第9章 解三角形 章末复习提升(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦正弦定理与余弦定理的综合应用，系统梳理解三角形、判断三角形形状、实际应用及综合应用四大要点，通过10道训练题（含2023年高考真题）搭建从基础到综合的学习支架，强调定理选择与隐含条件挖掘的关键方法。 以“问题解决”为主线，融合高考真题培养数学眼光，一题多解（如训练1的余弦定理与正弦定理法）发展数学思维，实际应用题（如航行距离问题）强化数学语言表达。课中助力分层教学，课后学生可通过典型题查漏补缺，提升解三角形综合能力。

章末复习提升 要点一　利用正弦、余弦定理解三角形 在解三角形时，常将正弦定理与余弦定理结合使用，要注意恰当地选择定理，简化运算过程，同时注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件． 训练1　在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 解析：选D.方法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).故选D. 方法二：由正弦定理＝，得sin C＝，从而cos C＝(C是锐角)，所以sin A＝sin [π－(B＋C)]＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×－×＝.又＝，所以BC＝3.故选D. 训练2　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b＝5，cos A＝，则△ABC的面积为________． 解析：由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即68＝50＋c2－2×5×c×， 即c2－8c－18＝0， 即(c－9)(c＋)＝0， 所以c＝9(负值已舍去)， 又因为cos2A＋sin2A＝1， A∈(0，π)，所以sinA＝， 所以△ABC的面积为bc sin A＝×5×9×＝27. 答案：27 训练3　(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝__________． 解析：如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a， 方法一：由余弦定理可得， 22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6， 因为b>0，解得b＝1＋， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得， ×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°， 解得AD＝＝＝2. 方法二：由余弦定理可得， 22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6， 因为b>0，解得b＝1＋， 由正弦定理可得，＝＝， 解得sin B＝，sin C＝， 因为0°<C<120°， 所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°， 又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°， 即AD＝AB＝2. 答案：2 训练4　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sinB． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解：(1)在△ABC中，A＋B＝3C， 又A＋B＋C＝π，所以C＝. 又因为2sin (A－C)＝sin B， 即2sin (－B)＝sin B， 所以sin B＝2cosB． 又因为sin2B＋cos2B＝1，B∈(0，)， 所以sin B＝，cos B＝， 所以sin A＝sin (B＋C)＝sin (B＋)＝sin B cos ＋cos B sin ＝. (2)在△ABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为AB＝c＝5，C＝，sin B＝， sin A＝， 所以由正弦定理可得＝＝， 解得a＝3，b＝2. 设AB边上的高为h，由三角形的面积公式可得 ab sin ∠ACB＝c·h， 即×3×2×＝·5h， 解得h＝6，即AB边上的高为6. 要点二　判断三角形的形状 判断三角形的形状是看该三角形是否为特殊的三角形，是正、余弦定理应用的常见考查类型，利用边角之间的转化与化归方法是解决这类问题的基本思路． 训练5　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2＝，则△ABC的形状一定是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析：选A.因为cos2＝，所以＝，化简得sin A cos C＝sin B．因为B＝π－(A＋C)，所以sin A cos C＝sin (A＋C)，即cos A sin C＝0. 因为sin C≠0，所以cos A＝0，因为A∈(0，π)，即A＝90°，所以△ABC一定是直角三角形． 训练6　已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a＋c＝2b且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求B的大小并判断△ABC的形状． 解：因为2cos 2B－8cos B＋5＝0， 所以2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0， 所以4cos2B－8cosB＋3＝0， 即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0. 解得cos B＝或cos B＝(舍去). 因为B∈(0，π)，所以B＝. 因为a＋c＝2b， 所以cos B＝＝＝. 化简得a2＋c2－2ac＝0，解得a＝c. 又a＋c＝2b，所以a＝b＝c. 所以△ABC是等边三角形． 要点三　正弦、余弦定理的实际应用 正弦、余弦定理在实际生活中有着广泛应用，常见的问题涉及距离、高度、角度等方面．解决这类问题的关键是由题意画出示意图，将问题转化为三角函数模型． 训练7　一艘船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是(　　) A．5 n mile/h B．5 n mile/h C．10 n mile/h D．10 n mile/h 解析：选C. 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10. 在Rt△ABC中，由正弦定理可得AB＝5，所以这艘船的速度是＝10(n mile/h).故选C. 训练8　某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H处时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 解：由题意，设AC＝x m， 则BC＝x－×340＝(x－40)(m). 在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝BA2＋AC2－2BA·AC·cos ∠BAC， 即(x－40)2＝10 000＋x2－100x， 解得x＝420. 在△ACH中，AC＝420 m， ∠CAH＝30°＋15°＝45°， ∠AHC＝90°－30°＝60°. 由正弦定理得＝， 所以CH＝AC·＝140 (m). 故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m． 要点四　正弦、余弦定理的综合应用 正、余弦定理解三角形常与三角形的面积有关，常与三角函数、三角恒等变换、不等式等知识结合． 训练9　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝5，c＝.求： (1)角C的大小； (2)sin A的值； (3)sin 的值． 解：(1)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，b＝5，c＝，得cos C＝＝， 又因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)在△ABC中，由正弦定理及C＝，a＝2，c＝，可得sin A＝＝. (3)由a<c及sin A＝，可得cos A＝＝，进而sin2A＝2sin A cos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝.所以sin＝sin 2A cos ＋cos 2A sin ＝×＋×＝. 训练10　在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝kAC(k∈R). (1)求k的取值范围； (2)若S△ABC＝1，问k为何值时，BC最短？ 解：(1)由AD是∠BAC的角平分线， 可得＝＝2. 在△ABC中，由正弦定理得＝.① 在△ACD中，由正弦定理得＝.② ①②两式相除，整理得＝·，因为AB＝2AC，所以＝·2cos ，故k＝cos .因为0°<∠BAC<180°，故cos ∈(0，1)，则k∈，即k的取值范围为. (2)在△ABC中，由余弦定理及已知条件得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝AC2(5－4cos ∠BAC). 因为S△ABC＝1，所以AB·AC sin ∠BAC＝1， 即AC2＝，故BC2＝. 记y＝(y>0)， 则y sin ∠BAC＋4cos ∠BAC＝5， 即sin (∠BAC＋φ)＝5. 故当∠BAC＋φ＝90°时，y取得最小值3，此时cos ∠BAC＝cos (90°－φ)＝sin φ＝.又cos ∠BAC＝2cos2－1，且0°<∠BAC<180°， 则cos＝. 由(1)知k＝cos ， 故k＝×＝. 所以当k＝时，BC最短． 学科网（北京）股份有限公司 $