第9章 阶段提升(一) 解三角形(范围：9.1～9.2)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

阶段提升(一)　解三角形(范围：9.1～9.2)

1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a(cos B－1)－b(cos A－1)＝0.若a＝4，则b＝(　　)

A．1    B．2   

C．3    D．4

解析：选D.因为a(cos B－1)－b(cos A－1)＝0，

所以a·(－1)－b·(－1)＝0，

所以－a－＋b＝0，－(a－b)＝0.

所以a2－b2－c(a－b)＝0，

即(a－b)(a＋b－c)＝0.

因为a＋b－c>0，所以a－b＝0，即b＝a＝4.

2．(2024·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　)

A．    B．   

C．    D．

解析：选C.因为B＝60°，b2＝ac，则由正弦定理得sin A sin C＝sin2B＝.

由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac，

即a2＋c2＝ac，

根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sinA sin C＝，

所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝，

因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C>0，

则sin A＋sin C＝.

3．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇A发现在北偏东45°方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇B正以每小时10公里的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇A以每小时14公里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇B.则要在最短的时间内拦截住蓝方小艇B，红方侦察艇所需的时间为________小时，角α的正弦值为________．

解析：

设红方侦察艇A经过x小时在C处追上蓝方的小艇B，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.

在△ABC中，根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240x×cos 120°，

解得x＝2(负值已舍去)，

故AC＝28，BC＝20.

在△ABC中，根据正弦定理得＝，

解得sin α＝＝.

答案：2　

4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos A(c cos B＋b cos C)＝a.

(1)求A；

(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值．

解：(1)由正弦定理及2cos A(c cos B＋b cos C)＝a，

得2cos A(sin C cos B＋sin B cos C)＝sin A，

即2cos A sin (C＋B)＝sin A，

即2cos A sin A＝sin A，

因为0<A<π，所以sin A≠0，

所以cos A＝，所以A＝.

(2)由题意得△ABC的面积S＝bc sin A＝，

所以bc＝4.①

又a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝2，

所以b2＋c2＝8.②

由①②得b＝c＝2.

边角互化的常用方法

(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B⇔A＝B；sin (A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝等．

(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等．