9.1.2 第1课时 余弦定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

9．1.2　余弦定理

第1课时　余弦定理

 

 

 

思考1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c?

提示　如图，设＝a，＝b，＝c，

那么c＝a－b，①

由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C．所以c2＝a2＋b2－2ab cos C．

思考2　在思考1得到的结果中，若C＝90°，公式会变成什么？是初中所学的什么定理？

提示　c2＝a2＋b2，即勾股定理．

[知识梳理]

[例1] (对接教材例1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝(　　)

A．3　　    B．

C．　　    D．

【解析】　因为a＝1，b＝2，C＝60°，所以c＝＝＝.

【答案】　B

母题探究　将本例中的条件“a＝1，b＝2，C＝60°”变为“若a，b，c是三个连续奇数，最大角为120°”，则△ABC的周长为(　　)

A．13    B．15   

C．17    D．19

解析：选B.不妨设a<b<c，则C＝120°，且b＝a＋2，c＝a＋4.所以(a＋4)2＝a2＋(a＋2)2－2a(a＋2)cos 120°，

即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去).

因此，△ABC的周长为a＋a＋2＋a＋4＝3a＋6＝3×3＋6＝15.故选B.

[例2] 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝________．

【解析】　由余弦定理得5＝22＋b2－2×2b×，

即3b2－8b－3＝0，所以b＝3.

【答案】　3

母题探究　将本例中的条件“a＝，c＝2，cos A＝”改为“a＝2，c＝2，cos A＝”，求b的值．

解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，

所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×，

即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.

所以b的值为2或4.

已知两边及一角解三角形的两种思路

(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．

(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．

[跟踪训练1] (1)(2025·辽阳期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，则b＝(　　)

A．25    B．5   

C．4    D．

解析：选B.在△ABC中，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B＝49－2×8－2×8×＝25，所以b＝5.

(2)(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝，c＝3，B＝30°，则a的值可以为(　　)

A．    B．2

C．3    D．4

解析：选AB.由余弦定理及已知得3＝a2＋9－2a×3×，即a2－3a＋6＝0，