专题03三角形（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版五四制

专题03 三角形 题型1 三角形的概念 题型9 与角平分线有关的三角形内角和问题（重点） 题型2 三角形三边关系（重点） 题型10 三角形折叠中的角度问题 （难点） 题型3 与三角形重要线段（重点） 题型11 三角形的外角的定义及性质 题型4根据三角形中线求长度（难点） 题型12 A字模型（难点） 题型5 根据三角形中线求面积（难点） 题型13 飞镖模型（或燕尾模型）（难点） 题型6 与三角形的高有关的计算问题（难点） 题型14 8字模型（难点） 题型7 三角形的内角（重点） 题型15 角平分线模型（难点） 题型8 与平行线有关的三角形内角和问题（重点） 题型16 高分线模型（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的概念（共6小题） 1．（24-25八年级上·北京·期中）下列图形中，具有稳定性的是（   ） A．三角形 B．多边形 C．平行四边形 D．长方形 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性“如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性”，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性求解即可得． 【详解】解：A、三角形具有稳定性，则此项符合题意； B、多边形不具有稳定性，则此项不符合题意； C、平行四边形不具有稳定性，则此项不符合题意； D、长方形不具有稳定性，则此项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 3．（23-24八年级上·吉林·期中）图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形就是三条首尾顺次相接的线段构成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个， 故选C． 4．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如果一个三角形的三个内角度数之比为，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理，将角度比转化为具体度数，判断最大角的类型即可确定三角形的类别． 【详解】解：设三个内角的度数分别为、、， 根据三角形内角和为，可得： 解得： 因此，三个内角分别为：，， 最大角为，小于， 故三个角均为锐角， 因此，该三角形是锐角三角形， 故选A． 5．（22-23八年级上·湖北宜昌·期中）如图，点、在的边上，则图中共有三角形 个． 【答案】 【知识点】三角形的个数问题 【分析】根据三角形定义直接数出图中三角形即可得到答案． 【详解】解：图中三角形有：共6个， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形定义，数出图中三角形个数时不重不漏是解决问题的关键． 6．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 【答案】除外，图中还有4个三角形；是和的边． 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．据此即可求解． 【详解】解：除外，还有、、、， ∴除外，图中还有4个三角形 其中，是和的边． 题型二 三角形三边关系（共4小题） 7．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）一个三角形的三边长分别为，，，则，，的值不可能是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题解题的关键是掌握三角形的三边关系，三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意； B、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意； C、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意； D、，不满足三角形三边关系，故此项符合题意； 故选D． 8．（24-25八年级上·云南昆明·期中）若三角形两边长分别是3、5，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．3 C．10 D．11 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此进行作答即可． 【详解】解：∵三角形两边长分别是3、5， ∴第三边的长， 即第三边的长， ∴观察4个选项，第三边的长可能是3， 故选：B 9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别，，那么甲、乙两人的距离d的范围是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，把实际问题转化为三角形三边关系分析是解决问题的关键．需要注意可以取等号．根据三角形三边关系即可得出甲、乙两人的距离的范围． 【详解】运动员甲、乙两人与足球的距离分别是，， 甲、乙两人的距离的范围是：， 即． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 【答案】(1)或10 (2)13 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）根据三角形的三边关系求出的取值范围，再由为偶数即可得出结论； （2）根据，的周长为偶数，可得为正整数，且为奇数，再根据，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：∵由三角形的三边关系知，，即：， ∴， 又∵的周长为偶数，而、为奇数， ∴为偶数，且为正整数，故或10； （2）解：∵，的周长为偶数， ∴为正整数，且为奇数， ∵ ∴的最大值为13． 题型三 三角形的重要线段（共6小题） 11．（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了画高线， 过点C作，交的延长线于点H，点C和点H之间的线段即为所求作． 【详解】解：如图所示，过点C作，交的延长线于点H，则即为所求作的高线． 故选：B． 12．（23-24八年级上·山东济宁·期中）下列说法错误的是（    ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条中线一定在三角形的内部 C．三角形的三条高不一定相交 D．三角形的三条角平分线必定交于一点 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义、重心的概念、画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高线，角平分线和中线的定义和概念，熟知三角形高线，角平分线和中线的定义和概念是解题的关键． 【详解】解：A、钝角三角形的高可以在三角形外部，原说法错误，符合题意； B、三角形的三条中线一定在三角形的内部，原说法正确，不符合题意； C、三角形的三条高不一定相交，原说法正确，不符合题意； D、三角形的三条角平分线必定交于一点，原说法正确，不符合题意； 故选A． 13．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，三角形其中一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 14．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，均在格点上，则点是的（   ） A．三条角平分线交点 B．三条中线交点 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 【答案】B 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查了三角形的中线的交点的概念．根据三角形的中线交点的含义进行判断即可． 【详解】解：如图，点、分别是、的中点， 、是的中线， 点是三条中线的交点． 故选：B． 15．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此题的关键． 【详解】A、∵D是的中点，∴，但不一定等于，故本选项结论错误，不符合题意； B、∵是的角平分线，∴，本选项结论正确，符合题意； C、∵是的角平分线，不是高线，∴不等于，故本选项结论错误，不符合题意； D、与的关系不能确定，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 16．（22-23八年级上·北京朝阳·期中）下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图①中，点D、E、F分别是的中点；图②中，分别是的三条高线；图③中，分别是的三条角平分线；图④中，a、b、c分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住O点，能使三角形木板保持平衡的图是 ． 【答案】① 【知识点】重心的概念 【分析】根据三角形重心的概念和性质即可判定． 【详解】解：∵用一根细针顶住O点，能使三角形木板保持平衡 ∴点O是的重心， ∴线段是的三条中线，故①满足题意． 答案为①． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解答本题的关键． 题型四 根据三角形中线求长度（共3小题） 17．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，是的中线，，，若的周长比的周长小4，则的周长为 ． 【答案】22 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的中线，根据三角形中线的特点进行解答即可． 