题号猜押2+9+15+20题 函数与导数（抢分专练）（北京专用） 2026年高考数学终极冲刺讲练测

题号猜押2+9+15+20题 函数与导数 溯源：近5年真题显示，函数与导数每年必考，难度属于“中高档”．函数一般考查三个性质，与三种函数与实际应用，导数大题考查非常深，涉及各种类型（与三角函数结合，或证明之类）． 预测：单选题可能出一道函数题，考查单调性与奇偶性结合的问题，和一道函数应用，也就是指对函数互换要灵活应用，大题千年不变的导数，分三小问，第一问切线方程或者单调性，第二问，第三问可能是证明或者恒成立问题． 备考核心：函数中要学透三大性质，单调性，奇偶性，周期性，还有指对幂三种函数图像，导数中切线方程，单调性，极值最值也是高考的高频考点要弄懂，尤其导数中的恒成立问题和证明问题要重点练习． 考点1 函数性质 1．（2026·北京平谷·一模）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 则再将的图象向右平移1个单位长度后所得图象为函数的图象， 由题可知函数图象恰好与函数的图象重合， 所以，即， 又且，所以. 2．下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性定义，结合指对幂函数的性质、正弦函数性质及基本不等式判断是否符合题设. 【详解】A：，且定义域为R，满足； B：，且定义域为， 在上，故在上，不符合； C：且定义域为R，不符合； D：且定义域为， 当时，，当且仅当时取等号，不符合. 故选：A 考点2 函数应用 1．（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，年臭氧剩一半可得衰减常数，代入臭氧剩的条件，再利用参考数据计算出. 【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为， 已知经过年臭氧含量剩下一半，即， 两边同时取对数得：，所以， 要求臭氧含量剩初始含量的，即，所以，即， 由，，得， 代入得：年， 因此，经过约年臭氧含量只剩下初始含量的. 2．（25-26高三上·北京房山·期末）奶茶温度衰减满足函数关系，其中（单位：）为（单位：分钟）时的温度，（单位：）为室温，为常数，．已知某奶茶店的室温为，奶茶制作完成时温度为分钟后温度为，该奶茶适宜饮用温度为，则制作完成后适宜饮用的时间约为（ ） （参考数据：．结果保留整数） A．25分钟 B．30分钟 C．35分钟 D．40分钟 【答案】C 【分析】由题，，当时，，，，代入运算可得，令运算得解. 【详解】由题，，当时，，则，得， 又，，故，得，所以， 当时，有，所以， 所以， 故制作完成后适宜饮用的时间约为35分钟. 故选：C. 考点3 函数综合 1．（2026·北京·模拟预测）对于函数与非零实数，定义函数 给出下列四个结论： ①函数的最小值为； ②若为上的单调函数，则； ③存在非零实数，使得函数有四个不同零点； ④存在不相等的实数，，使得函数为奇函数． 其中所有正确结论的序号为____________． 【答案】①②④ 【分析】对于①，由题意可得，根据函数性质求解判断；对于②，根据的几何意义，分类讨论求解即可判断；对于③，分，结合函数性质可判断；对于④，假设函数为奇函数，令，根据是偶函数，即可判断. 【详解】函数， 的几何意义为原点与点两点连线的直线， 所以的几何意义就是，当时，就是原曲线； 当时，是与原点连接的一条射线； 对于①，当时，， 当时，在处取得最小值为， 当时，函数单调递增，最小值为， 所以函数的最小值为，故①正确； 对于②，若，则是的真子集， 所以函数在区间上单调递减， 因为，直线也单调递减， 且，，分段点连续，故为上的单调递减函数， 若， 当时，，当时，为一条与轴平行的直线； 当时，，直线单调递增， 所以在上不是单调函数， 所以，若为上的单调函数，则，故②正确； 对于③，函数有四个不同零点等价于有四个解， 当时，，；当时，， 若，左侧最多只有两个解，右侧最多只有一个解， 若，左侧最多只有两个解，右侧最多只有一个解， 故不存在非零实数，使得函数有四个不同零点，故③错误； 对于④，若为奇函数，则， 即， 令，则上式可化为， 因为，所以是偶函数， 不妨取，即可满足，即成立， 所以存在不相等的实数，，使得函数为奇函数，故④正确. 2．（2026·北京密云·一模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，为偶函数； ②当时，对任意，都有； ③当时，在上单调递减； ④存在实数，使得有2个零点. 其中正确结论的序号为__________. 【答案】①②③ 【分析】利用偶函数定义判断①；利用导数确定单调性判断②③；确定零点个数判断④. 【详解】函数的定义域为， 对于①，当时，，，为偶函数，①正确； 对于②，当时，，求导得， 函数在上单调递减，恒有，②正确； 对于③，当时，， 当时，；当    时，， 函数在上单调递减，在上单调递减，因此在上单调递减，③正确； 对于④，函数的零点即为方程的根， 亦即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内画出函数的图象及直线，如图： 直线过定点，令与函数相切的切点为， 由，求导得，则，解得， 则当时，函数的图象与直线有1个交点； 当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点； 当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点， 因此当时，函数的图象与直线有1个交点； 当时，函数的图象与直线没有交点； 当时，由对称性得函数的图象与直线有1个交点， 所以不存在实数，使得有2个零点，④错误. 考点4 导数恒成立问题 1．（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)2个 (3) 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式直线方程即可求解； （2）多次求导得函数的单调性，进而求出函数的极值点即可判断； （3）分离参数得在上恒成立，令，多次求导得其单调性，然后求解最值即可． 【详解】（1）当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）由，得， 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． ， 又在单调递减，在单调递增， 故存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故是函数的极大值点． 同理：存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故是函数的极小值点． 综上：函数极值点有2个． （3）对任意的实数恒成立， 等价于在上恒成立，得， 令，则． 令，则．因为，所以， 所以在上是增函数，所以，所以， 所以在上是增函数，所以的最小值为．所以， 即实数的取值范围． 2．已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)① ；②两个，理由见解析 【分析】（1）分，两种情况，解不等式，可得单调区间； （2）①由（1）可得满足题意，注意到，通过研究单调性可得答案； ②由（）单调性，结合零点存在性定理可得零点个数. 【详解】（1），． 当时，对，， 所以的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令，得． 因为时，；时，． