11.1.4 棱锥与棱台(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“棱锥与棱台”核心知识点，以卢浮宫玻璃金字塔实例引入，通过观察实物模型归纳棱锥、棱台的结构特征，建立两者关系，形成从概念构建（定义、相关概念、分类）到辨析应用（判断正误、选择）再到计算问题（高、侧面积）的完整学习支架。 资料以“直观想象”为起点，通过水平与竖直扫描金字塔问题引导学生观察空间形式，结合“数学抽象”梳理棱锥与棱台的本质联系，借助“数学运算”解决正棱锥高、棱台侧面积等问题。课中助力教师引导学生从实例到概念再到应用，课后通过跟踪训练与练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

11.1.4　棱锥与棱台 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.多边形　三角形　多边形　三角形面　公共边　公共顶点　垂线　2.正多边形 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√ 2.C　由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面，故选C. 3.A　棱长都是1的三棱锥的表面都是边长为1的正三角形，共4个，所以其表面积为S＝4××1×1×sin 60°＝. 知识点二 1.平行于棱锥底面　截面　底面　垂线　2.正棱锥 自我诊断 1.C　①中几何体各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中几何体各侧棱的延长线能交于一点，且截面与底面平行.故只有③是棱台. 2.D　根据棱台的定义知，棱台是用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面间的部分称为棱台，所以棱台的两底面平行且相似，侧棱延长后交于一点.故选D. 【典例研析】 【例1】　解：不一定.如图①所示，将正方体ABCD-A1B1C1D1截去两个三棱锥A-A1B1D1和C-B1C1D1，得如图②所示的几何体，其中有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥. 跟踪训练 AC　由棱锥的定义知，棱锥的各侧面都是三角形，故A正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故B错误；四面体就是由4个三角形所围成的封闭几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，故C正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故D错误. 【例2】　（2）（3）　 解析：（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；（3）正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；（4）错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥. 跟踪训练 B　由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确. 【例3】　解：作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点. 在Rt△ADO中，AD＝，∠OAD＝30°， 故AO＝＝. 在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝， 故SO＝＝3，故正三棱锥的高为3. 母题探究 1.解：连接SD（图略），在Rt△SDO中，SD＝2，DO＝AO＝，故SO＝＝＝. 2.解：如图正四棱锥S-ABCD中，SO为高，连接OC.则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝，又因为SC＝2，则SO＝＝＝＝. 故正四棱锥的高为. 跟踪训练 1.C　如图，由正四棱锥底面边长为2，可得斜高为PH＝＝3，侧面积为S＝×3×2×4＝24. 2.24　 解析：如图，过A1作A1M⊥AB，垂足为M，所以A1M为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的侧面的高.因为AB＝4，A1B1＝2，AA1＝，则AM＝（AB－A1B1）＝1，A1M＝＝＝2，＝（AB＋A1B1）A1M＝（4＋2）×2＝6，所以正四棱台的侧面积为4＝24. 随堂检测 1.D　根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥. 2.ABC　根据几何体的形状，该几何体是由两个同底的四棱锥组成的，且有12条棱，6个顶点，8个面，且每个面都是三角形，所以A、B、C正确，D错误. 3.20＋4　 解析：由题意得正四棱锥的斜高h'＝＝，故几何体表面积为S＝（ ×2×）×4＋5×2×2＝4＋20. 4.解：∵正四棱锥S-ABCD的所有棱长都是3， ∴S在底面的射影O为四边形ABCD的中心， ∴AC＝3，SO＝＝， ∴截面SAC的面积为×3×＝. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1.4　棱锥与棱台 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱锥、棱台的结构特征（直观想象）. 2.理解棱锥、棱台之间的关系（数学抽象）. 3.能运用棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算（数学运算）. 法国卢浮宫玻璃金字塔，塔高21米，底宽30米，四个侧面由六百七十三块菱形玻璃拼组而成，总面积约二千平方米.塔身总重量为200吨，其中玻璃净重105吨，金属支架仅有95吨.换而言之，支架的负荷超过了它自身的重量，因此行家们认为，这座玻璃金字塔不仅是体现现代艺术风格的佳作，也是运用现代科学技术的独特尝试. 【问题】　（1）若用平面扫描成像技术对玻璃金字塔进行水平方向的扫描，则扫描所成的图象的形状是什么？ （2）若进行竖直方向的扫描，则扫描所成的图象的形状是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 知识点一　棱锥的结构特征 1.棱锥的概念 定义 相关概念 图形及表示 分类 有一个面是　　，其余各面都是有一个公共顶点的　　，由这些面所围成的多面体称为棱锥 底面（底）：　　　　面； 侧面：有公共顶点的各　　　； 侧棱：相邻两侧面的　　　； 顶点：各侧面的　　　　； 高：过棱锥的顶点作棱锥底面　　　，所得到的线段（或它的长度） 如图可记作：棱锥P-ABCD 或棱锥P-AC 按底面多边形的形状分：三棱锥、四棱锥 …… 2.特殊的棱锥 正棱锥 正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为正棱锥的斜高. