11.1.5 旋转体（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）
11．1.5 旋转体
新课导入 | 学习目标 |
你到过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”．如图，以圆柱体为基座，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观．几何体球、圆柱和上节课学习的多面体有何区别？本节课我们一起来探究． | 1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的有关概念，初步运用旋转的观点去观察问题． 2．理解旋转体的结构特征，并会进行简单的有关计算． |
一 圆柱、圆锥、圆台的结构特征
[知识梳理]
分类 | 定义 | 图形 | 表示 |
圆柱 | 以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体 |
| 用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱OO′ |
圆锥 | 以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体 |
| 用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO |
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圆台 | 以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的几何体 |
| 用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台OO′ |
[即时练]
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)圆柱的母线与轴平行．( )
(2)圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形．( )
(3)圆台的所有平行于底面的截面都是圆面．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．(多选)下列命题为假命题的是( )
A．矩形绕一条直线旋转一周所得的旋转体是圆柱
B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
解析：选AC.矩形绕其对角线所在直线旋转一周得到的旋转体不是圆柱，A为假命题；B为真命题；由圆台、圆柱母线的性质可知C为假命题，D为真命题．
3．平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是________；圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是__________、__________、__________．
答案：圆面 矩形 等腰三角形 等腰梯形
(1)判断旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线．
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现旋转体结构特征的关键量；
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
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二 圆柱、圆锥、圆台的有关计算
[知识梳理]
圆柱 |
| 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l) |
圆锥 |
| 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l) |
圆台 |
| 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 上底面面积：S上底＝πr′2 |
[例1] (1)(2025·德州期末)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AB＝1，BC＝
，DC＝2.将直角梯形ABCD绕BC所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为( )
A．2
π＋5π B．π＋5π
C．11π D．6π＋5π
(2)已知圆柱的轴截面是边长为a的正方形，圆锥的轴截面是边长为b的等边三角形，若圆柱与圆锥的表面积相等，则
＝________．
【解析】 (1)由题可知，该旋转体为上底面半径r1＝1，下底面半径r2＝2，母线长l＝2的圆台，则该圆台的表面积
S＝π
＝11π.
(2)依题意，圆柱的底面圆半径为
a，母线长为a，表面积S＝2π·
＋
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