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）①由（1）知，当时，的单调递增区间为， 所以当时，有，不符合题意； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以， 令（），， 与在区间上的情况如下： － 0 ＋ ↘ 0 ↗ 所以 所以时，， 时，，所以． ②方程有两个根，证明如下： 令（），， ①时，令，， ，，单调递增， ， 所以，， ． － 0 ＋ ↘ 0 ↗ ，，， 所以在区间上有一个零点． ②时，，，所以，所以递增， ， 由（i）知，所以在区间上有一个零点． ③时，由①知，， 所以，所以无零点． ④时，因为， 对于函数，则, 故在上递增， 所以， 所以无零点． 综上可知函数有两个零点． 3．（2026·北京延庆·一模）已知函数，，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）利用导数，分情况讨论，求函数的单调性. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 【详解】（1）当时，. 因为， ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为：即. （2），. 当时，由，此时，函数在上单调递减； 当时，由， 此时由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上可知，当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 因为. 若，则函数的定义域为，此时，即， 所以在上单调递增. 因为. 设，. 则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以恒成立，所以在不可能恒成立. 若，则函数的定义域为，此时， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 要想在上恒成立，需要. 设，. 则. 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 即当时，. 所以为所求. 考点5 导数证明题 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先确定定义域，对求导，分类讨论； （2）①函数化简，确定定义域，在上有极值等价于在上有变号零点； ②方法一：根据极值点的单调性性质结合已知参数范围放缩；方法二：利用极值点条件代换，构造新函数分析单调性. 【详解】（1） 由题意知的定义域为， 当时，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，解得；由，解得. 即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点. 令，即在上有变号零点. 当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意； 当时， 在上恒成立，所以在上单调递增， 令，解得，此时在上有唯一零点. ②∵在上单调递增， ∴当时，，即；当时，，即， 故在上单调递减； 在上单调递增，故是的极小值点. 方法一：由上，，∵，∴ 方法二：因， 由，可得，则， 令，显然在上单调递减， 则，即，故． 2．已知函数． (1)当时，求在处的切线的倾斜角； (2)若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 【答案】(1)； (2)（i）1；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而确定倾斜角大小； （2）（i）对函数求导，由已知有求参数值，注意验证；（ii）将问题化为证明在且上恒成立，应用换元法及导数研究不等式恒成立，即可证. 【详解】（1）由题设，则，故切线斜率， 所以，结合直线倾斜角的范围，易知在处的切线的倾斜角为. （2）（i）由题设，则， 由，则，故且， 令，则， 所以在上单调递减，且， 所以时，在上单调递增， 时，在上单调递减， 所以是函数的极值点，故； （ii），则且， 当时，，此时，即证， 当时，，此时，即证， 综上，只需证明在且上恒成立， 令，，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，故得证. 考点6 导数综合大题 1．（2026·北京密云·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求解即可. （2）根据4是极小值点求出，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可. （3）在定义域内单调递增即在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. （2）函数的定义域为，. 因为4是的极小值点，所以，即，解得. 当时，，， 令，则，解得或. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，， 故此时的极大值小于零. （3）因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 在上恒成立，也即在上恒成立. 又，当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为. 2．已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断在的单调性进而求最大值即可； （2）求导，结合导数的几何意义按的不同取值范围分类讨论求解即可； （3）由极值点的概念可得，消去得（*），令，利用导数可得，当且仅当时取等号，又（*）等价于，解得，代入求出的值即可. 【详解】（1）若，则，， 当时，，所以在单调递减， 所以当时，取得最大值. （2）的定义域为， 当时，易知在区间上单调递减，符合题意； 当时，，设， 则，当时，，所以在区间上单调递减， ①若，即时，当时，，即， 此时在区间上单调递增，不符合题意； ②若，即时，， 所以存在唯一的使得， 当时，，即， 此时在区间上单调递减，符合题意； 综上，的取值范围为. （3）由题意可得即， 所以，即（*）， 设函数， ， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，当且仅当时取等号， 又（*）等价于，所以，所以． 经检验，当时，存在极大值点且，符合题意， 所以． 一、单选题 1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用定义分别判断每个函数的奇偶性，求导判断单调性，得到答案. 【详解】A选项，定义域关于原点对称，，所以是奇函数， 但是在和上分别单调递减，在定义域内不是减函数， 如，A错误， B选项，由得，所以定义域是，不关于原点对称，是非奇非偶函数，B错误； C选项，定义域为关于原点对称，是奇函数， ，所以是上的减函数，C正确； D选项，由得，所以定义域是关于原点对称， ，所以是偶函数，D错误. 故选：C. 2．已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 3．（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误； 对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确； 对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误； 对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】， 又在上为增函数， 所以， 综上，， 故选：D 5．（2026·北京平谷·一模）设，函数若，．