解三角形实际应用问题 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

解三角形实际应用问题讲义 解三角形实际应用问题讲义 知识点解析 一、核心原理 将实际几何场景转化为可解的三角形模型，依托正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，结合方位角、仰角俯角、坡度等实际几何概念，实现边、角、面积的计算，核心是实际问题三角形化，解三角形求未知量。 二、通用解题思路 1. 建模型：梳理实际场景中的几何关系，画出示意图，将已知的距离、角度（方位角/仰角等）转化为三角形的边、角条件，确定待求量对应的三角形边/角； 1. 定三角形：锁定核心可解三角形，判断其类型（直角/斜三角形），标注已知边、角（注意角的取值范围和几何概念的准确转化）； 1. 选定理：根据已知条件选对应定理求解 · 已知两角一边/两边及其中一边的对角：用正弦定理； · 已知两边及夹角/三边：用余弦定理； · 直角三角形：直接用勾股定理+锐角三角函数，简化计算； 1. 验结果：计算结果结合实际场景验证合理性（如长度为正、角度符合方位/俯仰逻辑），多三角形问题需依次求解、逐步推导。 三、核心技巧与注意事项 1. 几何概念精准转化：方位角（从正北/正南顺时针转）、仰角/俯角（与水平线的夹角）、坡度（高/水平宽）勿混淆，避免角的标注错误； 1. 多三角形问题抓“公共边/公共角”：以公共边为桥梁，先解已知条件充分的三角形，再将结果代入相邻三角形求解； 1. 边角对应无差错：正弦/余弦定理中，边与对角严格对应，避免公式代换错误； 1. 特殊角速算：熟记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，简化计算，非特殊角可保留三角函数式或按要求取近似值。 例题分析 例1．（25-26高一下·浙江衢州·期中）衢州天王塔始建于南朝梁天监年间，于1952年拆除后在2015年重建，某同学为了估算天王塔的高度，设计了如图所示的测量方案：用无人机沿水平方向由远及近航拍天王塔AB（无人机行进路线和塔身在同一铅垂平面内），若在C处测得塔尖A的俯角为15°，在D处测得塔底B的俯角为75°，同时测得塔尖A的俯角为30°，且，则由此算得衢州天王塔的高度为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·江苏淮安·月考）如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 例3．（25-26高一下·山东临沂·月考）落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米． 例4．（25-26高一下·云南楚雄·月考）如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________． 例5．（2026·湖南郴州·模拟预测）苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的处，此时他测得山顶的仰角为.他沿着东偏南的方向前行200米后到达点处，此时他测得山顶点的仰角为.假设山顶在水平面上的投影为点，且点位于点的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计. (1)求山高； (2)已知景区内点处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为.求山脚下缆车上车点到点的距离. 例6．（25-26高一下·河北唐山·月考）如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市且与海岸距离为的海上B处有一艘快艇与汽车同时出发，要把一份文件交给这辆汽车的司机． (1)若快艇每小时最快行驶，快艇应如何行驶才能尽快把文件交到司机手中？最快需多长时间？ (2)快艇至少以多大的速度行驶才能把文件送到司机手中？ 变式训练 变式1．（25-26高一下·重庆九龙坡·月考）位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15°方向行驶，发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·上海·开学考试）若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为___________m 变式4．（25-26高一下·福建厦门·月考）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 变式5．（25-26高一下·广东广州·月考）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向北偏东角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，． (1)求大学与站的距离； (2)求铁路段的长度． 实战演练 1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 2．（25-26高一下·湖南·月考）湘超湘味，湘当韵味！2025年“湘超”火爆出圈，累计观赛人数超241万，全网流量破163亿，成为了湖南足球的精神图腾与全民练兵场，是湖湘文化的新名片！在一场激烈比赛中，某队的10号球员从点A出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达B点时，发现足球在点C处正以7.5米/秒的速度向点A做匀速直线运动．已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 3．（25-26高三上·吉林四平·月考）紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）. 4．（24-25高一下·贵州·月考）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高m，该同学眼高1.6m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高__________m（用参考数据进行计算）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当__________m时，观测基站的视角∠ACB最大？（参考数据：，，，，.） 5．（25-26高三上·河北·月考）某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形实际应用问题讲义 解三角形实际应用问题讲义 知识点解析 一、核心原理 将实际几何场景转化为可解的三角形模型，依托正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，结合方位角、仰角俯角、坡度等实际几何概念，实现边、角、面积的计算，核心是实际问题三角形化，解三角形求未知量。 二、通用解题思路 1. 建模型：梳理实际场景中的几何关系，画出示意图，将已知的距离、角度（方位角/仰角等）转化为三角形的边、角条件，确定待求量对应的三角形边/角； 1. 定三角形：锁定核心可解三角形，判断其类型（直角/斜三角形），标注已知边、角（注意角的取值范围和几何概念的准确转化）； 1. 选定理：根据已知条件选对应定理求解 · 已知两角一边/两边及其中一边的对角：用正弦定理； · 已知两边及夹角/三边：用余弦定理； · 直角三角形：直接用勾股定理+锐角三角函数，简化计算； 1. 验结果：计算结果结合实际场景验证合理性（如长度为正、角度符合方位/俯仰逻辑），多三角形问题需依次求解、逐步推导。 三、核心技巧与注意事项 1. 几何概念精准转化：方位角（从正北/正南顺时针转）、仰角/俯角（与水平线的夹角）、坡度（高/水平宽）勿混淆，避免角的标注错误； 1. 多三角形问题抓“公共边/公共角”：以公共边为桥梁，先解已知条件充分的三角形，再将结果代入相邻三角形求解； 1. 边角对应无差错：正弦/余弦定理中，边与对角严格对应，避免公式代换错误； 1. 特殊角速算：熟记30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，简化计算，非特殊角可保留三角函数式或按要求取近似值。 例题分析 例1．（25-26高一下·浙江衢州·期中）衢州天王塔始建于南朝梁天监年间，于1952年拆除后在2015年重建，某同学为了估算天王塔的高度，设计了如图所示的测量方案：用无人机沿水平方向由远及近航拍天王塔AB（无人机行进路线和塔身在同一铅垂平面内），若在C处测得塔尖A的俯角为15°，在D处测得塔底B的俯角为75°，同时测得塔尖A的俯角为30°，且，则由此算得衢州天王塔的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中得出，再在中利用正弦定理即可求出. 【详解】由题意可知，， ， 则，，， 则为等腰三角形，即， 因为， 则在中利用正弦定理得， 即， 则衢州天王塔的高度为. 例2．（25-26高一下·江苏淮安·月考）如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 例3．（25-26高一下·山东临沂·月考）落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米． 【答案】 【分析】设，由边角关系可得，，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长. 【详解】设，因为，，则， 又，， 所以，， 在中，， 即①， 在中，， 即②， 因为， 所以由①②两式相加可得：，解得：， 则. 例4．（25-26高一下·云南楚雄·月考）如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________． 【答案】 【详解】在中，由余弦定理得 ， 所以，在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 在中， ，故． 例5．（2026·湖南郴州·模拟预测）苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的处，此时他测得山顶的仰角为.他沿着东偏南的方向前行200米后到达点处，此时他测得山顶点的仰角为.假设山顶在水平面上的投影为点，且点位于点的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计. (1)求山高； (2)已知景区内点处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为.求山脚下缆车上车点到点的距离. 【答案】(1)200米； (2)米. 【分析】（1）设， 进而结合题意，在中根据余弦定理求得或，再结合点位于点的南偏西方向得即可得答案； （2）结合（1），设，，进而得，，再结合三角函数求解即可得答案. 【详解】（1）解：如图，在中，设， 由题意知，且, 由余弦定理， 代入得： 化简得：，即 解得或 由“点位于点的南偏西方向”可知，必在的东北方向，从而的横坐标应大于的横坐标. 由点向东位移为米，可得，即. 故只能取，所以山高米.    （2）解：由第（1）问知，山高米. 因为缆车在点处转换坡度，故两段缆车各上升100米. 设第一段（倾斜角）的水平距离为，即， 第二段（倾斜角）的水平距离为，即 则有：，，所以，； 因此，山脚下缆车上车点到点的距离为： 利用常用三角函数值：， 得 故山脚下缆车上车点到点的距离为米. 例6．（25-26高一下·河北唐山·月考）如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市且与海岸距离为的海上B处有一艘快艇与汽车同时出发，要把一份文件交给这辆汽车的司机． (1)若快艇每小时最快行驶，快艇应如何行驶才能尽快把文件交到司机手中？最快需多长时间？ (2)快艇至少以多大的速度行驶才能把文件送到司机手中？ 【答案】(1)快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把文件交到司机手中，最快需要4h (2)快艇至少以的速度行驶才能把文件送到司机手中 【分析】（1）设快艇以的速度沿行驶，小时后与汽车在E处相遇，在中，利用余弦定理，列出关于方程，求得，即可求解； （2）设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，小时后与汽车在C处相遇，再设，在中，利用余弦定理，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示，设快艇以的速度沿行驶，小时后与汽车在E处相遇. 在中，，，，. 由余弦定理得，解得或（舍去）， 当时，，，则， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把文件交到司机手中，最快需要小时. （2）解：如图所示，设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，小时后与汽车在C处相遇. 