10.1.2 复数的几何意义（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦“复数的几何意义”核心知识点，系统梳理复数与复平面内点、向量的一一对应关系，明确复数模的定义及计算方法，阐释共轭复数的概念及几何特征。基于复数代数形式，搭建从代数表示到几何直观的学习支架，为后续复数运算的几何应用奠定基础。 该资料通过“思考-提示”引导学生从有序数对与点的对应抽象出复数与复平面点的关系，培养数学眼光；结合例题中复数模的范围对应圆环图形，发展几何直观；以精确语言定义共轭复数，强化数学表达。课中助力教师引导探究，课后通过跟踪训练与练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

10．1.2　复数的几何意义 新课导入 学习目标 德国数学家高斯把复数与平面内的点一一对应起来，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．复数的几何意义从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 1.理解复数表示的几何意义． 2．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 3．理解共轭复数的概念． 思考　有序实数对和坐标平面上的点一一对应，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 提示　复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z＝a＋bi与有序实数对(a，b)是一一对应的，所以复数可以和坐标平面上的点一一对应． [知识梳理] 1．建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面．在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴． 2．复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi对应复平面内的点Z(a，b).如图： 点拨　复数的实部、虚部分别对应了复平面内对应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所对应的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征． 3．复数的几何意义 [例1] (1)已知复数z1＝2－ai(a∈R，i为虚数单位)对应的点在直线y＝x＋上，则复数z2＝a＋2i对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 (2)已知在复平面内，O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　) A.－5＋5i B．5－5i C.5＋5i D．－5－5i 【解析】　(1)复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点的坐标为(2，－a)，该点在直线y＝x＋上，故－a＝＋，解得a＝－2，所以复数z2＝－2＋2i，它对应的点的坐标为(－2，2)，在第二象限． (2)向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3，2).由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i. 【答案】　(1)B　(2)B 复数与复平面内的点、平面向量的对应关系 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应复平面内的点Z(a，b)、复平面内的向量； (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为依据，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． [跟踪训练1] (1)(2025·大连月考)在复平面内，复数z对应的点与复数＋对应的点关于实轴对称，则复数z＝(　　) A.－＋ B．－－ C.＋ D．－ 解析：选D.在复平面内，复数＋对应的点为，其关于实轴对称的点为 ，所以z＝－. (2)在正方形OMNP中，若对应的复数为1＋2i，则对应的复数为__________． 解析：因为对应的复数为1＋2i， 所以＝(1，2)，在正方形OMNP中， ＝－＝(－1，－2)，则对应的复数为－1－2i. 答案：－1－2i 思考1　设＝(a，b)，那么||的值是什么？与复数a＋bi有什么关系？ 提示　||＝，我们称为复数a＋bi的模． 思考2　复数z1＝3＋4i与复数z2＝3－4i的模有何关系？在复平面内它们对应的点有何关系？ 提示　相等，关于实轴对称． [知识梳理] 1．共轭复数 (1)定义：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用 表示，因此，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，有＝a－bi. (2)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数． 2．复数的模 (1)定义：一般地，向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值). (2)表示：复数z＝a＋bi的模用|z|表示． (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝. 当b＝0时，|z|＝＝|a|． [例2] (1)在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为，则复数z＝(　　) A.＋3i B．－3i C.＋2i D．－2i (2)若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为__________． 【解析】　(1)设z＝＋bi(b＜0)，则|z|2＝()2＋b2＝32，解得b＝－2(正值已舍去)，所以z＝－2i. (2)因为z1＝3＋ai，z2＝b＋4i互为共轭复数，所以所以z＝－4＋3i，所以|z|＝＝5. 【答案】　(1)D　(2)5 复数的模、共轭复数计算技巧 (1)计算复数的模、共轭复数，要去确定复数的实部和虚部． (2)两个共轭复数的模相等；利用定义可将复数模的问题转化为实数问题求解． [跟踪训练2] (1)已知复数z＝8＋6i，则||＝(　　) A.4 B．6 C．8 D．10 解析：选D.由z＝8＋6i，得＝8－6i， 所以||＝＝10. (2)已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是______________． 解析：依题意，可知z＝a＋i，则|z|2＝a2＋1.因为0＜a＜2，所以a2＋1∈(1，5)，即|z|∈(1，). 答案：(1，) [例3] (对接教材例1，例2)已知复数z1＝－＋i，z2＝－－i. (1)求||与||的值，并比较它们的大小； (2)设复平面内，复数z满足||≤|z|≤||，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ 【解】　(1)|z1|＝＝2. |z2|＝＝1. 所以||＝|z1|＝2，||＝|z2|＝1，||>||. (2)由(1)知1≤|z|≤2，此不等式可化为 因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆的外部所有的点组成的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆的内部所有的点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界． 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决． [跟踪训练3] 设复数z＝(x＋1)＋(x－3)i，x∈R，则|z|的最小值为(　　) A.1 B．2 C.2 D．4 解析：选C.因为z＝(x＋1)＋(x－3)i，x∈R， 所以|z|＝＝ ＝≥ ＝2(当且仅当x＝1时取等号)，所以|z|的最小值为2. 1．(教材P31练习AT1(2)改编)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 解析：选C.依题意得＝－3－2i，故在复平面内对应的点(－3，－2)位于第三象限． 2．(教材P31练习AT3改编)已知复数z满足z＝1－i，则|z|＝(　　) A.－1 B．1 C. D．2 解析：选C.|z|＝＝. 3．已知z∈C，在复平面内z对应的点为Z，Γ为满足2≤|z|<5的点Z的集合所对应的图形，则Γ的面积为________． 解析：设z＝x＋yi，x，y∈R， 因为|z|≥2的解集是以原点O为圆心，2为半径的圆上和圆外部所有点组成的集合，|z|<5的解集是以原点O为圆心，5为半径的圆内部所有点组成的集合，所以Γ是以原点为圆心，2为半径和5为半径的两个圆组成的圆环部分(如图所示)， 故Γ的面积为(52－22)π＝21π. 答案：21π 4．若复数z＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)，满足|z|＝3，则a的值为____________． 解析：由|z|＝3得|z|＝＝3，解得a＝±. 答案：± 5．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是3＋i，点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数是________． 解析：向量对应的复数是3＋i，即A(3，1)，则点A关于虚轴的对称点为B(－3，1)， 则向量对应的复数是－3＋i. 答案：－3＋i 1．已学习：复数的几何意义、复数的模、共轭复数． 2．须贯通：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与点Z(a，b)、向量一一对应，研究三者的关系应用了数形结合的思想方法；复数的模及共轭复数都是把复数问题实数化，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：平面坐标系中的x，y轴与复平面内的实轴、虚轴的区别． 学科网（北京）股份有限公司 $