当存在最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析的图象，结合图象可知，要使取得最小值的条件，由此列不等式可得结论. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图象为一条端点取不到的单调递增的射线； 当时，，易知其图象是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图象（即半圆）； 因为，设，， 当时，，此时不存在最小值， 当时，，当且仅当为线段与半圆的交点时等号成立， 过点作直线的垂线， 当垂足不在函数的图象上时， 则，此时，不存在最小值， 当垂足在函数的图象上时， ，此时， 当且仅当与重合，为线段与半圆的交点时等号成立， 所以当与重合，为线段与半圆的交点时，存在最小值，最小值为， 因为的斜率为，则， 故直线的方程为， 联立，解得，则， 所以若存在最小值，则，又， 故. 6．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当马赫数分别为8和13时，由指对运算计算得，，即可求解. 【详解】当马赫数为8时，速度， 解得，即，， 当马赫数为13时，速度， 解得，即，， 所以,. 故选：C. 二、填空题 7．已知函数满足，且，则函数的最大值为__________；方程的实数解的个数为________． 【答案】 2 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图，则函数的最大值为2， 方程的解，即为与的交点横坐标， 计算可得：，所以在有一个交点， ，， 且当时，无交点. 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为：； 8．已知函数，若是上的单调函数，则的一个取值为_______；若有最小值，则的取值范围是_____． 【答案】 0（答案不唯一） 【分析】先判断是上的单调递减函数，结合分界点的函数值的大小关系可得a的取值范围；根据函数的单调性，分别求解每一段上的值域，即可分类讨论求解. 【详解】因为在递减，在上递减， 若是上的单调函数，则是上的单调递减函数， 只需， 则的一个取值为0（任取即可）； 当时，单调递减，所以， 当时，， 若，则当时，单调递增，所以，则此时函数无最小值； 若，则当时，，时，，函数有最小值为满足题意； 若，则当时，单调递减，，时，，要使函数有最小值，则且，解得； 综上，的取值范围是， 故答案为：0（答案不唯一）；. 三、解答题 9．已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的减区间为,增区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数即可判断单调区间； （3）构造函数对任意恒成立，据此根据导数求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，又， 所以曲线在点处的切线为； （2）当时，， 所以， 令，则， 所以在单调递增，且， 所以当时，，则，函数单调递减， 当时，，则，函数单调递增， 所以函数的减区间为，增区间为； （3）设， 则， 因为时，所以为增函数， 又在上都是增函数， 所以函数在上单调递增，且， 当即时，， 所以函数在上单调递增，所以， 所以时，符合题意； ②当即时，，又， 当即时，恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 此时不符合题意； 当即时， 存在，使得， 且当时，，当时，， 即函数在上单调递减，此时，不符合题意； 综上所述，的取值范围是 10．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，，使得； (3)当时，求函数的零点个数. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)当时，，此时函数有2个零点， 当时，，此时函数有1个零点， 当时，，此时函数无零点. 【分析】（1）利用导数几何意义可求在点处的切线方程； （2）求导分析函数单调性，发现函数在单调递增，由即可证明； （3）根据（2）函数的单调性确定函数的最小值，再整理分析函数的最小值的正负即可确定函数零点个数. 【详解】（1）当，，则， ， 即曲线在点处的切线方程为. （2）证明：当时，， 令，解得， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 即当时，，使得， （3）由（2）知， 令，则， 即，， 所以，， 令，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，又， 所以的解为，的解为， 即当时，，此时函数有2个零点， 当时，，此时函数有1个零点， 当时，，此时函数无零点. 11．设函数 ，且在处的切线方程为. (1) 求k的值； (2) 求的单调区间； (3) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义可得，可得解； （2）利用导数求函数单调性； （3）求出切线方程，设，转化为在恒成立，再由二次函数性质可解. 【详解】（1）， 则， 解得； （2）， 令，得或， 当时，，所以函数在和上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为； （3）因为，所以，， 所以处切线方程为， 整理得：， 设， 则 ， 所以， 若在单调，则恒成立， 所以只有即或（舍）时，恒成立， 即在单调递增，所以. 12．已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）把问题等价转为为证明在区间恒成立，设，利用导数研究其单调性，即可证明； （2）求导后，分和两种情况讨论，当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值，当，函数先减后增，有最小值，求解即可； （3）记，分和和时讨论，根据（1）（2）中得结论结合零点存在定理，推出和两类不等式矛盾，当时，，得出在单调递增，从而，满足题意，即可求解． 【详解】（1）在恒正， 则在区间恒成立等价于在区间恒成立． 取，，故在区间单调递增， 所以． 故原不等式恒成立． （2），， 当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 则的最小值为，令，，则，的单调递增区间是，单调递减区间是，． 即当时，的最小值为0，． （3）记， 则当时，由（2）知，在上单调递减，所以． 对恒成立， 又当时，由（1）知，， 取时，， 则与已知不等式矛盾． 当时，， ，由（1）知， 当时，，取，则， 从而由函数零点存在定理知，存在，使， 当时，，在单调递减，，与已知不等式矛盾． 当时，， 在单调递增，从而，，满足题意． 综上可知． 13．已知函数，其中． (1)当时， ①若，求函数的最大值； ②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：； (2)当时，若是函数的极小值点，求的取值范围． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2) 【分析】（1）把代入，①利用导数探讨单调性求出最大值；②设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过的点，结合一元二次方程有解推理得证. （2）求出导数，由给定的极小值点可得，且，构造函数，按最小值不小于0和小于0分类讨论求解. 