11.4.1 第1课时 直线与平面垂直的判定（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“直线与平面垂直的判定”核心知识点，先通过异面直线所成角的定义及求法奠定空间角基础，再学习线面垂直的定义，最后依托判定定理实现线线垂直到线面垂直的转化，构建递进式学习支架。 该资料以旗杆、墙面交线等生活实例导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过折纸实验和问题链引导推理，发展数学思维，如例2结合全等证明线面垂直。课中助力教师高效授课，课后即时练、改编题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

11．4　空间中的垂直关系 11．4.1　直线与平面垂直 第1课时　直线与平面垂直的判定 新课导入 学习目标 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识．比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象，今天我们将对线面垂直做进一步的研究． 1.理解异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角． 2．理解直线与平面垂直的定义． 3．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能初步利用定理解决相关问题． 一　直线与直线所成角 思考　我们知道两条相交直线所成的角的大小可以度量，那么两条异面直线所成的角的大小该如何定义呢？ 提示　可以利用等角定理，平移为两条相交直线所成的角． [知识梳理] (1)定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角． (2)特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m． [例1] (1)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° (2)已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点，以OP所在直线为旋转轴旋转一周得到如图所示几何体，CD是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成的角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 【解析】　(1)如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角． 由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°. (2)设OP＝r，过点D作OC的平行线交圆O于点E，连接PE，OE， 所以∠PDE(或其补角)即为异面直线OC与PD所成的角， 则OE＝OC＝CD＝OD＝DE＝r，PD＝PE＝r， 所以在△PDE中，cos ∠PDE＝＝＝. 【答案】　(1)C　(2)B 求两异面直线所成角的步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； (2)证：证明作出的角就是所要求的角； (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出． 注意　可用“一作二证三计算”来概括，同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°. [跟踪训练1] 如图，AB与DC是圆柱的两个底面的直径．E为的中点，若四边形ABCD是正方形，则AE与DB所成的角的大小为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.如图，取另一段的中点F，连接BF与DF，则AE∥BF，故∠DBF(或其补角)即是AE与DB所成的角．设圆柱的底面半径R＝1，则BF＝，BD＝2，DF＝，在△DBF中，由余弦定理得cos ∠DBF＝＝＝， 因为∠DBF∈(0，]，所以∠DBF＝.故选C. 二　直线和平面垂直的定义 思考　如图，在阳光下观察，直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？那么AB与不过点B的任意一条直线B′C′的位置关系又如何呢？ 提示　旗杆AB所在直线与影子BC所在直线始终保持垂直．AB与B′C′也垂直，即可得到旗杆AB所在直线与地面上的任意一条直线都垂直． [知识梳理] 自然语言 图形语言 符号语言 直线l与平面α垂直的充要条件是，直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直 l⊥α⇔∀m⊂α，l⊥m [即时练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．(　　) (2)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(　　) (3)如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(　　) 答案：(1)× 　(2)× 　(3)√ 2．已知直线l，m和平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.若l⊥α，则l⊥m一定成立，即必要性成立．若l⊥m，则l⊥α不一定成立，故充分性不成立．综上所述，“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选B. 3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A．若l⊥m，m⊥α，则l∥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 解析：选B.对于A，l∥α或l⊂α，故A错误；对于B，因为l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，则m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面，故C错误；对于D，l，m还可能相交或异面，故D错误． (1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直． (2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b. 三　直线与平面垂直的判定定理 思考　数学实验1：将一张矩形纸片沿AB对折后略微展开，竖立在桌面上，我们可以观察到折痕AB与桌面垂直．如图1所示． 数学实验2：如图2，将一张矩形纸片沿AB对折后略微展开，使DB，BF在桌面内，观察折痕AB还与桌面垂直吗？ 提示　不垂直． [知识梳理] 自然语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 如果m⊂α，n⊂α，m∩n≠∅，l⊥m，l⊥n，则l⊥α　 [例2] (对接教材例2)如图所示，Rt△ABC所在的平面外有一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC. 【证明】　因为SA＝SC，点D为斜边AC的中点，所以SD⊥AC. 如图，连接BD， 在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD， 所以△ADS≌△BDS，所以∠ADS＝∠BDS， 所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC， 所以SD⊥平面ABC. 母题探究　在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？ 解：因为AB＝BC，点D为斜边AC的中点，所以BD⊥AC.又由例题解析知SD⊥BD，AC∩SD＝D，AC，SD⊂平面SAC，故BD⊥平面SAC. (1)线线垂直和线面垂直的相互转化 (2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义． ②线面垂直的判定定理． ③如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面． [跟踪训练2] 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，M为BC的中点，PD⊥CD.证明：AB⊥平面PDM. 证明：在平行四边形ABCD中， 由已知可得CD＝AB＝1，CM＝BC＝2，∠DCM＝60°， 由余弦定理，得DM2＝CD2＋CM2－2CD·CM cos 60°＝1＋4－2×1×2×＝3， 则CD2＋DM2＝CM2，即CD⊥DM.又PD⊥CD，PD∩DM＝D，PD，DM⊂平面PDM，所以CD⊥平面PDM.又因为底面ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以AB⊥平面PDM. 1．(教材P117练习AT1改编)已知直线a，b，c和平面α，其中a⊂α，b⊂α，则命题“c⊥a，c⊥b”是命题“c⊥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.由线面垂直的判定定理可知，当直线a，b不相交时，c不一定垂直于α，充分性不成立；当c⊥α，且a⊂α，b⊂α，则c⊥a，c⊥b，必要性成立，故命题“c⊥a，c⊥b”是命题“c⊥α”的必要不充分条件． 2．(多选)(教材P118T3改编)若一条直线a与下列平面中的两条直线垂直，则可以保证直线与该平面垂直的是(　　) A．四边形的两边 B．正六边形的两边 C．圆的两条直径 D．三角形的两边 解析：选CD.对于A，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；对于B，若直线垂直于正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于C，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于D，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直．故选CD. 3．(2025·营口月考)如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成的角的大小为________． 解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°. 答案：60° 4.如图，在四面体ABCD中，AC＝BD，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝AC，∠BDC＝90°，求证：BD⊥平面ACD. 证明：取CD的中点G，连接EG，FG，如图所示． 因为E，F分别为AD，BC的中点， 所以EG綉AC，FG綉BD. 又因为AC＝BD，所以FG＝EG＝AC. 在△EFG中，因为EG2＋FG2＝AC2＝EF2， 所以EG⊥FG，所以BD⊥AC. 因为∠BDC＝90°，所以BD⊥CD. 又因为AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD， 所以BD⊥平面ACD. 1．已学习：异面直线所成的角、直线与平面垂直的定义及判定定理． 2．须贯通：直线与平面的判定定理体现了“线线垂直⇒线面垂直”的转化过程． 3．应注意：“平面内两条相交直线”在判定定理中的关键作用． 学科网（北京）股份有限公司 $