9.1.2 第1课时 余弦定理（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

该高中数学课件聚焦余弦定理及推论，通过千岛湖岛屿距离测量的实际问题导入，衔接初中勾股定理，搭建从特殊到一般的学习支架，引导学生掌握解三角形及形状判断的方法。 其特色在于以问题驱动探究，结合向量法推导过程培养数学思维，通过母题变式（如连续奇数边长求周长）和跟踪训练深化应用，课堂小结强调转化与数形结合思想。既提升学生用数学眼光分析问题的能力，也为教师提供逻辑清晰的教学框架。

9．1.2　余弦定理 第1课时　余弦定理 1 新课导入 学习目标 　　千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 1.了解用向量法推导余弦定理的过程． 2．掌握余弦定理及其推论，会利用它们求解三角形中的边角问题． 3．能运用余弦定理判断三角形的形状． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 返回导航 思考2　在思考1得到的结果中，若C＝90°，公式会变成什么？是初中所学的什么定理？ 提示　c2＝a2＋b2，即勾股定理． 返回导航 [知识梳理] 文字语言 三角形任何一边的平方，等于其他两边的 ________减去这两边与它们夹角 ________的积的2倍 符号语言 a2＝ _____________________________ b2＝ _____________________________ c2＝ _____________________________ 平方和 余弦 b2＋c2－2bc cos A c2＋a2－2ca cos B a2＋b2－2ab cos C 返回导航 √ 返回导航 母题探究　将本例中的条件“a＝1，b＝2，C＝60°”变为“若a，b，c是三个连续奇数，最大角为120°”，则△ABC的周长为(　　) A．13 B．15 C．17 D．19 解析：不妨设a<b<c，则C＝120°，且b＝a＋2，c＝a＋4.所以(a＋4)2＝a2＋(a＋2)2－2a(a＋2)cos 120°， 即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去). 因此，△ABC的周长为a＋a＋2＋a＋4＝3a＋6＝3×3＋6＝15.故选B. √ 返回导航 3 返回导航 返回导航 已知两边及一角解三角形的两种思路 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 返回导航 √ 返回导航 √ √ 返回导航 二　余弦定理的推论及应用 [知识梳理] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则cos A＝ ________， cos B＝ ________，cos C＝ ________． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)若a，a＋1，a＋2是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是(　　) A．1＜a＜3 B．a＞1 C．a＞3 D．0＜a＜1 √ 返回导航 已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． 注意　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为“已知三边解三角形”的问题． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)(2025·阜新月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝3，c＝5，则△ABC中最大内角为 ________． 120° 返回导航 三　判断三角形的形状 [例4] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【解析】　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c.结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D. √ 返回导航 (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a－b＝2c cos B，cos A＋cos B＝1，则△ABC一定是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 √ 返回导航 返回导航 返回导航 判断三角形形状的基本思想和两条思路 返回导航 [跟踪训练3] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a cos B＝c，则该三角形一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 √ 返回导航 (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝a sin C，c＝a cos B，则△ABC的形状为 _________________． 等腰直角三角形 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 30 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：余弦定理及推论、余弦定理的简单应用． 2．须贯通：在解三角形的过程中，余弦定理及推论可以做到“知三求一”，应用转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：三角形的隐含条件，如内角和为180°，两边之和大于第三边． 返回导航 $