专题03三角形（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材人教版五四制

专题03 三角形（6知识&7题型&3易错&7方法清单） 【清单01】三角形 1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 2.按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 3.三角形具有稳定性． 4.三角形的重心是三角形三边中线的交点． 【清单02】三角形三边关系 1.三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． 2.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3.三角形的两边差小于第三边． 4.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【清单03】三角形的角平分线、中线和高 1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 3.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【清单04】三角形内角和定理 1. 三角形的内角和定理 文字语言 几何语言 图形 三角形的内角和等于180° 在△ ABC 中， ∠ A＋∠ B＋ ∠ C=180° 2. 三角形内角和定理的操作探究 如图，把△ ABC 的三个内角拼在一起，组成一个平角，即△ ABC 三个内角的和等于180 °. 3. 三角形内角和定理的证明思路 证明思路 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 【清单05】三角形的外角 1. 三角形的外角：如图 ①，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 特别提醒：如图 ②，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角. 2. 外角性质(三角形内角和定理的推论) 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言：如图 ①，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B. 3. 三角形的外角和定理 在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫作三角形的外角和. 三角形的外角和为360 ° 如图，∠1＋∠2＋∠3＝360 ° 【清单06】直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ ABC. 注意：“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母,不能单独使用.如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边’ 2.直角三角形的性质与判定 文字语言 几何语言 图形 性质 直角三角形的两个锐角互余 在Rt △ ABC 中， ∵ ∠ C=90°， ∴∠ A＋ ∠ B=90° 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ ABC 中， ∵ ∠ A＋∠ B=90°，∴∠ C=90°， 即△ABC是直角三角形 【题型一】三角形的相关概念 【例1】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）下面图形中，具有稳定性的是（    ） A．三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】A 【详解】解：三角形是最稳定的几何图形，因为当三边长度确定时，其形状和大小唯一确定，无法变形．而四边形（如正方形）、五边形、六边形等边数超过3的多边形，在边长确定的情况下仍可能发生形变，因此不具备稳定性． 故选A． 【变式1-2】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：A 【题型二】三角形的三边关系 【例2-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）一个等腰三角形腰长为6，则这个等腰三角形的周长不可能是（　　） A．13 B．18 C．23 D．26 【答案】D 【详解】解：∵一个等腰三角形腰长为6，设底边长为， ∴， ∴这个等腰三角形的周长的范围为：； ∴这个等腰三角形的周长不可能为， 故选：D 【例2-2】（24-25八年级上·福建莆田·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由三角形的三边关系得： ， 即． 故答案为：． 【例2-3】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知的边长a、b、c满足，且c是最长边，c是偶数，求的周长． 【答案】15或17 【详解】解：∵， ， 即， ∴，， ， 又∵是的三边， ， 又∵c是偶数，且c是最长边， ∴或8， 当时，周长为15， 当时，周长为17． 【变式2-1】（24-25八年级上·广西钦州·期中）一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个奇数，则第三边的长是（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：∵三角形的两边长分别为3和8， 设第三边长c为奇数 ∴，即， ∴． 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级上·重庆长寿·期中）已知的边，边的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解；如果的周长是奇数，则的第三条边的长度的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：由， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组最大的整数解为8，最小整数解为6． ∵的周长是奇数，是偶数， 且， 则的第三条边的长度的最小值3， 故答案为：3． 【变式2-3】（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 【详解】（1）的三边长为，，， ，， ， 即，且，，均为整数， 故的取值范围为：、、、、； 故答案为：、、、、 （2）解：为偶数，， 故可取，； 当时，的周长为； 当时，的周长为 【变式2-4】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 【详解】（1）解：由题意可得， 即 则的取值范围为； （2）由（1）得 为偶数 为6，8，10 要组成三角形的周长最小， 只能为6， 三角形的周长最小为， 则三角形的周长最小为17 【题型三】三角形的重要线段 【例3】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵， ∴，D说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式3-1】（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．不能作出的高线，故该选项不符合题意； ．不能作出的高，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：是的高的是． 故选：D． 【变式3-3】（23-24八年级上·四川绵阳·期中）如图，，，是的三条中线，以下结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，是的三条中线， ∴，， A、则，故该选项不一定正确； B、则，故该选项是正确． C、则，故该选项不一定正确； D、则与不一定相等，故该选项不一定正确； 故选：B． 【题型四】三角形的内角与外角 【例4-1】（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，与是一副叠放在一起的三角板，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：． 【例4-2】（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【答案】 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-1】（23-24八年级上·河南安阳·期中）在中，点在的边上，连接，，，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：分两种情况： （1）如图1，于点， 则， 在中，， ∴； （2）如图2，于点， 由（1）知， ∴， 综上，或． 故选：C． 【变式4-2】（22-23八年级上·全国·期中）如图，在中是的平分线，是边上的高，，．求的度数． