10.1.1 复数的概念（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

10．1　复数及其几何意义

10．1.1　复数的概念

 

数系的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：

因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解；

因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解；

因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解．

思考　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？

提示　能．引入虚数单位i，使i2＝－1，则方程x2＝－1的解为x＝±i.

[知识梳理]

1．定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．其中称i为虚数单位，

满足i2＝－1．

2．表示方法：复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b.

3．复数集：所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}．

[即时练]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)复数z＝1－i的实部是1，虚部是－i.(　　)

(2)方程x2＋1＝0的解为x＝±i.(　　)

答案：(1)×　(2)√

2．复数z＝1－2i的虚部是(　　)

A.2    B．－2   

C.2i    D．－2i

解析：选B.虚部不带i，z＝1－2i的虚部是－2.

3．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝________．

解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.

答案：4

在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部，特别注意，b连同它的符号叫做复数的虚部．

思考1　复数z＝a＋bi(a，b∈R)在什么情况下表示实数？

提示　b＝0.

思考2　 如何利用集合间的关系表示实数集R和复数集C?

提示　RC.

[知识梳理]

1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：

2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

[例1] (对接教材例1)当实数m取何值时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？

(1)虚数；(2)纯虚数．

【解】　(1)当即m≠5且m≠－3时，复数z是虚数．

(2)当即m＝3或m＝－2时，复数z是纯虚数．

母题探究　本例条件不变，则当z＞0时，m的值为(　　)

A.1    B．5   

C.－2    D．3

解析：选B.因为z＞0，所以z为实数，需满足解得m＝5.

利用复数的分类求参数的方法及注意事项

(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到实部与虚部，再求解．

(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．

[跟踪训练1] (1)已知i是虚数单位，复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为(　　)

A.2    B．－2   

C.±2    D．4