11.4.2 第1课时 平面与平面垂直-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“平面与平面垂直”核心知识点，先通过二面角的定义、平面角三要素及度量构建空间角认知基础，再衔接面面垂直的定义、判定定理（线面垂直推面面垂直）与性质定理（面面垂直推线面垂直），形成“概念-定理-应用”的学习支架。 资料采用梯度进阶式教学，通过“微点助解”强调二面角平面角三要素培养几何直观（数学眼光），题型示例中判定定理证明（如例2证面面垂直）提升推理能力（数学思维），符号与图形语言结合强化数学表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过基础训练与题型解析查漏补缺。

11.4.2　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直 [教学方式:深化学习课梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角的平面角的大小. 2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理和性质定理,初步学会用定理证明垂直关系. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.二面角 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角 相关 概念 ①这条直线称为二面角的棱; ②这两个半平面称为二面角的面 画法 记法 二面角α-l-β或α-AB-β或C-l-D或C-AB-D 二面角 的平面 角 定义: 在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角. 度量:二面角的大小用它的平面角的大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小. 平面角是直角的二面角称为直二面角. 二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180° |微|点|助|解| 　 　　构成二面角的平面角的三要素 “棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个条件缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直. 2.平面与平面垂直 (1)面面垂直的定义 定义 一般地,如果两个平面α与β所成角的大小为90°,则称这两个平面互相垂直,记作α⊥β 画法 画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直 (2)平面与平面垂直的判定定理(简称为面面垂直的判定定理) 文字语言 符号语言 图形语言 作用 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 证面面 垂直 (3)平面与平面垂直的性质定理(简称为面面垂直的性质定理) 文字 语言 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 符号 语言 ⇒AO⊥β 图形 语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直; ②作平面的垂线 |微|点|助|解| 　 (1)面面垂直的判定定理可简述为“线面垂直⇒面面垂直”.要证明平面与平面垂直,只需转化为证明直线与平面垂直,这充分说明了线面垂直与面面垂直的密切关系. (2)要判断两个平面的垂直关系,只需要固定其中一个平面,找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直. (3)观察空间图形时,不能以平面的观点去看待,平面上画的两直线成锐角或钝角,在空间中可能是垂直的. (4)平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个: ①两个平面垂直; ②有一条直线在其中一个平面内; ③这条直线垂直于两个平面的交线. (5)如果两个平面垂直,那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交(含垂直相交)或异面. 基础落实训练 1.在二面角α-l-β的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则必须具有的条件是 (　　) A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂β B.AO⊥l,BO⊥l C.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂β D.AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β 答案:D 2.已知直线l⊥平面α,则经过l且和α垂直的平面 (　　) A.有一个　　　　　　　　 B.有两个 C.有无数个 D.不存在 答案:C 3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 (　　) A.α∥γ B.α⊥γ C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能 答案:D 4.如图所示,在长方体ABCD -A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是 (　　) A.平行 B.EF⊂平面A1B1C1D1 C.相交但不垂直 D.相交且垂直 答案:D 5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BC-A1的平面角等于　　　　.  答案:45° 题型(一)　二面角的求法 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,AA1=1,求二面角D1-BC-D的余弦值. 解:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,AA1=1,∴CD1=. ∵BC⊥平面DCC1D1,CD1⊂平面DCC1D1, ∴BC⊥CD1. 又∵平面D1BC∩平面BCD=BC, ∴∠D1CD为二面角D1-BC-D所成的平面角. ∵cos∠D1CD===, ∴二面角D1-BC-D的余弦值为. |思|维|建|模| 1.求二面角大小的步骤 (1)找出这个平面角; (2)证明这个角是二面角的平面角; (3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小.　 2.确定二面角的平面角的方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.　 　　[针对训练] 1.如图,在棱长都相等的平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,∠DAB=∠A'AD=∠A'AB=60°,则二面角A'-BD-A的余弦值为 (　　) A. B.