第9章 解三角形 章末复习提升(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

章末复习提升

要点一　利用正弦、余弦定理解三角形

在解三角形时，常将正弦定理与余弦定理结合使用，要注意恰当地选择定理，简化运算过程，同时注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件．

训练1　在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　)

A．1    B．  

C．    D．3

解析：选D.方法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).故选D.

方法二：由正弦定理＝，得sin C＝，从而cos C＝(C是锐角)，所以sin A＝sin [π－(B＋C)]＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×－×＝.又＝，所以BC＝3.故选D.

训练2　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b＝5，cos A＝，则△ABC的面积为________．

解析：由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，

即68＝50＋c2－2×5×c×，

即c2－8c－18＝0，

即(c－9)(c＋)＝0，

所以c＝9(负值已舍去)，

又因为cos2A＋sin2A＝1，

A∈(0，π)，所以sinA＝，

所以△ABC的面积为bc sin A＝×5×9×＝27.

答案：27

训练3　(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝__________．

解析：如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a，

方法一：由余弦定理可得，

22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，

因为b>0，解得b＝1＋，

由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，

×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°，

解得AD＝＝＝2.

方法二：由余弦定理可得，

22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，

因为b>0，解得b＝1＋，

由正弦定理可得，＝＝，

解得sin B＝，sin C＝，

因为0°<C<120°，

所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，

又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，

即AD＝AB＝2.

答案：2

训练4　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sinB．

(1)求sin A；

(2)设AB＝5，求AB边上的高．

解：(1)在△ABC中，A＋B＝3C，

又A＋B＋C＝π，所以C＝.

又因为2sin (A－C)＝sin B，

即2sin (－B)＝sin B，

所以sin B＝2cosB．

又因为sin2B＋cos2B＝1，B∈(0，)，

所以sin B＝，cos B＝，

所以sin A＝sin (B＋C)＝sin (B＋)＝sin B cos ＋cos B sin ＝.

(2)在△ABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

因为AB＝c＝5，C＝，sin B＝，