10.1.1 复数的概念（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学复数的概念这一核心知识点，系统梳理从数系扩充（方程无解问题）引入虚数单位i，到复数定义（a+bi，a,b∈R）、实部虚部、分类（实数、虚数、纯虚数）及复数相等条件的完整脉络，构建从实数到复数的认知支架。 该资料以卡尔丹方程历史问题导入激发兴趣，通过数系扩充逻辑培养数学思维中的推理意识，例题与跟踪训练强化复数问题实数化，体现数学语言的模型意识。课中助教师引导探究，课后学生可通过即时练和跟踪训练查漏补缺。

10．1　复数及其几何意义 10．1.1　复数的概念 新课导入 学习目标 　　意大利数学家卡尔丹曾提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10－x)＝40的根，他求出的根为5＋和5－，积为25－(－15)＝40.这样的结果令他大为不解，甚至感到有些恐慌．负数真的不能开平方吗？让我们带着这个问题进入今天的探究之旅吧！ 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程． 2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3．掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件． 数系的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解； 因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解； 因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解． 思考　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 提示　能．引入虚数单位i，使i2＝－1，则方程x2＝－1的解为x＝±i. [知识梳理] 1．定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．其中称i为虚数单位，满足i2＝－1． 2．表示方法：复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b. 3．复数集：所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}． [即时练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z＝1－i的实部是1，虚部是－i.(　　) (2)方程x2＋1＝0的解为x＝±i.(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．复数z＝1－2i的虚部是(　　) A.2 B．－2 C.2i D．－2i 解析：选B.虚部不带i，z＝1－2i的虚部是－2. 3．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝________． 解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4. 答案：4 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部，特别注意，b连同它的符号叫做复数的虚部． 思考1　复数z＝a＋bi(a，b∈R)在什么情况下表示实数？ 提示　b＝0. 思考2　 如何利用集合间的关系表示实数集R和复数集C? 提示　RC. [知识梳理] 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下： 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 [例1] (对接教材例1)当实数m取何值时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)虚数；(2)纯虚数． 【解】　(1)当即m≠5且m≠－3时，复数z是虚数． (2)当即m＝3或m＝－2时，复数z是纯虚数． 母题探究　本例条件不变，则当z＞0时，m的值为(　　) A.1 B．5 C.－2 D．3 解析：选B.因为z＞0，所以z为实数，需满足解得m＝5. 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 (1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到实部与虚部，再求解． (2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解． [跟踪训练1] (1)已知i是虚数单位，复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为(　　) A.2 B．－2 C.±2 D．4 解析：选A.由z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，得解得x＝2.故选A. (2)(2025·丹东月考)若复数m－4＋(m2－16)i≥0，则实数m的值为________． 解析：由题意解得m＝4. 答案：4 思考　若z＝a＋bi与z＝1＋2i是同一个复数，那么a，b的值能确定吗？ 提示　能，a＝1，b＝2. [知识梳理] 两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2. 这就是说，如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d． 特别地，当a，b都是实数时，a＋bi＝0的充要条件是a＝0且b＝0． [例2] (1)若xi－2i2＝y＋2yi，x，y∈R，则复数x＋yi＝(　　) A.－2＋i B．4＋2i C.1－2i D．1＋2i (2)若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为(　　) A.1 B．2 C.3 D．4 【解析】　(1)由i2＝－1，得xi－2i2＝2＋xi， 则2＋xi＝y＋2yi， 根据复数相等的充要条件得 解得故x＋yi＝4＋2i. (2)因为b＋(a－2)i＝1＋i，所以 所以a＝3，b＝1.所以a＋b＝4. 【答案】　(1)B　(2)D 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解； (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． [跟踪训练2] (1)已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和复数z2＝c＋di(c，d∈R)，则“a＝c”是“z1＝z2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选B.充分性：当a＝c时，若b≠d， 则z1≠z2，所以充分性不成立； 必要性：当z1＝z2时，则a＝c且b＝d，所以必要性成立， 所以“a＝c”是“z1＝z2”的必要不充分条件． (2)已知x－2y＋3＋(x＋y)i＝0，x，y∈R，则x＝________，y＝________． 解析：因为x－2y＋3＋(x＋y)i＝0， 所以所以 答案：－1　1 1．设i是虚数单位，若复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，则实数a＝(　　) A.5　　　　　　　 B．－5 C.3 D．－3 解析：选A.因为复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，所以3＋2a＝－(2－3a)，解得a＝5. 2．(多选)(2025·威海月考)下列命题中，不正确的是(　　) A.1－ai(a∈R)是一个复数 B.形如a＋bi(a，b∈R)的数一定是虚数 C.两个复数一定不能比较大小 D.若a>b，则a＋i>b＋i 解析：选BCD.由复数的定义可知A命题正确；形如a＋bi(a，b∈R)的数，当b＝0时，它不是虚数，故B命题错误；若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误；两个虚数不能比较大小，故D命题错误． 3．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝____________． 解析：由题意得解得a＝－4. 答案：－4 4．(教材P28练习BT2改编)当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋m－6)＋(m2－m－2)i(m∈R)是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：(1)若z是实数，则m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1. (2)若z是虚数，则m2－m－2≠0，解得m≠2且m≠－1. (3)若z是纯虚数，则解得m＝－3. 1．已学习：数系的扩充、复数的概念及分类、复数相等的充要条件． 2．须贯通：两个复数一般不能比较大小，如有大小关系，则它们一定是实数；两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等；复数问题实数化是求解复数的基本方法，体现了转化与化归的数学思想． 3．应注意：(1)复数代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)是否规范； (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件是b≠0且a＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $