9.1.1 第1课时 正弦定理的概念 课后达标检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）
2026-04-01
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教辅
摘要：
该高中数学课件聚焦正弦定理的应用，通过基础达标、能力提升、素养拓展三级检测，构建从基本边角关系到综合三角变换的学习支架，衔接课堂知识与实际解题需求。
其特色在于分层设计与规范解析，以数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达）为核心，如第4题用外接圆半径转化边与角，第15题综合三角恒等变换，助力学生提升解题能力，为教师提供有效的教学反馈工具。
内容正文：
课后达标检测
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解析：由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，所以A错误．
在三角形中，大角对大边，所以C正确．
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7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝ ________．
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8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b＝4.若A＋C＝120°，且a＝2c，则c＝ ________．
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(2)求c的值．(7分)
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11．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
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解析：因为A＋B＝π－C，
所以sin C＝sin (π－C)＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋cos A sin B
又sin C＋sin (A－B)＝3sin 2B，
所以2sin A cos B＝6sin B cos B，
即2cos B(sin A－3sin B)＝0，
解得cos B＝0或sin A＝3sin B
当cos B＝0时，因为B∈(0，π)，
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解：在△ABC中，由正弦定理得＝，则sin B＝＝＝.
解：由(1)知sin B＝.因为A为钝角，所以B为锐角，所以cos B＝，所以sin C＝sin (180°－120°－B)＝sin (60°－B)＝×－×＝.在△ABC中，由正弦定理得＝，所以c＝＝＝5.
解析：由已知可得sin B＋2sin B cos C＝sin A·cos C＋(sin A cos C＋cos A sin C)＝sin Acos C＋sin (A＋C)＝sin A cos C＋sin B，所以2sin B cos C＝sin A cos C，因为0<C<π，所以C＝或sin A＝2sin B，即C＝或a＝2b.又△ABC为锐角三角形，所以a＝2b.故选A.
12．(多选)(2025·日照月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.sin C＋sin (A－B)＝3sin 2B，C＝，则＝( )
A． B．
C．2 D．3
所以B＝.又C＝，所以A＝，
则sin A＝，sin B＝1，
所以由正弦定理得＝＝；
当sin A＝3sin B时，由正弦定理得a＝3b，所以＝3.
综上所述，＝3或＝.
解析：在△ABC中，A＝75°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得2R＝＝＝2，解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π.
解：因为在△ABC中，tan A＝，tan B＝，
所以tan C＝－tan (A＋B)＝－＝－＝－1，因为C∈(0，π)，
所以C＝，即C为最大角，c为最长边，A与B都为锐角，因为tan A<tan B，所以A<B，
即A为最小角，a为最短边，
所以cos2A＝＝，
sinA＝＝.
由正弦定理＝，得＝，解得 a＝.
解：因为tan C＝，
即＝，
所以sin C cos A＋sin C cos B＝cos C sin A＋cos Csin B，
所以sin C cos A－cos C sin A＝cos C sin B－sin Ccos B，
得sin (C－A)＝sin (B－C)，
所以C－A＝B－C或C－A＝π－(B－C)(不符合题意，舍去).
所以2C＝A＋B，所以C＝，所以B＋A＝.
因为sin (B－A)＝cos C＝，
所以B－A＝或B－A＝(不符合题意，舍去).
所以A＝，B＝，C＝.
解：S△ABC＝ac sin B＝ac＝3＋，
又＝，即＝，
两式联立得a＝2，c＝2.
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