【详解】（1）（i）当时，函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，且，在上单调递增，又 所以当时，函数的最大值为. （ii）设切点为，而，， 曲线在点处的切线方程为 由经过点，得，整理得， 由，得，所以. （2）函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极小值点，得，即， 则，令， 求导得，令，即，，得， 当时，；当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， ①当时，即时，得，此时， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； ②当时，即时，则，而， 则存在，使，当时，， 因此不是函数的极小值点，不符合题意， 所以的取值范围为. 14．设函数，其中. (1)当时，求的零点： (2)当时，证明： （i）1为的极小值点； （ii）对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数. 【答案】(1)1 (2)（i）证明见解析 （ii）证明见解析 【分析】（1）由已知函数解析式，直接令函数等于0，即可求得结果； （2）（i）利用极小值定义即可证明结论； （ii）先根据题干得到，令函数，求得其在区间上的值域，再令函数，求其在区间上的值域，有交集即可证明结论. 【详解】（1）已知，定义域为，令， 则，解得（舍去）或（舍去）或，故的零点为1. （2）（i）当时，函数，定义域为， ，则， 当时，所以， 故在区间上单调递减， 当时，所以， 故在区间上单调递增， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，故1为的极小值点. （ii）已知， 故曲线在点处的切线斜率为， 在点处的切线斜率为， 因为与互为相反数，所以， 令，， 则， 当时，单调递增，且， 根据零点存在定理可知：存在，使得， 故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，故函数在区间上的值域为， 令，， 则， 当时，单调递减，且， 故时，恒成立，所以函数在区间单调递减， 故的值域为， 因为当时，， 所以是的子集， 故对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数. 15．已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围； (3)当时，证明：若，，则.（参考数据：，，） 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据对数、分式性质求函数定义域； （2）对函数求导，根据题设有在上恒成立，构造函数研究最值，列不等式求参数范围. （3）应用导数分别求在、上的最值，进而得到、，即可证结论. 【详解】（1）由题设，则，故定义域为. （2）由，则必有，且， 由在区间上单调递减，则在上恒成立， 令且，则， 在上，则单调递增，故， 所以. （3）当，则，且， 设，则， 当，则，当，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当， 0 0 单调递减 极小值 单调递增 ； 当，，，故使， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 由，又，则， 综上，得证. 16．（2026·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的极值； (3)已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)时，无极值；时，的极大值为，无极小值； (3) 【分析】（1）求出，由点斜式求切线方程； （2）求出导数，分和进行讨论，根据导数的符号确定函数的单调区间，从而可得极值； （3）由于，，利用导数证得，，故由零点存在定理有零点，由三角形性质可比较. 【详解】（1）当时，，则， 又， 所以在点处的切线方程为； （2）由，得， 当时，对任意，， 所以在单调递减，无极值； 当时，令，得；令，得． 在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，极大值为，无极小值， 综上所述，时，无极值； 时，在处取得极大值，极大值为，无极小值； （3）由，函数有两个不同的零点，和一个极值点， 由（2）知在单调递增，在单调递减， 故为的极大值点， 极大值，令． 则，故在单调递增， 故， 又注意到，故不妨设， 此外， 则，记， 则， 所以在上单调递减，所以， 即，故在单调递减， 故． 由零点存在性定理，知有零点， 则． 设，则为的高且，故. 17．已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由函数求导，根据导数的几何意义建立方程，可得答案； （2）先由图象分析零点的存在性，再分段研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案； （3）由函数求导并构造函数，利用导数要求新函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1），定义域为． ．由题可得，，解得． （2）由（1）可得，． 当时，，，故，在时无零点； 当时，，，故，在时无零点． 当时，，所以在上单调递增． 而，． 故由零点存在性定理知，在上存在唯一零点． 当时，，，故，在时无零点； 综上：在上的零点个数为1． （3）．令，． 令，则． 当时，，，，所以．所以在上单调递增． ，，所以由零点存在性定理，存在唯一，使得． 当变化时，，的变化如下表： 0 极小值 又，，． 所以由零点存在性定理，分别在，上各恰有一个零点，即在上存在两个零点． 不妨设．则当时，；当时，． 而，． 所以．故． 18．已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为． (1)求的值； (2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 【答案】(1)0； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出函数的最大值，进而求出的值. （2）由（1）的信息求出切线的方程，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理证得还有小于的零点即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而函数的最大值为，则，解得， 所以的值为0. （2）由（1）知，，，则， 于是切线的方程为，即， 令，，求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 由，得，而，函数在上的图象不间断， 则存在，使得，且当或时，，当时，， 函数在和上单调递增，在上单调递减，又， 当时，，于是函数在上无零点， ，而，函数在上的图象不间断， 因此存在，使得， 所以当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押2+9+15+20题 函数与导数 溯源：近5年真题显示，函数与导数每年必考，难度属于“中高档”．函数一般考查三个性质，与三种函数与实际应用，导数大题考查非常深，涉及各种类型（与三角函数结合，或证明之类）． 预测：单选题可能出一道函数题，考查单调性与奇偶性结合的问题，和一道函数应用，也就是指对函数互换要灵活应用，大题千年不变的导数，分三小问，第一问切线方程或者单调性，第二问，第三问可能是证明或者恒成立问题． 备考核心：函数中要学透三大性质，单调性，奇偶性，周期性，还有指对幂三种函数图像，导数中切线方程，单调性，极值最值也是高考的高频考点要弄懂，尤其导数中的恒成立问题和证明问题要重点练习． 考点1 函数性质 1．（2026·北京平谷·一模）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 2．下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（   ）． A． B． C． D． 考点2 函数应用 1．（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京房山·期末）奶茶温度衰减满足函数关系，其中（单位：）为（单位：分钟）时的温度，（单位：）为室温，为常数，．已知某奶茶店的室温为，奶茶制作完成时温度为分钟后温度为，该奶茶适宜饮用温度为，则制作完成后适宜饮用的时间约为（ ） （参考数据：．结果保留整数） A．25分钟 B．30分钟 C．35分钟 D．40分钟 考点3 函数综合 1．（2026·北京·模拟预测）对于函数与非零实数，定义函数 给出下列四个结论： ①函数的最小值为； ②若为上的单调函数，则； ③存在非零实数，使得函数有四个不同零点； ④存在不相等的实数，，使得函数为奇函数． 其中所有正确结论的序号为____________． 2．（2026·北京密云·一模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，为偶函数； ②当时，对任意，都有； ③当时，在上单调递减； ④存在实数，使得有2个零点. 其中正确结论的序号为__________. 考点4 导数恒成立问题 1．（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 2．已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，并说明理由． 3．（2026·北京延庆·一模）已知函数，，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 考点5 导数证明题 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 2．已知函数． (1)当时，求在处的切线的倾斜角； (2)若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 考点6 导数综合大题 1．（2026·北京密云·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 2．已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，求的值． 一、单选题 1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 3．（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京平谷·一模）设，函数若，．当存在最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知函数满足，且，则函数的最大值为__________；方程的实数解的个数为________． 8．已知函数，若是上的单调函数，则的一个取值为_______；若有最小值，则的取值范围是_____． 三、解答题 9．已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 10．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，，使得； (3)当时，求函数的零点个数. 11．设函数 ，且在处的切线方程为. (1) 求k的值； (2) 求的单调区间； (3) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 12．已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 13．已知函数，其中． (1)当时， ①若，求函数的最大值； ②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：； (2)当时，若是函数的极小值点，求的取值范围． 14．设函数，其中. (1)当时，求的零点： (2)当时，证明： （i）1为的极小值点； （ii）对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数. 15．已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围； (3)当时，证明：若，，则.（参考数据：，，） 16．（2026·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的极值； (3)已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 17．已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 18．已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为． (1)求的值； (2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押2+9+15+20题 函数与导数 参考答案 押题预测 考点1 函数性质 1．【答案】C 【详解】由题可得， 则再将的图象向右平移1个单位长度后所得图象为函数的图象， 由题可知函数图象恰好与函数的图象重合， 所以，即， 又且，所以. 2．【答案】A 【分析】根据奇偶性定义，结合指对幂函数的性质、正弦函数性质及基本不等式判断是否符合题设. 【详解】A：，且定义域为R，满足； B：，且定义域为， 在上，故在上，不符合； C：且定义域为R，不符合； D：且定义域为， 当时，，当且仅当时取等号，不符合. 故选：A 考点2 函数应用 1．【答案】D 【分析】根据题意，年臭氧剩一半可得衰减常数，代入臭氧剩的条件，再利用参考数据计算出. 【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为， 已知经过年臭氧含量剩下一半，即， 两边同时取对数得：，所以， 要求臭氧含量剩初始含量的，即，所以，即， 由，，得， 代入得：年， 因此，经过约年臭氧含量只剩下初始含量的. 2．【答案】C 【分析】由题，，当时，，，，代入运算可得，令运算得解. 【详解】由题，，当时，，则，得， 又，，故，得，所以， 当时，有，所以， 所以， 故制作完成后适宜饮用的时间约为35分钟. 故选：C. 考点3 函数综合 1．【答案】①②④ 【分析】对于①，由题意可得，根据函数性质求解判断；对于②，根据的几何意义，分类讨论求解即可判断；对于③，分，结合函数性质可判断；对于④，假设函数为奇函数，令，根据是偶函数，即可判断. 【详解】函数， 的几何意义为原点与点两点连线的直线， 所以的几何意义就是，当时，就是原曲线； 当时，是与原点连接的一条射线； 对于①，当时，， 当时，在处取得最小值为， 当时，函数单调递增，最小值为， 所以函数的最小值为，故①正确； 对于②，若，则是的真子集， 所以函数在区间上单调递减， 因为，直线也单调递减， 且，，分段点连续，故为上的单调递减函数， 若， 当时，，当时，为一条与轴平行的直线； 当时，，直线单调递增， 所以在上不是单调函数， 所以，若为上的单调函数，则，故②正确； 对于③，函数有四个不同零点等价于有四个解， 当时，，；当时，， 若，左侧最多只有两个解，右侧最多只有一个解， 若，左侧最多只有两个解，右侧最多只有一个解， 故不存在非零实数，使得函数有四个不同零点，故③错误； 对于④，若为奇函数，则， 即， 令，则上式可化为， 因为，所以是偶函数， 不妨取，即可满足，即成立， 所以存在不相等的实数，，使得函数为奇函数，故④正确. 2．