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）由五个平面围成的多面体只能是四棱锥.（　　） （2）底面是正多边形的棱锥称为正棱锥.（　　） （3）棱锥的所有面都可以是三角形.（　　） 2.下列棱锥有6个面的是（　　） A.三棱锥　　　　　　　B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 3.棱长都是1的三棱锥的表面积为（　　） A. B.2 C.3 D.4 知识点二　棱台的结构特征 1.棱台的概念 定义 图形及表示 相关概念 分类 用　　　　　的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 如图可记作：棱台ABCD-A'B'C'D' 上底面：平行于棱锥底面的　　　　； 下底面：原棱锥的　　　； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两侧面的公共边； 顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点； 高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一底面的　　　所得到的线段（或它的长度） 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别称为三棱台、四棱台、五棱台 …… 2.特殊的棱台 正棱台：由　　　　截得的棱台. 正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为正棱台的斜高. 　　提醒：棱锥、棱台的“高”与“斜高”的区别：如图，棱锥、棱台的“高”是指几何体的高；棱锥、棱台的“斜高”是指几何体侧面三角形或梯形的高. 1.在如图所示的几何体中，是棱台的是（　　） A.①②　　B.①③　　C.③　　D.②③ 2.下列多面体是棱台的是（　　） A.两底面是相似多边形的多面体　 B.侧面是梯形的多面体　 C.两底面平行的多面体　 D.两底面平行且相似，且侧棱延长后交于一点的多面体 题型一｜棱锥的结构特征 【例1】　有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？ 尝试解答 通性通法 棱锥的三个本质特征 （1）有一个面是多边形； （2）其余各面是三角形； （3）这些三角形有一个公共顶点. 【跟踪训练】 〔多选〕下列说法中，正确的是（　　） A.棱锥的各个侧面都是三角形 B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 C.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D.棱锥的各侧棱长相等 题型二｜棱台的结构特征 【例2】　下列关于棱台的说法中，正确说法的序号是　　　　. （1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； （2）棱台的侧面一定不会是平行四边形； （3）棱台的各侧棱延长后必交于一点； （4）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 尝试解答 通性通法 有关棱台结构特征判断的两个策略 （1）举反例法： 结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确. （2）直接法： 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 【跟踪训练】 下面说法中，正确的是（　　） A.上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台 B.棱台的所有侧面都是梯形 C.棱台的侧棱长必相等 D.棱台的上下底面可能不是相似图形 题型三｜棱锥、棱台中的计算问题 【例3】　正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高. 尝试解答 【母题探究】 1.（变条件）将本例中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？ 2.（变条件）将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？ 通性通法 　　正棱锥、正棱台中的计算技巧 （1）正棱锥中的直角三角形的应用： 已知正棱锥如图（以正四棱锥为例），其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高. ①斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC； ②斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE； ③侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC. （2）正棱台中的直角梯形的应用： 已知正棱台如图（以正四棱台为例），O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高. ①斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1； ②斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO； ③高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1. 【跟踪训练】 1.底面边长为2，且侧棱长为2的正四棱锥的侧面积为（　　） A.20 B.16 C.24 D.6 2.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝，则该棱台的侧面积为　　　　　. 1.有一个多面体，由四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为（　　） A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥 2.〔多选〕在如图所示的几何体中，关于其结构特征，下列说法正确的是（　　） A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的 B.该几何体有12条棱，6个顶点 C.该几何体有8个面，并且各个面均为三角形 D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 3.如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，则该几何体的表面积为　　　　. 4.正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于3，过不相邻的两条侧棱作截面，求截面面积. 提示：完成课后作业　第十一章　11.1　11.1.4 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $