11.1.3 多面体与棱柱（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦多面体与棱柱核心知识点，先通过观察现实建筑抽象多面体定义及面、棱、顶点等概念，再深入棱柱结构特征（两底面平行、侧棱平行等），进而学习分类（按底面边数、侧棱垂直与否）及计算（侧面积、表面积、截面、最短距离），构建从概念到应用的学习支架。 该资料以现实建筑图片导入，培养数学眼光，通过实物模型观察抽象棱柱特征发展数学思维。例题结合直四棱柱侧面积、蚂蚁爬行最短距离等问题强化数学语言表达。课中即时练与思考引导探究，课后练习题与总结助学生查漏补缺，提升应用能力。

11．1.3　多面体与棱柱 新课导入 学习目标 　　观察所给的图片，小到精巧的家居装饰，大到宏伟的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物，都会给人以震撼的美．它们有哪些特征吗？这正是本节课我们要研究的问题． 1.通过对实物模型的观察，抽象归纳多面体的概念． 2．通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱的结构特征． 3．能运用棱柱的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算． 　 [知识梳理] 类别 多面体 定义 由若干个平面多边形所围成的封闭几何体 图形 相关 概念 面：围成多面体的各个多边形． 棱：相邻两个面的公共边． 顶点：棱与棱的公共点． 面对角线：一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，除去多面体的棱． 体对角线：一个多面体中，连接不在同一面上两个顶点的线段． 截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部) [即时练] 1．下列实物不能近似看成多面体的是(　　) A．钻石 B．骰子 C．篮球 D．金字塔 解析：选C.钻石、骰子、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．篮球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体． 2．如图，截去正方体一角得到的新多面体的面数是(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：选B.截去正方体一角得到的多面体多了一个面，故新多面体的面数为7. 思考　观察下列空间几何体： (1)以上几何体有什么共同特征？ (2)①③有哪些共同特征？ 提示　(1)这些几何体都是由若干个平面多边形围成的，这些几何体统称为多面体． (2)①与③对应的空间几何体，底面互相平行，各个侧面都是平行四边形． [知识梳理] 1．棱柱的定义及表示 名称 棱柱 特征性质 或定义 条件：①有两个面互相平行； ②顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形 图形表示及 相关名称 棱柱ABCDE­A′B′C′D′E′(或棱柱AC′) 2.棱柱的分类 (1)按底面多边形的边数 棱柱 (2)按侧棱与底面是否垂直 棱柱 (3)特殊的四棱柱 [例1] (2025·大连月考)下列说法中，正确的是　(　　) A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 【解析】　如图1所示的几何体中，平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，A错误；如图2所示的正六棱柱中，相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错误；上、下底面是全等的非正方形的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体，C错误；根据棱柱的定义知D正确． 【答案】　D 棱柱结构特征的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形； ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否互相平行． (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，从而排除． [跟踪训练1] (1)设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是(　　) A．P⊆N⊆M⊆Q B．Q⊆M⊆N⊆P C．P⊆M⊆N⊆Q D．Q⊆N⊆M⊆P 解析：选B.根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱}．故选B. (2)(多选)下列关于棱柱的说法中，不正确的是(　　) A．棱柱的所有面都是四边形 B．一个棱柱中只有两个面互相平行 C．一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面 D．棱柱的侧棱长不都相等 解析：选ABD.A说法不正确，比如三棱柱的底面为三角形；B说法不正确，比如长方体中，相对侧面互相平行，两个底面互相平行；C说法正确，一个棱柱至少有6个顶点、9条棱、5个面；D说法不正确，由棱柱的定义可知棱柱的侧面为平行四边形，侧棱长都相等． [例2] (对接教材例3)现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． 【解】　如图， 设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，体对角线A1C＝15，B1D＝9， 所以a2＋52＝152，b2＋52＝92， 所以a2＝200，b2＝56. 因为该直四棱柱的底面是菱形， 所以AB2＝＋＝＝＝64， 所以AB＝8. 所以该直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160. 对于直棱柱，常考查： (1)构造以棱为直角边的直角三角形求体对角线的长； (2)直棱柱侧面积S侧为各侧面矩形面积之和，S表＝S侧＋2S底； (3)计算截面面积，要先确定截面的顶点和形状，再按平面多边形的计算公式求其面积． [跟踪训练2] (1)如图， 已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长都相等，M是侧棱BB1的中点，N是棱AB的中点，则∠NMC1＝__________． 解析：设该棱柱的棱长为a，则 在Rt△MB1C1中，MC1＝＝a， 在Rt△MBN中，MN＝＝a， 连接C1N，CN(图略)，则CC1⊥CN， 在Rt△C1NC中， C1N＝＝ ＝a， 所以MC＋MN2＝C1N2，所以∠NMC1＝90°. 答案：90° (2)一个正三棱柱的底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求此截面的面积和该正三棱柱的表面积． 解： 如图，在正三棱柱ABC­A′B′C′中，符合题意的截面为△A′BC. 在Rt△A′B′B中，A′B′＝4，BB′＝6. 所以A′B＝＝＝2. 同理A′C＝2，在等腰三角形A′BC中，取BC的中点O，连接A′O，所以A′O⊥BC，BO＝×4＝2. 所以A′O＝＝ ＝4. 所以S△A′BC＝BC×A′O＝×4×4＝8， 所以此截面的面积为8. 连接AO，在等边三角形ABC中，AO＝2， 所以该正三棱柱的底面积S底＝2××4×2＝8， 侧面积为S侧＝3×4×6＝72， 所以该正三棱柱的表面积为S表＝S侧＋S底＝72＋8. [例3] 如图，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A′，则爬行的最小距离为__________． 【解析】　将三棱柱沿AA′展开，如图所示． 则线段AD′的长即为最小距离， 最小距离为AD′＝＝＝. 【答案】　 关于截面的形状问题的解法：根据棱柱底面平行可在相邻侧面上画平行线截得． 如果是正方体或长方体可以根据正方体的棱相等，面对角线都相等，可连对角线得到． [跟踪训练3] 如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm. 解析：若以BC为轴展开，如图1，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm. 若以BB1为轴展开，如图2，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm. 答案： 1．(多选)下面的几何体中，是棱柱的有(　　) 解析：选AB.棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行，C，D不完全符合棱柱的三个特征，而A，B符合． 2．(多选)下列关于棱柱的说法正确的是(　　) A．所有的面都是平行四边形 B．每一个面都不会是三角形 C．两底面平行，并且各侧棱也平行 D．被平面截成的两部分可以都是棱柱 解析：选CD.A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； B错误，棱柱的底面可以是三角形； C正确，由棱柱的定义易知； D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱． 3．(教材P71练习AT2改编)若一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为__________cm. 解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，所以侧棱长为＝12(cm). 答案：12 4．如图，底面为菱形的直棱柱ABCD­A1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积分别为6和8，则该直棱柱的侧面积为____________． 解析：设直棱柱的底面边长为x，侧棱长为h， 则有AC＝，BD＝， 因为底面ABCD为菱形，所以AC与BD互相垂直平分， 所以x2＝＋＝， 所以x＝， 所以S侧＝4xh＝4××h＝20. 答案：20 1．已学习：多面体的定义；棱柱的结构特征；棱柱的计算问题；棱柱展开图与截面问题． 2．须贯通：棱柱的定义是识别和区分多面体结构特征的关键；多面体表面距离最短问题，常将多面体的侧面展开转化为平面上两点间的距离． 3．应注意：多面体的基本定义和棱柱的结构特征等基本概念问题混淆不清． 学科网（北京）股份有限公司 $