【详解】解：∵为的边上的中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长小4， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：22． 18．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，是的中线，的周长为，求的长． 【答案】2 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形中线的计算，掌握中线的定义是关键． 根据三角形的周长得到，由中点的定义得到，由此即可求解． 【详解】解：∵的周长为，， ∴， 又∵是的中线， ∴点是的中点， ∴， ∴． 19．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 题型五 根据三角形中线求面积（共3小题） 20．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，D，E分别为，的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据D，E分别为，的中点，得， ，于是得到，解答即可． 本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，熟练掌握中线的意义是解题的关键． 【详解】解：∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵的面积为4， ∴． 故选：C． 21．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，是的中线，是的中线，若，则 ． 【答案】12 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，根据是的中线，若，可得的面积，再根据是的中线，即可求解． 【详解】解：∵是的中线，若， ∴， ∵是的中线， ∴， 故答案为：12． 22．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）三角形的一条中线能够将三角形的面积分成相等的两份，如图1，若是的中线，则有的面积等于的面积，若再取和的中点，，连接，，则的面积被分成相等的四份．请用四种不同的方法，将三角形的面积分成相等的四份（如图所示，画出示意图即可，不能与下图的方法相同）． 【答案】见详解 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，根据三角形面积公式同底等高面积相等即可，在三角形中分别找到对应边的中点，再与相对点连接，形成三角形，如此每个三角形均为上一次三角形面积的一半． 【详解】解：如图， 题型六 与三角形的高有关的计算问题（共3小题） 23．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图，下列算式表示的面积求法的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形面积公式，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键． 根据三角形的面积公式逐项判断即可． 【详解】解：由图可知是的高，不是的高， ， 故选：C ． 24．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，、是的两条高，，，，则的长等于 ． 【答案】3.75 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的高的有关计算，根据三角形面积公式得出，即可求解． 【详解】解：、是的两条高， ， ， 故答案为：3.75． 25．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，求的值． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，解题关键是看到垂直条件及一些边长，可利用等面积法求解． 根据题意，利用等面积法，用两种方法表示的面积，进而求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型七 三角形的内角（共4小题） 26．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，利用旋转角度之和及铅笔的朝向证明三角形内角和为． 【详解】解：∵铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后， ∴三次旋转的角度为， ∵笔尖方向由点A到点B变为点B到点A， ∴旋转角度之和为， 即． 故选：C． 27．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，根据直角三角形的两个锐角互余可得答案． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是： ， 故选：C 28．（22-23八年级上·全国·期中）在中， ， ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，以及角的数量关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 29．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）实验探究是数学学习的重要方法．通过剪拼验证“三角形的内角和等于”时，小明给出如图1的拼合方法，发现了证明的思路，并给出了不完整的“已知”和“求证”，请你补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图2， ； 求证： ． 【答案】，证明见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质，关键是由平行线的性质推出．判定，由平行线的性质推出，于是． 【详解】解：已知：如图2，； 求证：． 证明：， ， ， ， ． 故答案为：． 题型八 与平行线有关的三角形内角和问题（共3小题） 30．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，，则的度数为（    ） A．90° B．85° C．60° D．55° 【答案】C 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】先根据平行线的性质求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为是解题的关键． 31．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，点在上，，若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】利用平角的定义可得，再根据平行线的性质知，再由内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 32．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、与平行线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型九 与角平分线有关的三角形内角和问题（共4小题） 33．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，平分平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，解题的关键是根据平分可得，，同理，然后根据，利用三角形内角和可得，从而得到，再根据三角形内角和得到． 【详解】解：在中，． ． 平分，平分． ，． ． 在中，． 故选：B． 34．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，，的平分线相交于点D，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先由三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，的平分线相交于点D， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，中，，，平分，于，请问与相等吗？说说你的理由． 【答案】，理由见详解 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】考查了三角形的内角和，角平分线的定义，属于基础题，熟记定理是解题的关键． 根据三角形的内角和等于求出，然后根据角平分线的定义求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，，然后根据计算即可得解． 【详解】解：，理由如下： ∵， ， ∵平分， ， ∵，， ， ， ∴． 36．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）先由三角形内角和定理求出的度数，进而由角平分线的定义求出的度数，则可利用三角形内角和定理求出的度数； （2）同（1）求解过程即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 题型十 三角形折叠中的角度问题（共3小题） 37．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 【详解】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 38．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点，均落于边上一点处，线段，为折痕．若，则 ． 