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线，是边上的高， ∴，， ∴， ∴． 【题型五】三角形的中线与周长 【例5】（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差是． 故选：C． 【变式5-1】（24-25八年级上·全国·期中）在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【答案】A 【详解】解：设腰长，底边长， 是中线， ， 中线将该三角形的周长分为5和3两个部分， 或， 或， 解得：或， 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，可以组成三角形； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不可以组成三角形； 该等腰三角形的底边长为， 故选：A． 【变式5-2】（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成70和50两部分，求和的长．    【答案】， 【详解】解：设，则， 边上的中线把的周长分成70和50两部分，， ①当，时， ， 解得：， ， ， ， ，满足条件 ，满足三边关系， ，； ②当，时， ， 解得：， ， ， ， ， 不满足三角形的三边关系， 不合题意，舍去， ，． 【题型六】三角形的中线与面积 【例6-1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，D，E分别为，的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【详解】解：∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵的面积为4， ∴． 故选：C． 【例6-2】（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵E是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 故选：B． 【例6-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【答案】 4 / 【详解】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得， ， ∵， ∴， 故答案为：4． （2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到， 又的面积为m，的面积为n，得到即， 如图，连接，根据， 得到， 又是边上的中线，， 故， 解得， 故． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，是的中线，是的中线，若，则 ． 【答案】12 【详解】解：∵是的中线，若， ∴， ∵是的中线， ∴， 故答案为：12． 【变式6-2】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，在中，为上一点，分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵分别是的中点， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为： 【变式6-3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【详解】（1）解：由图可知，是的一个外角， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴． 【题型七】等积法的应用 【例7】（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式7-1】（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，，分别是边，上的高，且，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：． 【变式7-2】（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知和是的两条高线，，交于点O．    (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵和是的两条高线， ∴， ∴， ∴． （2）解：由三角形的面积公式， 得， 即， ∴． 【题型一】忽略三角形三边关系而致错 【例1】若等腰三角形两边长分别为4，9，则其周长为____. 【解析】①若4是腰长，则底边长是9，但是 ，故不能构成三角形，舍去. ②若4是底边长，则腰长是9， ，符合三角形三边关系，成立. 故等腰三角形的周长为 . 易错警示 对于等腰三角形不能确定哪条边是腰或底边时，要分情况讨论，还要注意判断分情况后的三条线段能否构成三角形. 【变式1-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个三角形的第三边长是（   ） A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不对 【答案】B 【详解】当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，8， ∵，∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为8时，则该等腰三角形的三边长为3，8，8， ∵，∴此时能构成三角形，符合题意， 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级上·河南安阳·期中）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【答案】17 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为：17． 故答案为17． 【题型二】忽略用分类讨论思想确定三角形最大内角导致漏解 【例2】［2025河南商丘期末］在直角三角形中，，则 的值是 【解析】设 ， .当 时， ，解得 ， ， ，， ；当 时， ，即 ，解得 ， ， ，，，故 的值是2或4. 易错警示 没有确定三角形最大内角的情况下，应分类讨论作答，注意不要漏解. 【变式2-1】在直角三角形中，，则m的值是 ． 【答案】2或6 【详解】解：∵是直角三角形， ∴分两种情况： ①是直角时，则， ∵， ∴此时， ∴， ∴， 此时； ②是直角时，则， ∵ ∴此时； 故答案为：2或6． 【变式2-2】（23-24八年级上·河南安阳·期中）在中，点在的边上，连接，，，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：分两种情况： （1）如图1，于点， 则， 在中，， ∴； （2）如图2，于点， 由（1）知， ∴， 综上，或． 故选：C． 【变式2-3】在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况： 如图①，当时，． ， ． 如图②，当时， ， ， ． 综上所述，的度数为或． 【题型三】忽视点的位置导致漏解 【例3】在中， ， ，平分交于点，点 为边上一点，，垂足为，则 的度数为___________. 【解析】如图.平分， . 当点在线段 上时， ，， ； 当点在线段上时，如点 ， ， 故答案为 或 . 易错警示 点P的位置需分两种情形：点P在线段CD上或在线段AD 上,不要漏解. 【变式3-1】已知的面积为24，是 边上的高（点不与点重合），若，，则 的长为( ) A.1 B.1或11 C.7 D.7或17 【解析】当在 内部时，如图（1）.的面积为24，是边上的高，， ， ， . 当在 外部时，如图（2）.的面积为24，是边上的高，， ， ，， .综上所述， 的长为7或17，故选D. 【变式3-2】在中，为边上的高，，，则是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：如图，当为锐角三角形时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴； 如图，当为钝角三角形时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数是或． 故选：C． 【变式3-3】（23-24八年级上·安徽六安·期中）在中，，垂足为，平分．已知，；求的度数． 【详解】解：当在左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当在右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【题型一】A字模型 【模型解读】 【结论1】如图（1）∠DBC+∠ECB=180°+∠A . 证明：∵∠DBC=∠A+∠ACB ,∠ECB=∠A+∠ABC , ∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+180°. 【结论2】如图（2），∠ABC+∠ACB=∠D+∠E . 