11.1.5 旋转体（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦旋转体核心知识点，系统讲解圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及表面积计算，前承多面体知识，通过定义、图形、公式、例题、练习等学习支架，构建空间几何体完整认知体系。 资料以孔子六艺城圆形建筑导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过表格对比结构特征、例题中轴截面转化（化空间为平面）发展数学思维，即时练与跟踪训练强化数学语言表达，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

11．1.5　旋转体 新课导入 学习目标 你到过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”．如图，以圆柱体为基座，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观．几何体球、圆柱和上节课学习的多面体有何区别？本节课我们一起来探究． 1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的有关概念，初步运用旋转的观点去观察问题． 2．理解旋转体的结构特征，并会进行简单的有关计算． 一　圆柱、圆锥、圆台的结构特征 [知识梳理] 分类 定义 图形 表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体 用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱OO′ 圆锥 以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体 用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO 圆台 以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的几何体 用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台OO′ [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)圆柱的母线与轴平行．(　　) (2)圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形．(　　) (3)圆台的所有平行于底面的截面都是圆面．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．(多选)下列命题为假命题的是(　　) A．矩形绕一条直线旋转一周所得的旋转体是圆柱 B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 解析：选AC.矩形绕其对角线所在直线旋转一周得到的旋转体不是圆柱，A为假命题；B为真命题；由圆台、圆柱母线的性质可知C为假命题，D为真命题． 3．平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是________；圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是__________、__________、__________． 答案：圆面　矩形　等腰三角形　等腰梯形 (1)判断旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线． (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现旋转体结构特征的关键量； ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想． 二　圆柱、圆锥、圆台的有关计算 [知识梳理] 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 上底面面积：S上底＝πr′2 [例1] (1)(2025·德州期末)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AB＝1，BC＝，DC＝2.将直角梯形ABCD绕BC所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为(　　) A．2π＋5π B．π＋5π C．11π D．6π＋5π (2)已知圆柱的轴截面是边长为a的正方形，圆锥的轴截面是边长为b的等边三角形，若圆柱与圆锥的表面积相等，则＝________． 【解析】　(1)由题可知，该旋转体为上底面半径r1＝1，下底面半径r2＝2，母线长l＝2的圆台，则该圆台的表面积 S＝π＝11π. (2)依题意，圆柱的底面圆半径为a，母线长为a，表面积S＝2π·＋2π·a·a＝a2， 圆锥底面圆半径为b，母线长为b， 表面积S′＝π·＋π·b·b＝b2， 由S＝S′，得b2＝2a2，所以＝. 【答案】　(1)C　 (2) 圆柱、圆锥、圆台基本量的计算问题的求解策略 (1)解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的底面半径、高(母线)与轴截面矩形之间的关系，注意在轴截面矩形中一边长为圆柱的高，另一边长为圆柱的底面直径． (2)解决圆锥基本量的计算问题，要从圆锥的轴截面入手，往往利用轴截面中的直角三角形建立底面半径r、高h、母线长l三者之间的关系l2＝h2＋r2. (3)解决圆台基本量的计算问题，一般从圆台的轴截面(等腰梯形)入手，利用轴截面可以分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，结合题目条件求解．另外，也可以将其两腰延长转化为等腰三角形，从而可以利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识来解决． [跟踪训练1] (1)已知母线长为10的圆台的侧面积为100π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝4r，则R＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 解析：选C.因为该圆台的侧面积为100π，母线长l＝10，R＝4r， 所以π×10＝100π，解得r＝2，则R＝8. (2)(2025·潍坊期末)不锈钢实心陀螺现在成为一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图所示．现已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为__________． 解析：该陀螺的表面积包括底面圆面积、圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，因为圆柱的底面直径为16，所以半径为8，则底面圆面积为π×82＝64π， 因为圆柱的高为6，所以圆柱的侧面积为2×8π×6＝96π， 根据圆锥的高为6，底面圆的半径为8，得圆锥母线长为＝10， 所以圆锥的侧面积为π×8×10＝80π， 所以该陀螺的表面积为64π＋96π＋80π＝240π. 答案：240π 三　球的结构特征与有关计算 [知识梳理] 1．球的结构特征 定义 图形 表示 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球 球常用球心字母进行表示，左图可表示为球O 2.球的截面的性质 (1)球的截面是一个圆面； (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面； (3)球半径R，截面圆半径r，则球心到截面的距离d＝． 3．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积为4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． [例2] (1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．球的半径是球面上任意一点与球心的连线 B．球面上任意两点的连线是球的直径 C．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 D．以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球 (2)若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　) A． B． C．8π D． 【解析】　(1)球的半径是连接球心和球面上任意一点的线段，A正确；只有两点的连线经过球心时才为直径，B错误；由球的结构特征易得C正确；球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，D错误． (2)设球的半径为R，则截面圆的半径为，所以截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，所以R2＝2，所以球的表面积S＝4πR2＝8π.故选C. 【答案】　(1)AC　(2)C (1)球的结构特征 ①球是旋转体，由球面及球面所围的空间部分构成； ②用一个平面去截球，截面都是圆面，经过球心的截面为面积最大的截面． (2)球的表面积的求法及其注意事项 ①要求球的表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入表面积公式求解． ②半径和球心是球的最关键要素，把握住这两点，计算球的表面积的相关题目也就易如反掌了． [跟踪训练2] (1)已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，则球的表面积为(　　) A．42π B．48π C．54π D．60π 解析：选C.设球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r. 如图，O为球心，O′是△ABC的外心，则OO′⊥平面ABC. 连接CO′并延长，交AB于点D. 因为AC＝BC＝6，所以CD⊥AB. 所以在Rt△ACD中，cos ∠CAD＝＝， 则sin ∠CAD＝. 在△ABC中，由正弦定理得＝2r，解得r＝， 由题意可知r＝R，所以R＝，所以球的表面积为4πR2＝54π. (2)某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm. 解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π cm，则该小圆的半径r＝6 cm， 其中∠ABO＝30°，所以该地球仪的半径 R＝＝4(cm). 答案：4 1．(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 C．球的所有截面都是圆面 D．以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的空间图形是圆锥 解析：选CD.对于A，以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台，A错误；对于B，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台，B错误；对于C，球的所有截面都是圆面，C正确；对于D，由圆锥的定义易知D正确． 2．(教材P82练习AT5改编)若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 解析：选C.设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π. 3．两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所形成的圆柱的底面积为________cm2. 解析：当以3 cm长的一边所在的直线为旋转轴时，旋转一周得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；当以4 cm长的一边所在的直线为旋转轴时，旋转一周得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2. 答案：16π或9π 4．用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，求此圆柱轴截面的面积． 解：当围成的圆柱底面周长为4，高为2时，设圆柱的底面半径为r，则2πr＝4，所以r＝，所以轴截面是长为2，宽为的矩形，所以轴截面的面积为2×＝.同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，轴截面的面积也为.综上，此圆柱轴截面的面积为. 1．已学习：圆柱、圆锥、圆台以及球的表面积． 2．须贯通：解决旋转体的表面积，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需要的几何要素；公式是计算球的表面积的关键，半径与球心是确定球的条件． 3．应注意：(1)解决旋转体的表面积问题，密切关注轴截面及侧面展开图； (2)球心位置的确定要准确． 学科网（北京）股份有限公司 $