9.1.2 第2课时 用正弦、余弦定理解三角形（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

第2课时　用正弦、余弦定理解三角形

 

 

 

[例1] 在△ABC中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足＋＝0.

(1)求B的大小；

(2)若a＝1，b＝，求△ABC的面积．

【解】　(1)因为＋＝0，A＋B＋C＝π，所以＋＝0，

又因为A，B，C∈(0，π)，由正弦定理得＋＝0，sin A>0，sin C>0，

所以cos B＝－，所以B＝.

(2)在△ABC中，由余弦定理得

b2＝a2＋c2－2ac cos B，

即3＝1＋c2－2×1×(－)·c，则c2＋c－2＝0，

解得c＝－2(舍去)或c＝1，

所以S△ABC＝ac sin B＝×1×1×＝.

求三角形面积的解题思路

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设AD为BC边上的高，则AD＝c sin B，则△ABC的面积S＝BC·AD＝ac sin              B．同理可得S＝ab sin C＝bc sin A．求三角形的面积，要充分挖掘题目中的已知条件，转化为求两边及夹角的正弦问题，在选择三角形面积公式时，一般是看哪个角是已知的，就使用哪个相应的公式．

[跟踪训练1] (1)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc＝4，则△ABC的面积为(　　)

A．2    B．   

C．2    D．1

解析：选B.由余弦定理的推论可得cos A＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，又bc＝4，所以△ABC的面积为bc sin A＝.

(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，B＝60°，△ABC的面积S＝2，则b＝________．

解析：由题意可得S＝ac sin B＝×2c×＝2，即c＝4，则b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋16－8＝12，即b＝2.

答案：2

[例2] 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝，cos A＝，cos ∠ADB＝.

(1)求cos ∠ABD；

(2)求BC的长．

【解】　(1)在△ABD中，cos A＝，cos ∠ADB＝，

则A，∠ADB均为锐角，

则sin A＝＝，

sin∠ADB＝＝，

cos∠ABD＝cos (π－A－∠ADB)＝－cos (A＋∠ADB)＝sin A sin ∠ADB－cos A cos ∠ADB＝×－×＝.

(2)在△ABD中，由正弦定理得

＝，

则BD＝＝＝3，

由AB∥CD，得∠BDC＝∠ABD，

在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD cos ∠BDC＝9＋6－2×3××＝11，

所以BC＝.

多边形中计算问题的解题思路

(1)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用正弦定理、余弦定理．只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．