【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，图形的折叠问题，平角的定义等知识点，根据三角形的内角和定理可得，再由折叠的性质可得,,从而得到,进而即可得解，熟练掌握三角形的内角和定理，图形的折叠的性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：, ， 由折叠的性质得：, , ， 故答案为：． 39．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 题型十一 三角形的外角的定义及性质（共3小题） 40．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在中，是上一点．连接．则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查三角形的外角问题，关键是根据三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角解答．根据三角形的外角性质进行解答即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 即， 故选：D． 41．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，，则 ． 【答案】/30度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查了三角形外角的性质， 要求的大小，利用三角形外角等于不相邻两内角和求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 42．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，已知，，，求和的度数． 【答案】， 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可直接得出答案． 【详解】解：，， ． ， ． 题型十二 A字模型（共3小题） 43.（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，按图中虚线剪去，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ， ， ， 故选D． 44.（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，将一个三角形剪去一个角后，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 45.（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠得到， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为： 题型十三 飞镖模型（或燕尾模型） （共3小题） 46.（24-25八年级上·福建南平·期中）如图是某零件的平面图，其中，则∠A的度数为 【答案】 【详解】解：延长交于E， ， ， ， ， 故答案为： 47.（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长，交于点． ∵是的外角，， ∴． ∵是的外角，， ， ， ， ∵的角平分线交于点， ， ，， ， 故选：B． 48.（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，交于点，的平分线与的外角的平分线交于点，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，， ， ， ， 平分，平分， ，， ，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 延长交于点， ，， ， ，， ，故③正确； ，故④不正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 题型十四 8字模型（共2小题） 49.（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图， ，， 又， ， 设，则， ， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 50.（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】 /度 【详解】解：（1），， 又∵， ； （2），， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； 故答案为：（1），（2） 题型十五 角平分线模型（共6小题） 51.（24-25八年级·山西晋中·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点在内部，且到三边的距离相等， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故选：C． 52.（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，平分平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，． ． 平分，平分． ，． ． 在中，． 故选：B． 53.（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 【答案】 【详解】平分，平分， ， 又， 由， 得 ， ， 同理可求，，， 以此类推，可得，， 当时，，又， ． 故答案为：． 54.（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，分别是的外角平分线， (1)若，求的度数为 ． (2)若时，求的度数？ 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是的外角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵分别是的外角平分线， ∴， ∴， ∴． 55.（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q．延长线段，交于点E． （1）的度数为 ． （2）在中，若等于的3倍，则的度数为 ． 【详解】（1）解：平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ． 56.（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 【详解】解：（1）如图①，连接并延长至点F， 根据外角的性质，可得， 又∵，， ∴； （2）（i）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 故答案为：，； （ii）由（1），可得， ， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图④， ∵是的外角，， ∴， 即， ∵是的外角， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （4）如图⑤，由前面结论易得 ； 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①， ∴ ∴； ②， ∴，   ， ∴； ③ ∴ ∴； ④，不存在 ∴在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 故答案为：或． 题型十六 高分线模型 （共2小题） 57.（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图所示，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点M为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵平分，且， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：①如图，当时，则； ②如图，当时， 则， ∴； 综上，的度数为或． 58.（22-23八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． 【答案】 ； ． 【详解】（）∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． $专题03 三角形 题型1 三角形的概念 题型9 与角平分线有关的三角形内角和问题（重点） 题型2 三角形三边关系（重点） 题型10 三角形折叠中的角度问题 （难点） 题型3 与三角形重要线段（重点） 题型11 三角形的外角的定义及性质 题型4根据三角形中线求长度（难点） 题型12 A字模型（难点） 题型5 根据三角形中线求面积（难点） 题型13 飞镖模型（或燕尾模型）（难点） 题型6 与三角形的高有关的计算问题（难点） 题型14 8字模型（难点） 题型7 三角形的内角（重点） 题型15 角平分线模型（难点） 题型8 与平行线有关的三角形内角和问题（重点） 题型16 高分线模型（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的概念（共6小题） 1．（24-25八年级上·北京·期中）下列图形中，具有稳定性的是（   ） A．三角形 B．多边形 C．平行四边形 D．长方形 2．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·吉林·期中）图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如果一个三角形的三个内角度数之比为，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5．（22-23八年级上·湖北宜昌·期中）如图，点、在的边上，则图中共有三角形 个． 6．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 题型二 三角形三边关系（共4小题） 7．