【答案】①②③ 【分析】利用偶函数定义判断①；利用导数确定单调性判断②③；确定零点个数判断④. 【详解】函数的定义域为， 对于①，当时，，，为偶函数，①正确； 对于②，当时，，求导得， 函数在上单调递减，恒有，②正确； 对于③，当时，， 当时，；当    时，， 函数在上单调递减，在上单调递减，因此在上单调递减，③正确； 对于④，函数的零点即为方程的根， 亦即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内画出函数的图象及直线，如图： 直线过定点，令与函数相切的切点为， 由，求导得，则，解得， 则当时，函数的图象与直线有1个交点； 当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点； 当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点， 因此当时，函数的图象与直线有1个交点； 当时，函数的图象与直线没有交点； 当时，由对称性得函数的图象与直线有1个交点， 所以不存在实数，使得有2个零点，④错误. 考点4 导数恒成立问题 1．【答案】(1) (2)2个 (3) 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式直线方程即可求解； （2）多次求导得函数的单调性，进而求出函数的极值点即可判断； （3）分离参数得在上恒成立，令，多次求导得其单调性，然后求解最值即可． 【详解】（1）当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）由，得， 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． ， 又在单调递减，在单调递增， 故存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故是函数的极大值点． 同理：存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故是函数的极小值点． 综上：函数极值点有2个． （3）对任意的实数恒成立， 等价于在上恒成立，得， 令，则． 令，则．因为，所以， 所以在上是增函数，所以，所以， 所以在上是增函数，所以的最小值为．所以， 即实数的取值范围． 2．【答案】(1)答案见解析 (2)① ；②两个，理由见解析 【分析】（1）分，两种情况，解不等式，可得单调区间； （2）①由（1）可得满足题意，注意到，通过研究单调性可得答案； ②由（）单调性，结合零点存在性定理可得零点个数. 【详解】（1），． 当时，对，， 所以的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令，得． 因为时，；时，． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）①由（1）知，当时，的单调递增区间为， 所以当时，有，不符合题意； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以， 令（），， 与在区间上的情况如下： － 0 ＋ ↘ 0 ↗ 所以 所以时，， 时，，所以． ②方程有两个根，证明如下： 令（），， ①时，令，， ，，单调递增， ， 所以，， ． － 0 ＋ ↘ 0 ↗ ，，， 所以在区间上有一个零点． ②时，，，所以，所以递增， ， 由（i）知，所以在区间上有一个零点． ③时，由①知，， 所以，所以无零点． ④时，因为， 对于函数，则, 故在上递增， 所以， 所以无零点． 综上可知函数有两个零点． 3．【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）利用导数，分情况讨论，求函数的单调性. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 【详解】（1）当时，. 因为， ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为：即. （2），. 当时，由，此时，函数在上单调递减； 当时，由， 此时由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上可知，当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 因为. 若，则函数的定义域为，此时，即， 所以在上单调递增. 因为. 设，. 则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以恒成立，所以在不可能恒成立. 若，则函数的定义域为，此时， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 要想在上恒成立，需要. 设，. 则. 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 即当时，. 所以为所求. 考点5 导数证明题 1．【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先确定定义域，对求导，分类讨论； （2）①函数化简，确定定义域，在上有极值等价于在上有变号零点； ②方法一：根据极值点的单调性性质结合已知参数范围放缩；方法二：利用极值点条件代换，构造新函数分析单调性. 【详解】（1） 由题意知的定义域为， 当时，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，解得；由，解得. 即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点. 令，即在上有变号零点. 当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意； 当时， 在上恒成立，所以在上单调递增， 令，解得，此时在上有唯一零点. ②∵在上单调递增， ∴当时，，即；当时，，即， 故在上单调递减； 在上单调递增，故是的极小值点. 方法一：由上，，∵，∴ 方法二：因， 由，可得，则， 令，显然在上单调递减， 则，即，故． 2．【答案】(1)； (2)（i）1；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而确定倾斜角大小； （2）（i）对函数求导，由已知有求参数值，注意验证；（ii）将问题化为证明在且上恒成立，应用换元法及导数研究不等式恒成立，即可证. 【详解】（1）由题设，则，故切线斜率， 所以，结合直线倾斜角的范围，易知在处的切线的倾斜角为. （2）（i）由题设，则， 由，则，故且， 令，则， 所以在上单调递减，且， 所以时，在上单调递增， 时，在上单调递减， 所以是函数的极值点，故； （ii），则且， 当时，，此时，即证， 当时，，此时，即证， 综上，只需证明在且上恒成立， 令，，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，故得证. 考点6 导数综合大题 1．【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求解即可. （2）根据4是极小值点求出，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可. （3）在定义域内单调递增即在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. （2）函数的定义域为，. 因为4是的极小值点，所以，即，解得. 当时，，， 令，则，解得或. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，， 故此时的极大值小于零. （3）因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 在上恒成立，也即在上恒成立. 又，当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为. 2．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断在的单调性进而求最大值即可； （2）求导，结合导数的几何意义按的不同取值范围分类讨论求解即可； （3）由极值点的概念可得，消去得（*），令，利用导数可得，当且仅当时取等号，又（*）等价于，解得，代入求出的值即可. 【详解】（1）若，则，， 当时，，所以在单调递减， 所以当时，取得最大值. （2）的定义域为， 当时，易知在区间上单调递减，符合题意； 当时，，设， 则，当时，，所以在区间上单调递减， ①若，即时，当时，，即， 此时在区间上单调递增，不符合题意； ②若，即时，， 所以存在唯一的使得， 当时，，即， 此时在区间上单调递减，符合题意； 综上，的取值范围为. （3）由题意可得即， 所以，即（*）， 设函数， ， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，当且仅当时取等号， 又（*）等价于，所以，所以． 经检验，当时，存在极大值点且，符合题意， 所以． 通关特训 一、单选题 1．【答案】C 【分析】用定义分别判断每个函数的奇偶性，求导判断单调性，得到答案. 【详解】A选项，定义域关于原点对称，，所以是奇函数， 但是在和上分别单调递减，在定义域内不是减函数， 如，A错误， B选项，由得，所以定义域是，不关于原点对称，是非奇非偶函数，B错误； C选项，定义域为关于原点对称，是奇函数， ，所以是上的减函数，C正确； D选项，由得，所以定义域是关于原点对称， ，所以是偶函数，D错误. 故选：C. 2．【答案】C 【分析】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 3．【答案】B 【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误； 对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确； 对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误； 对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 4．【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】， 又在上为增函数， 所以， 综上，， 故选：D 5．【答案】B 【分析】先分析的图象，结合图象可知，要使取得最小值的条件，由此列不等式可得结论. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图象为一条端点取不到的单调递增的射线； 当时，，易知其图象是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图象（即半圆）； 因为，设，， 当时，，此时不存在最小值， 当时，，当且仅当为线段与半圆的交点时等号成立， 过点作直线的垂线， 当垂足不在函数的图象上时， 则，此时，不存在最小值， 当垂足在函数的图象上时， ，此时， 当且仅当与重合，为线段与半圆的交点时等号成立， 所以当与重合，为线段与半圆的交点时，存在最小值，最小值为， 因为的斜率为，则， 故直线的方程为， 联立，解得，则， 所以若存在最小值，则，又， 故. 6．【答案】C 【分析】当马赫数分别为8和13时，由指对运算计算得，，即可求解. 【详解】当马赫数为8时，速度， 解得，即，， 当马赫数为13时，速度， 解得，即，， 所以,. 故选：C. 二、填空题 7．【答案】 2 4 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图，则函数的最大值为2， 方程的解，即为与的交点横坐标， 计算可得：，所以在有一个交点， ，， 且当时，无交点. 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为：； 8．【答案】 0（答案不唯一） 【分析】先判断是上的单调递减函数，结合分界点的函数值的大小关系可得a的取值范围；根据函数的单调性，分别求解每一段上的值域，即可分类讨论求解. 【详解】因为在递减，在上递减， 若是上的单调函数，则是上的单调递减函数， 只需， 则的一个取值为0（任取即可）； 当时，单调递减，所以， 当时，， 若，则当时，单调递增，所以，则此时函数无最小值； 若，则当时，，时，，函数有最小值为满足题意； 若，则当时，单调递减，，时，，要使函数有最小值，则且，解得； 综上，的取值范围是， 故答案为：0（答案不唯一）；. 三、解答题 9．【答案】(1) (2)的减区间为,增区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数即可判断单调区间； （3）构造函数对任意恒成立，据此根据导数求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，又， 所以曲线在点处的切线为； （2）当时，， 所以， 令，则， 所以在单调递增，且， 所以当时，，则，函数单调递减， 当时，，则，函数单调递增， 所以函数的减区间为，增区间为； （3）设， 则， 因为时，所以为增函数， 又在上都是增函数， 所以函数在上单调递增，且， 当即时，， 所以函数在上单调递增，所以， 所以时，符合题意； ②当即时，，又， 当即时，恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 此时不符合题意； 当即时， 存在，使得， 且当时，，当时，， 即函数在上单调递减，此时，不符合题意； 综上所述，的取值范围是 10．【答案】(1) (2)证明见详解 (3)当时，，此时函数有2个零点， 当时，，此时函数有1个零点， 当时，，此时函数无零点. 【分析】（1）利用导数几何意义可求在点处的切线方程； （2）求导分析函数单调性，发现函数在单调递增，由即可证明； （3）根据（2）函数的单调性确定函数的最小值，再整理分析函数的最小值的正负即可确定函数零点个数. 【详解】（1）当，，则， ， 即曲线在点处的切线方程为. （2）证明：当时，， 令，解得， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 即当时，，使得， （3）由（2）知， 令，则， 即，， 所以，， 令，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，又， 所以的解为，的解为， 即当时，，此时函数有2个零点， 当时，，此时函数有1个零点， 当时，，此时函数无零点. 11．【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义可得，可得解； （2）利用导数求函数单调性； （3）求出切线方程，设，转化为在恒成立，再由二次函数性质可解. 【详解】（1）， 则， 解得； （2）， 令，得或， 当时，，所以函数在和上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为； （3）因为，所以，， 所以处切线方程为， 整理得：， 设， 则 ， 所以， 若在单调，则恒成立， 所以只有即或（舍）时，恒成立， 即在单调递增，所以. 12．