证明：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A+∠D+∠E=180° , ∴∠ABC+∠ACB=∠D+∠E . 【例1】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，按图中虚线剪去，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ， ， ， 故选D． 【变式1-1】（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，中，若沿图中虚线剪去后，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，将一个三角形剪去一个角后，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠得到， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为： 【题型二】飞镖模型（或燕尾模型） 【模型解读】 结论：如图，∠BCD=∠A+∠B+∠D . 证明：延长BC交AD于点F .∵∠1=∠A+∠B ,∠BCD=∠1+∠D ,∴∠BCD=∠A+∠B+∠D . 【例2】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图是某零件的平面图，其中，则∠A的度数为 【答案】 【详解】解：延长交于E， ， ， ， ， 故答案为： 【变式2-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长，交于点． ∵是的外角，， ∴． ∵是的外角，， ， ， ， ∵的角平分线交于点， ， ，， ， 故选：B． 【变式2-2】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，交于点，的平分线与的外角的平分线交于点，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，， ， ， ， 平分，平分， ，， ，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 延长交于点， ，， ， ，， ，故③正确； ，故④不正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 【题型三】8字模型 【模型解读】 结论：如图，∠A+∠B=∠C+∠D . 证明：∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B . ∵∠BEC是△CDE 的外角,∴∠BEC=∠C+∠D ,∴∠A+∠B=∠C+∠D . 【例3】（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，，与相交于点O，，．求的度数． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵， ∴． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图， ，， 又， ， 设，则， ， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】 /度 【详解】解：（1），， 又∵， ； （2），， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； 故答案为：（1），（2） 【题型四】 双内角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是， 的平分线，则 . 【例4】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点在内部，且到三边的距离相等， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【变式4-1】（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，平分平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，． ． 平分，平分． ，． ． 在中，． 故选：B． 【变式4-2】（24-25八年级上·江西赣州·期中）已知：，分别平分，则 ． 【答案】 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 【变式4-3】如图，，，，则 度． 【答案】140 【详解】解：， ， ，， ， ，即， 故答案为：140． 【题型五】内外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【例5】（24-25八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是多少？ 【答案】 【详解】 解：，， ， 平分，平分， ，， 是的一个外角， ， ． 【变式5-1】（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 【答案】 【详解】平分，平分， ， 又， 由， 得 ， ， 同理可求，，， 以此类推，可得，， 当时，，又， ． 故答案为：． 【变式5-2】（22-23八年级上·全国·期中）如图，中最大角是最小角的两倍，的角平分线与的外角平分线相交于E．求的取值范围． 【答案】 【详解】 解：设为． ∵是的两倍， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 【变式5-3】（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 【详解】解：（1）如图①，连接并延长至点F， 根据外角的性质，可得， 又∵，， ∴； （2）（i）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 在中，， ∴， ∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， 故答案为：，； （ii）由（1），可得， ， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图④， ∵是的外角，， ∴， 即， ∵是的外角， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （4）如图⑤，由前面结论易得 ； 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①， ∴ ∴； ②， ∴，   ， ∴； ③ ∴ ∴； ④，不存在 ∴在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 故答案为：或． 【题型六】双外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【例6】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，分别是的外角平分线， (1)若，求的度数为 ． (2)若时，求的度数？ 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是的外角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵分别是的外角平分线， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交分线交于点， ∴， ∴． ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：． 故选：C． 【变式6-2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q．延长线段，交于点E． （1）的度数为 ． （2）在中，若等于的3倍，则的度数为 ． 【详解】（1）解：平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ． 【变式6-3】（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； （2）解：延长交于D，如图所示： ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵的外角，的角平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∴． 【题型七】高分线模型 【模型解读】 条件：是高， 是角平分线.结论： 条件：是高，是角平分线，是 延长线上一点，过作 . 结论： 【例7】（22-23八年级上·重庆潼南·期中）如图，在中，，，垂足为D，平分．已知，，求的度数． 