9.1.1 第1课时 正弦定理的概念（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

该高中数学课件围绕正弦定理展开，通过“测量河对岸两点距离”的现实问题导入，连接三角形内角和、面积公式等旧知，构建从问题探究到定理推导、变形及解三角形应用的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究过程，导入环节培养用数学眼光观察现实世界的意识，分类讨论已知两边及对角问题渗透数学思维，公式变形与解题步骤训练数学语言表达。采用探究式教学，课堂小结强调转化与化归思想，助力学生提升逻辑推理能力，教师可依托清晰结构高效开展教学。

9．1　正弦定理与余弦定理 9．1.1　正弦定理 1 新课导入 学习目标     在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成．不过，在这些工具没有出现之前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长、∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？ 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形公式． 2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状． 3．能利用正弦定理、三角恒等变换求解或证明有关问题． 返回导航 第1课时　正弦定理的概念 3 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 一　三角形的面积公式 [知识梳理] 一般地，若记△ABC的面积为S，则S＝__________＝__________＝__________． 返回导航 √ 返回导航 3 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 2．正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径) (1)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A. (2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. (3)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C. 正弦 返回导航 3．解三角形：我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形． 返回导航 返回导航 已知两角及一边解三角形的一般步骤 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 母题探究　若本例中，“B＝45°”改为“A＝60°”，其他条件不变，解三角形． 返回导航 已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角； (3)如果已知的角为小边所对的角，不能判断另一边所对的角为锐角时，这时要根据正弦值分类讨论． 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 25 √ 返回导航 √ √ 返回导航 √ √ 返回导航 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，且b sin 2A＝a sin B (1)求A； 返回导航 返回导航 1．已学习：正弦定理及其变形公式、利用正弦定理解三角形． 2．须贯通：在解三角形的过程中，正弦定理及其变形公式实现边角互化，应用了转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：已知两边及其中一边的对角解三角形时一般要分类讨论． 返回导航 (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝，b＝2，且△ABC的面积为，则c＝ ________． 【解析】　因为S△ABC＝bc sin A， 所以×2c×sin ＝， 解得c＝3. 二　正弦定理 思考1　在Rt△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝，则有sin A＝，sin B＝.从这两个式子能得到关于A，B，a，b怎样的定量关系？ 【解】　因为B＝30°，C＝105°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得＝＝， 解得a＝＝4，c＝＝2＋2. 解析：因为cos B＝，B∈(0，π)， 所以sin B＝.又sin A＝，a＝10， 所以由正弦定理＝， 得＝，解得b＝. 【解】　由正弦定理＝， 知sin A＝＝， 因为b<a，所以A＝60°或120°， 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， 所以c＝＝＝； 解：由正弦定理＝， 知sin B＝＝， 因为b<a，所以B＝45°，所以C＝75°， 所以c＝＝＝. 1．(教材P7练习AT1改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，A＝，C＝，则b＝(　　) A．2 B．2 C．2 D．6 解析：因为A＝，C＝，所以B＝π－A－C＝，因为＝，所以b＝＝＝＝2.故选C. 解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得a sin B＝b sin A，所以a＝，因为B∈(0，π)，所以sin B∈(0，1]，所以a＝≥b sin A，所以A不一定成立，C不成立，B，D一定成立．故选BD. 解：因为sin B<sin A，所以B<A＝， 所以cos B＝＝， 因为A＋B＋C＝π， 所以sinC＝sin (A＋B)＝×＋×＝， 由正弦定理可得c＝＝3××＝. $