【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）把问题等价转为为证明在区间恒成立，设，利用导数研究其单调性，即可证明； （2）求导后，分和两种情况讨论，当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值，当，函数先减后增，有最小值，求解即可； （3）记，分和和时讨论，根据（1）（2）中得结论结合零点存在定理，推出和两类不等式矛盾，当时，，得出在单调递增，从而，满足题意，即可求解． 【详解】（1）在恒正， 则在区间恒成立等价于在区间恒成立． 取，，故在区间单调递增， 所以． 故原不等式恒成立． （2），， 当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 则的最小值为，令，，则，的单调递增区间是，单调递减区间是，． 即当时，的最小值为0，． （3）记， 则当时，由（2）知，在上单调递减，所以． 对恒成立， 又当时，由（1）知，， 取时，， 则与已知不等式矛盾． 当时，， ，由（1）知， 当时，，取，则， 从而由函数零点存在定理知，存在，使， 当时，，在单调递减，，与已知不等式矛盾． 当时，， 在单调递增，从而，，满足题意． 综上可知． 13．【答案】(1)① ；②证明见解析 (2) 【分析】（1）把代入，①利用导数探讨单调性求出最大值；②设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过的点，结合一元二次方程有解推理得证. （2）求出导数，由给定的极小值点可得，且，构造函数，按最小值不小于0和小于0分类讨论求解. 【详解】（1）（i）当时，函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，且，在上单调递增，又 所以当时，函数的最大值为. （ii）设切点为，而，， 曲线在点处的切线方程为 由经过点，得，整理得， 由，得，所以. （2）函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极小值点，得，即， 则，令， 求导得，令，即，，得， 当时，；当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， ①当时，即时，得，此时， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； ②当时，即时，则，而， 则存在，使，当时，， 因此不是函数的极小值点，不符合题意， 所以的取值范围为. 14．【答案】(1)1 (2)（i）证明见解析 （ii）证明见解析 【分析】（1）由已知函数解析式，直接令函数等于0，即可求得结果； （2）（i）利用极小值定义即可证明结论； （ii）先根据题干得到，令函数，求得其在区间上的值域，再令函数，求其在区间上的值域，有交集即可证明结论. 【详解】（1）已知，定义域为，令， 则，解得（舍去）或（舍去）或，故的零点为1. （2）（i）当时，函数，定义域为， ，则， 当时，所以， 故在区间上单调递减， 当时，所以， 故在区间上单调递增， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，故1为的极小值点. （ii）已知， 故曲线在点处的切线斜率为， 在点处的切线斜率为， 因为与互为相反数，所以， 令，， 则， 当时，单调递增，且， 根据零点存在定理可知：存在，使得， 故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，故函数在区间上的值域为， 令，， 则， 当时，单调递减，且， 故时，恒成立，所以函数在区间单调递减， 故的值域为， 因为当时，， 所以是的子集， 故对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数. 15．【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据对数、分式性质求函数定义域； （2）对函数求导，根据题设有在上恒成立，构造函数研究最值，列不等式求参数范围. （3）应用导数分别求在、上的最值，进而得到、，即可证结论. 【详解】（1）由题设，则，故定义域为. （2）由，则必有，且， 由在区间上单调递减，则在上恒成立， 令且，则， 在上，则单调递增，故， 所以. （3）当，则，且， 设，则， 当，则，当，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当， 0 0 单调递减 极小值 单调递增 ； 当，，，故使， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 由，又，则， 综上，得证. 16．【答案】(1) (2)时，无极值；时，的极大值为，无极小值； (3) 【分析】（1）求出，由点斜式求切线方程； （2）求出导数，分和进行讨论，根据导数的符号确定函数的单调区间，从而可得极值； （3）由于，，利用导数证得，，故由零点存在定理有零点，由三角形性质可比较. 【详解】（1）当时，，则， 又， 所以在点处的切线方程为； （2）由，得， 当时，对任意，， 所以在单调递减，无极值； 当时，令，得；令，得． 在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，极大值为，无极小值， 综上所述，时，无极值； 时，在处取得极大值，极大值为，无极小值； （3）由，函数有两个不同的零点，和一个极值点， 由（2）知在单调递增，在单调递减， 故为的极大值点， 极大值，令． 则，故在单调递增， 故， 又注意到，故不妨设， 此外， 则，记， 则， 所以在上单调递减，所以， 即，故在单调递减， 故． 由零点存在性定理，知有零点， 则． 设，则为的高且，故. 17．【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由函数求导，根据导数的几何意义建立方程，可得答案； （2）先由图象分析零点的存在性，再分段研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案； （3）由函数求导并构造函数，利用导数要求新函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1），定义域为． ．由题可得，，解得． （2）由（1）可得，． 当时，，，故，在时无零点； 当时，，，故，在时无零点． 当时，，所以在上单调递增． 而，． 故由零点存在性定理知，在上存在唯一零点． 当时，，，故，在时无零点； 综上：在上的零点个数为1． （3）．令，． 令，则． 当时，，，，所以．所以在上单调递增． ，，所以由零点存在性定理，存在唯一，使得． 当变化时，，的变化如下表： 0 极小值 又，，． 所以由零点存在性定理，分别在，上各恰有一个零点，即在上存在两个零点． 不妨设．则当时，；当时，． 而，． 所以．故． 18．【答案】(1)0； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出函数的最大值，进而求出的值. （2）由（1）的信息求出切线的方程，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理证得还有小于的零点即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而函数的最大值为，则，解得， 所以的值为0. （2）由（1）知，，，则， 于是切线的方程为，即， 令，，求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 由，得，而，函数在上的图象不间断， 则存在，使得，且当或时，，当时，， 函数在和上单调递增，在上单调递减，又， 当时，，于是函数在上无零点， ，而，函数在上的图象不间断， 因此存在，使得， 所以当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $