9.2 正弦定理与余弦定理的应用（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

该高中数学课件聚焦正弦定理与余弦定理的应用，通过“不能到达”的测量问题导入，衔接已学定理知识，构建“实际问题—数学建模—解三角形”的学习支架，帮助学生理解术语、转化问题并求解。 其亮点在于结合即时练辨析仰角等术语，例题融入海岛距离、飞机测高等生活情境，用表格归纳测量方案，体现数学眼光观察现实、数学思维解决问题。学生能提升建模能力，教师可借助结构化内容高效教学。

9．2　正弦定理与余弦定理的应用 1 新课导入 学习目标 　　在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，具体测量时，常常遇到“不能到达”的困难，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角、距离的工具并设计恰当的测量方案进行测量． 1.理解测量中有关名词、术语的确切含义． 2．能将实际问题转化为解三角形问题． 3．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　实际测量中有关名词、术语 [知识梳理] 1．基线的概念与选取原则 (1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线． (2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 返回导航 2．测量中相关角的概念 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示． 返回导航 (2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示). (3)方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图2所示). 返回导航 [即时练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在测量中，选取的基线越短，测量的精确度越高．(　　) (2)仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角．(　　) (3)方位角的范围是(0，π).(　　) (4)“视角”就是“仰角”．(　　) × × × × 返回导航 √ 2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　) A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北44°50′方向上 C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上 解析：如图所示，可知Q在P的南偏西44°50′方向上，故选C. 返回导航 解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示．由图知α＝β.故选B. √ 返回导航 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 7 返回导航 【解析】　因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以B＋D＝π，所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD· CD cos D＝52＋32－2×5×3cos D＝34－30cos D，① AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝52＋82－2×5×8cos B＝89－80cos B＝89＋80cos D，② 联立①②，解得AC＝7. 返回导航 测量距离问题的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB　 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB　 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 测量高度问题的基本类型及方案 类型 图形 方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA，AB＝a·tan ∠BCA 底部不可达 点B与C，D共线　　 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．在△ACD中，先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数．在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 返回导航 √ 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 测量角度问题的解题思路 返回导航 √ 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 30 √ 解析：如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C. 返回导航 √ 返回导航 返回导航 3．如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在A层，小宁家位于小明家正上方的B层，已知AB＝a.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为α，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为β，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离d＝ ________． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案． 2．须贯通：求解不可到达的距离、高度、角度等实际问题时，策略就是把实际问题转化为解三角形问题，体现了转化与化归和数形结合的思想方法． 3．应注意：测量中有关术语的含义，如方位角、方向角． 返回导航 $