在中，，，， 其中为边上的高，且， 设，则，， 由余弦定理得， 即， 整理得 ， 当，即时，，所以， 即快艇至少以的速度行驶才能把文件送到司机手中. 变式训练 变式1．（25-26高一下·重庆九龙坡·月考）位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15°方向行驶，发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意画出图形，结合正弦定理即可求解. 【详解】 设甲船初始位置为，航行后位置为，灯塔为， 由题意， 航行后灯塔在正西方，结合方位关系可得， 根据正弦定理， 代入已知值：， 因此此时甲船距离灯塔. 变式2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得. 【详解】在中，，， 故，， 在中，，， ， 由正弦定理得，， 所以. 变式3．（25-26高三下·上海·开学考试）若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为___________m 【答案】 【分析】分析出与均为等腰三角形，结合余弦定理求解长即可. 【详解】如图，设与的交点为，则由题知为等腰三角形，所以， 又因为，所以，为等腰三角形，则， 又,所以，所以. 设，因为，所以，所以， 在中，由正弦定理可知，解得， 在中，由余弦定理可得, 代入、，有，代入 化简可得. 变式4．（25-26高一下·福建厦门·月考）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 【答案】 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高． 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 变式5．（25-26高一下·广东广州·月考）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向北偏东角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，． (1)求大学与站的距离； (2)求铁路段的长度． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）利用余弦定理进行求解即可； （2）利用正弦定理进行求解即可. 【详解】（1）在中，，且，， 由余弦定理得， ． 所以，即大学与站的距离为． （2）因为，且为锐角， 所以， 在中，由正弦定理得，， 即，所以， 由题意知，所以， 所以，因为， 所以，， 所以， 又， 所以， 在中，， 由正弦定理得，， 即，所以， 即铁路段的长为． 实战演练 1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 【答案】D 【分析】先在中，利用正弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求解BC即可. 【详解】在中，， 由正弦定理得 n mile， 在中，， 由余弦定理得， 所以 n mile. 2．（25-26高一下·湖南·月考）湘超湘味，湘当韵味！2025年“湘超”火爆出圈，累计观赛人数超241万，全网流量破163亿，成为了湖南足球的精神图腾与全民练兵场，是湖湘文化的新名片！在一场激烈比赛中，某队的10号球员从点A出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达B点时，发现足球在点C处正以7.5米/秒的速度向点A做匀速直线运动．已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】设最快截住足球所用时间为秒，截住位置为点，结合余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设最快截住足球所用时间为秒，截住位置为点： 根据速度和路程关系，可得：球员从出发走的路程， 足球从向运动后剩余的路程. 在中，已知，， 由余弦定理：， 可得 则，解得或， 所以该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为秒. 3．（25-26高三上·吉林四平·月考）紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）. 【答案】389 【分析】设，求出，最后在中利用余弦定理可得. 【详解】由题意可知，， 设，在中，，所以， 同理在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 所以. 故紫峰大厦主体的高度约为米. 故答案为： 4．（24-25高一下·贵州·月考）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高m，该同学眼高1.6m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高__________m（用参考数据进行计算）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当__________m时，观测基站的视角∠ACB最大？（参考数据：，，，，.） 【答案】 151.6 【分析】利用正弦定理及直角三角形边角关系求解；利用直角三角形边角关系及差角的正切公式，结合基本不等式求出取得最大值，借助正切函数单调性求解. 【详解】依题意，，， 在中，，则， 在中，， 所以山高； 依题意，且，， 在中，，在中，， 则 ，当且仅当，即时取等号， 正切函数在上单调递增，而，则当且仅当取得最大值时，最大， 所以当时，观测基站的视角最大. 故答案为：151.6； 5．（25-26高三上·河北·月考）某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）先利用三角函数的二倍角公式求出，然后求出，进而根据正弦定理求出结果即可. （2）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理求出，最后根据余弦定理求出结果. 【详解】（1）因为，所以. 所以，所以. 在中，根据正弦定理，，即， 解得. （2）在中，根据余弦定理，， 化简得，由于，所以解得米. 因为，在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 2 学科网（北京）股份有限公司 $