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）一个三角形的三边长分别为，，，则，，的值不可能是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．（24-25八年级上·云南昆明·期中）若三角形两边长分别是3、5，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．3 C．10 D．11 9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别，，那么甲、乙两人的距离d的范围是 ． 10．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 题型三 三角形的重要线段（共6小题） 11．（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·山东济宁·期中）下列说法错误的是（    ） A．三角形的高一定在三角形的内部 B．三角形的三条中线一定在三角形的内部 C．三角形的三条高不一定相交 D．三角形的三条角平分线必定交于一点 13．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，均在格点上，则点是的（   ） A．三条角平分线交点 B．三条中线交点 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 15．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（22-23八年级上·北京朝阳·期中）下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图①中，点D、E、F分别是的中点；图②中，分别是的三条高线；图③中，分别是的三条角平分线；图④中，a、b、c分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住O点，能使三角形木板保持平衡的图是 ． 题型四 根据三角形中线求长度（共3小题） 17．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，是的中线，，，若的周长比的周长小4，则的周长为 ． 18．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，是的中线，的周长为，求的长． 19．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 题型五 根据三角形中线求面积（共3小题） 20．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，D，E分别为，的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 21．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，是的中线，是的中线，若，则 ． 22．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）三角形的一条中线能够将三角形的面积分成相等的两份，如图1，若是的中线，则有的面积等于的面积，若再取和的中点，，连接，，则的面积被分成相等的四份．请用四种不同的方法，将三角形的面积分成相等的四份（如图所示，画出示意图即可，不能与下图的方法相同）． 题型六 与三角形的高有关的计算问题（共3小题） 23．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图，下列算式表示的面积求法的是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，、是的两条高，，，，则的长等于 ． 25．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，求的值． 题型七 三角形的内角（共4小题） 26．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 27．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 28．（22-23八年级上·全国·期中）在中， ， ． 29．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）实验探究是数学学习的重要方法．通过剪拼验证“三角形的内角和等于”时，小明给出如图1的拼合方法，发现了证明的思路，并给出了不完整的“已知”和“求证”，请你补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图2， ； 求证： ． 题型八 与平行线有关的三角形内角和问题（共3小题） 30．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，，则的度数为（    ） A．90° B．85° C．60° D．55° 31．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，点在上，，若，则的度数为 ． 32．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 题型九 与角平分线有关的三角形内角和问题（共4小题） 33．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，平分平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，，的平分线相交于点D，则的度数为 ． 35．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，中，，，平分，于，请问与相等吗？说说你的理由． 36．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的数量关系，并证明． 题型十 三角形折叠中的角度问题（共3小题） 37．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点，均落于边上一点处，线段，为折痕．若，则 ． 39．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 题型十一 三角形的外角的定义及性质（共3小题） 40．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在中，是上一点．连接．则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，，则 ． 42．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，已知，，，求和的度数． 题型十二 A字模型（共3小题） 43.（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，按图中虚线剪去，则（   ） A． B． C． D． 44.（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，将一个三角形剪去一个角后，，则的度数为 ． 45.（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 题型十三 飞镖模型（或燕尾模型） （共3小题） 46.（24-25八年级上·福建南平·期中）如图是某零件的平面图，其中，则∠A的度数为 47.（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 48.（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，交于点，的平分线与的外角的平分线交于点，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 题型十四 8字模型（共2小题） 49.（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 50.（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 题型十五 角平分线模型（共6小题） 51.（24-25八年级·山西晋中·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 52.（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，平分平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 53.（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 54.（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，分别是的外角平分线， (1)若，求的度数为 ． (2)若时，求的度数？ 55.（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q．延长线段，交于点E． （1）的度数为 ． （2）在中，若等于的3倍，则的度数为 ． 56.（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 题型十六 高分线模型 （共2小题） 57.（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图所示，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点M为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数． 58.（22-23八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． $