- C. D.- 解析:选A　在棱长都相等的平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,∠DAB=∠A'AD=∠A'AB=60°,则四面体A'BDA为正四面体. 连接AC,AC∩BD=E,连接A'E,设四面体的棱长为2,则AE=A'E=,且AE⊥BD,A'E⊥BD, 则∠AEA'为二面角A'-BD-A的平面角. 在△AA'E中,cos∠AEA'==, 故二面角A'-BD-A的余弦值为.故选A. 2.如图,在直二面角E-AB-C中,四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形,AB=AF=4,AD=2,P,Q,G分别是AC,BC,AF的中点,求二面角G-PQ-A的正切值. 解:如图,延长QP,交AD于点K. 因为二面角E-AB-C是直二面角,EB⊥BA,BC⊥BA,所以EB⊥BC.因为AG∥EB,所以AG⊥AB,AG⊥BC. 因为AB,BC⊂平面ABCD, AB∩BC=B, 所以AG⊥平面ABCD. 因为QK⊂平面ABCD,所以AG⊥QK. 又AD⊥QK,AG∩AD=A,AG,AD⊂平面GAK,所以QK⊥平面GAK. 从而GK⊥QK,故∠GKA是二面角G-PQ-A的平面角. 因为P,Q分别是AC,BC的中点,所以PQ∥AB.所以K为AD的中点. 在Rt△AKG中,AK=1,AG=2,所以tan∠GKA=2,即二面角G-PQ-A的正切值为2. 题型(二)　面面垂直的判定定理及其应用 [例2]　如图所示,在四面体ABCS 中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC. 求证:平面ABC⊥平面SBC. 证明:(1)法一　利用定义证明 因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC, 所以△ASB和△ASC是等边三角形, 则有SA=SB=SC=AB=AC, 令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC, 所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.在Rt△BSC中,因为SB=SC=a, 所以SD=a,BD==a. 在Rt△ABD中,AD=a, 在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2, 所以∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC. 法二　利用判定定理 因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°, 所以SA=AB=AC, 所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心. 因为△SBC为直角三角形, 所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点, 所以AD⊥平面SBC. 又因为AD⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC. 　　[变式拓展] 　本例中,若SA=SB=SC=2,其他条件不变,如何求三棱锥S-ABC的体积呢? 解:由法一或法二可得SD⊥AD. 又因为SD⊥BC,AD∩BC=D, 所以SD⊥平面ABC, 即SD的长就是顶点S到底面ABC的距离. 因为S△ABC=×BC×AD=×2×=2,SD=, 所以VS-ABC=×S△ABC×SD=. 　　|思|维|建|模|　证明面面垂直常用的方法 定义法 即说明两个半平面所成的二面角是直二面角 判定 定理法 在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为线面垂直 性质法 两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面 　　[针对训练] 3.如图,在圆锥PO中,已知PO=,☉O的直径AB=2,C是上一点(异于A,B),D为AC的中点.求证:平面POD⊥平面PAC. 解:连接BC(图略), 因为AB是☉O的直径,C是上一点, 所以AC⊥BC. 因为D为AC的中点,O是AB的中点, 所以OD∥BC,所以AC⊥OD. 因为在圆锥PO中,PO⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以PO⊥AC. 因为OD∩PO=O, 所以AC⊥平面POD. 因为AC⊂平面PAC, 所以平面POD⊥平面PAC. 题型(三)　面面垂直的性质定理及其应用 [例3]　如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证:BC⊥AB. 证明:如图,在平面PAB内, 作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB, AD⊂平面PAB, ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC,∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴PA⊥BC, 又∵PA∩AD=A,PA⊂平面PAB,AD⊂平面PAB,∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB,∴BC⊥AB. |思|维|建|模| 　　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点: (1)两个平面垂直. (2)直线必须在其中一个平面内. (3)直线必须垂直于它们的交线. 　　[针对训练] 4.如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥底面ABCD且AB=1,PA=AD=PD=2,E为PD的中点. (1)求证:平面PCD⊥平面ACE; (2)求点B到平面ACE的距离. 解:(1)证明:由PA=AD=PD,E为PD的中点,可得AE⊥PD.因为CD⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,而AE⊂平面PAD,所以CD⊥AE. 又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,则AE⊥平面PCD. 又AE⊂平面ACE,所以平面PCD⊥平面ACE. (2) 如图,连接BD,与AC交于点O,则O为BD的中点, 所以点D到平面ACE的距离即为点B到平面ACE的距离. 由平面PCD⊥平面ACE,过D作DM⊥CE,垂足为M, 则DM⊥平面ACE,则DM为点D到平面ACE的距离. 由CD⊥平面PAD,可得CD⊥PD. 又CD=DE=1,所以DM=CE=, 即点B到平面ACE的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $