ＋isin θ)，注意θ的范围． 　　复数代数形式与三角形式的互化 [例3]　把复数z1＝i，z2＝－1＋eq \r(3)i分别表示为三角形式． [解]　|z1|＝1，argz1＝argi＝eq \f(π,2)，∴z1＝coseq \f(π,2)＋isineq \f(π,2). |z2|＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2，tan θ＝eq \f(b,a)＝－eq \r(3)，又Z2(－1，eq \r(3))在第二象限，∴argz2＝eq \f(2π,3)，∴z2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)＋isin\f(2π,3))). 代数形式化为三角形式的步骤为： ①先求复数的模r＝|z|；②确定Z(a，b)所在的象限；③根据象限求出辐角；④写出复数三角形式．三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表达式简单，常取辐角主值． [变式训练] 3．将下列复数化为三角形式(要求辐角为辐角主值)． (1)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,5)－isin \f(π,5)))＝　________　； (2)－eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)＋isin \f(π,3)))＝　________　； (3)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)＋icos \f(3π,4)))＝　________　； (4)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,5)＋isin \f(π,5)))＝　________　. 答案：(1)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(9π,5)＋isin \f(9π,5))) (2)eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(4π,3)＋isin \f(4π,3)))　(3)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(7π,4)＋isin \f(7π,4))) (4)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(4π,5)＋isin \f(4π,5))) 1．复数z＝eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)＋icos\f(2π,3)))化为代数形式为(　　) A.eq \f(3,2)i＋eq \f(\r(3),2)i　　　　　 B．－eq \f(3,2)＋eq \f(\r(3),2)i C．－eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)i D.eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)i 解析：D　[z＝eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(2π,3)＋icos \f(2π,3)))＝eq \r(3)sin eq \f(2π,3)＋eq \r(3)icos eq \f(2π,3)＝eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＋ieq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)i.] 2．复数z＝－a－ai(a＞0)的辐角主值为(　　) A.eq \f(π,4) B.eq \f(3,4)π C.eq \f(5,4)π D.eq \f(7,4)π 解析：C　[a＞0时，z对应的点(－a，－a)在第三象限，tan θ＝1，又θ∈[0,2π)，∴θ＝eq \f(5,4)π.] 3．将复数z＝eq \r(2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))))化为代数形式为　________　. 解析：z＝eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)－isin\f(π,4)))＝eq \r(2)×coseq \f(π,4)－ieq \r(2)×sineq \f(π,4)＝1－i. 答案：1－i 4．若复数z满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z－1,z)))＝eq \f(1,2)，argeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z－1,z)))＝eq \f(π,3)，则z＝　________　. 解析：令eq \f(z－1,z)＝z0，则|z0|＝eq \f(1,2)，argz0＝eq \f(π,3).∴z0＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝eq \f(1,4)＋eq \f(\r(3),4)i由eq \f(z－1,z)＝eq \f(1,4)＋eq \f(\r(3),4)i得z＝1＋eq \f(\r(3),3)i. 答案：1＋eq \f(\r(3),3)i 5．把下列复数表示成代数形式 (1)4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))； (2)6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))； (3)eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(3,4)π＋isin \f(3,4)π))； (4)3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3,2)π＋isin\f(3,2)π)). 解：(1)4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝2＋2eq \r(3)i. (2)6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))＝3eq \r(3)－3i. (3)eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3,4)π＋isin\f(3,4)π))＝eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i))＝－1＋i. (4)3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3,2)π＋isin \f(3,2)π))＝－3i. $