9.1.2 第1课时 余弦定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦余弦定理核心知识点，从千岛湖岛屿距离实际问题导入，通过向量法推导定理，梳理文字与符号语言表述，构建“推导-推论-应用”学习支架，涵盖已知两边及夹角、三边解三角形及形状判断。 资料以现实情境激发探究欲（数学眼光），向量推导培养逻辑推理（数学思维），例题与母题探究结合生活问题（数学语言），跟踪训练强化应用。课中助教师高效授课，课后学生可通过分层练习查漏补缺，提升解三角形能力与数学素养。

9．1.2　余弦定理 第1课时　余弦定理 新课导入 学习目标 　　千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 1.了解用向量法推导余弦定理的过程． 2．掌握余弦定理及其推论，会利用它们求解三角形中的边角问题． 3．能运用余弦定理判断三角形的形状． 思考1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 提示　如图，设＝a，＝b，＝c， 那么c＝a－b，① 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C．所以c2＝a2＋b2－2ab cos C． 思考2　在思考1得到的结果中，若C＝90°，公式会变成什么？是初中所学的什么定理？ 提示　c2＝a2＋b2，即勾股定理． [知识梳理] 文字语言 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 符号语言 a2＝b2＋c2－2bc_cos_A b2＝c2＋a2－2ca_cos_B c2＝a2＋b2－2ab_cos_C [例1] (对接教材例1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝(　　) A．3　　 B． C．　　 D． 【解析】　因为a＝1，b＝2，C＝60°，所以c＝＝＝. 【答案】　B 母题探究　将本例中的条件“a＝1，b＝2，C＝60°”变为“若a，b，c是三个连续奇数，最大角为120°”，则△ABC的周长为(　　) A．13 B．15 C．17 D．19 解析：选B.不妨设a<b<c，则C＝120°，且b＝a＋2，c＝a＋4.所以(a＋4)2＝a2＋(a＋2)2－2a(a＋2)cos 120°， 即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去). 因此，△ABC的周长为a＋a＋2＋a＋4＝3a＋6＝3×3＋6＝15.故选B. [例2] 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝________． 【解析】　由余弦定理得5＝22＋b2－2×2b×， 即3b2－8b－3＝0，所以b＝3. 【答案】　3 母题探究　将本例中的条件“a＝，c＝2，cos A＝”改为“a＝2，c＝2，cos A＝”，求b的值． 解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×， 即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4. 所以b的值为2或4. 已知两边及一角解三角形的两种思路 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． [跟踪训练1] (1)(2025·辽阳期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，则b＝(　　) A．25 B．5 C．4 D． 解析：选B.在△ABC中，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B＝49－2×8－2×8×＝25，所以b＝5. (2)(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝，c＝3，B＝30°，则a的值可以为(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析：选AB.由余弦定理及已知得3＝a2＋9－2a×3×，即a2－3a＋6＝0，解得a＝或a＝2.故选AB. [知识梳理] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则cos A＝，cos B＝， cos C＝． [例3] (1)(对接教材例2)已知在△ABC中，AB＝5，BC＝7，CA＝9，则∠CAB的取值范围是(　　) A． B． C． D． (2)若a，a＋1，a＋2是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是(　　) A．1＜a＜3 B．a＞1 C．a＞3 D．0＜a＜1 【解析】　(1)在△ABC中，由AB＝5，BC＝7，CA＝9， 得cos ∠CAB＝＝＝， 则＜cos ∠CAB＜，又∠CAB∈(0，π)， 所以∠CAB∈. (2)因为三角形是锐角三角形，所以最大边长a＋2对应的角为锐角，设该角为θ， 所以cos θ＝＞0，即a2－2a－3＞0，解得a＞3或a＜－1(舍去).故选C. 【答案】　(1)C　(2)C 已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． 注意　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为“已知三边解三角形”的问题． [跟踪训练2] (1)在△ABC中，CA＝CB＝2，AB＝3，D为CA的中点，则BD＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C. 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos A＝＝， 在△ABD中，由余弦定理得 BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos A＝， 所以BD＝.故选C. (2)(2025·阜新月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝3，c＝5，则△ABC中最大内角为__________． 解析：在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝5，可知最大内角为A，由余弦定理得cos A＝＝＝－，而0°<A<180°，故A＝120°. 答案：120° [例4] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a－b＝2c cos B，cos A＋cos B＝1，则△ABC一定是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【解析】　(1)在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c.结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D. (2)由2a－b＝2c cos B及余弦定理的推论 可得2a－b＝2c·， 所以a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝， 又C∈(0，π)，所以C＝，所以A＋B＝. 因为cos A＋cos B＝1， 所以cos A＋cos ＝cos A＋cos cos A＋sin sin A ＝cos A－cos A＋sin A ＝cos A＋sin A＝1， 即sin ＝1. 因为A∈，所以＋A∈(，)， 所以＋A＝，A＝， 从而B＝π－A－C＝. 所以△ABC为等边三角形． 【答案】　(1)D　(2)A 判断三角形形状的基本思想和两条思路 [跟踪训练3] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a cos B＝c，则该三角形一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析：选A.因为2a cos B＝c， 所以由余弦定理的推论得2a·＝c， 所以a2＋c2－b2＝c2，所以a2＝b2， 因为a＞0，b＞0，所以a＝b， 所以△ABC一定为等腰三角形． (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝a sin C，c＝a cos B，则△ABC的形状为_______________． 解析：由余弦定理的推论知cos B＝， 代入c＝a cos B，得c＝a·， 所以c2＋b2＝a2， 所以△ABC是以A为直角的直角三角形． 又b＝a sin C，所以b＝a·， 所以b＝c，所以△ABC也是等腰三角形． 综上所述，△ABC是等腰直角三角形． 答案：等腰直角三角形 1．(教材P11练习AT2改编)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b＝(　　) A． B．6 C．7 D．8 解析：选A.因为A＋C＝， 所以B＝π－(A＋C)＝. 因为a＝3，c＝2， 所以由余弦定理可得b＝＝ ＝. 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝，b－c＝1，则cos B＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由余弦定理及题得， a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc， 因为b－c＝1，a＝，所以c2＋(c＋1)2－c(c＋1)＝7，即c2＋c－6＝0，解得c＝2或c＝－3(舍去)， 所以b＝3，c＝2，则cos B＝＝＝. 3．(2025·德州期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，C＝，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 解析：选B.因为＝，所以A，B∈(0，)，且a cos B＝b cos A，所以由余弦定理的推论得a·＝b·，整理得a＝b，又C＝，故△ABC是等边三角形． 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＋bc＋2b2＝0，则A＝________． 解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A可得bc＝，因为＋bc＋2b2＝0，所以＋＋2b2＝0，整理得＋2b2＝0，所以cos A＝－，又因为A∈(0，π)，所以A＝. 答案： 1．已学习：余弦定理及推论、余弦定理的简单应用． 2．须贯通：在解三角形的过程中，余弦定理及推论可以做到“知三求一”，应用转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：三角形的隐含条件，如内角和为180°，两边之和大于第三边． 学科网（北京）股份有限公司 $