【答案】 【详解】解： 平分 【变式7-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图所示，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点M为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵平分，且， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：①如图，当时，则； ②如图，当时， 则， ∴； 综上，的度数为或． 【变式7-2】（22-23八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． 【答案】 ； ． 【详解】（）∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形（6知识&7题型&3易错&7方法清单） 【清单01】三角形 1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 2.按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 3.三角形具有稳定性． 4.三角形的重心是三角形三边中线的交点． 【清单02】三角形三边关系 1.三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． 2.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3.三角形的两边差小于第三边． 4.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【清单03】三角形的角平分线、中线和高 1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 3.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【清单04】三角形内角和定理 1. 三角形的内角和定理 文字语言 几何语言 图形 三角形的内角和等于180° 在△ ABC 中， ∠ A＋∠ B＋ ∠ C=180° 2. 三角形内角和定理的操作探究 如图，把△ ABC 的三个内角拼在一起，组成一个平角，即△ ABC 三个内角的和等于180 °. 3. 三角形内角和定理的证明思路 证明思路 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角 利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 【清单05】三角形的外角 1. 三角形的外角：如图 ①，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 特别提醒：如图 ②，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角. 2. 外角性质(三角形内角和定理的推论) 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言：如图 ①，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B. 3. 三角形的外角和定理 在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫作三角形的外角和. 三角形的外角和为360 ° 如图，∠1＋∠2＋∠3＝360 ° 【清单06】直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ ABC. 注意：“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母,不能单独使用.如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边’ 2.直角三角形的性质与判定 文字语言 几何语言 图形 性质 直角三角形的两个锐角互余 在Rt △ ABC 中， ∵ ∠ C=90°， ∴∠ A＋ ∠ B=90° 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ ABC 中， ∵ ∠ A＋∠ B=90°，∴∠ C=90°， 即△ABC是直角三角形 【题型一】三角形的相关概念 【例1】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）下面图形中，具有稳定性的是（    ） A．三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【变式1-2】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型二】三角形的三边关系 【例2-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）一个等腰三角形腰长为6，则这个等腰三角形的周长不可能是（　　） A．13 B．18 C．23 D．26 【例2-2】（24-25八年级上·福建莆田·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则的取值范围是 ． 【例2-3】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知的边长a、b、c满足，且c是最长边，c是偶数，求的周长． 【变式2-1】（24-25八年级上·广西钦州·期中）一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个奇数，则第三边的长是（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 【变式2-2】（24-25八年级上·重庆长寿·期中）已知的边，边的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解；如果的周长是奇数，则的第三条边的长度的最小值为 ． 【变式2-3】（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 【变式2-4】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 【题型三】三角形的重要线段 【例3】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24八年级上·四川绵阳·期中）如图，，，是的三条中线，以下结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【题型四】三角形的内角与外角 【例4-1】（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，与是一副叠放在一起的三角板，则 ． 【例4-2】（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【变式4-1】（23-24八年级上·河南安阳·期中）在中，点在的边上，连接，，，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-2】（22-23八年级上·全国·期中）如图，在中是的平分线，是边上的高，，．求的度数． 【题型五】三角形的中线与周长 【例5】（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-1】（24-25八年级上·全国·期中）在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【变式5-2】（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成70和50两部分，求和的长．    【题型六】三角形的中线与面积 【例6-1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，D，E分别为，的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【例6-2】（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ） A． B． C． D． 【例6-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【变式6-1】（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，是的中线，是的中线，若，则 ． 【变式6-2】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，在中，为上一点，分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式6-3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【题型七】等积法的应用 【例7】（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，求的值． 【变式7-1】（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，，分别是边，上的高，且，则的长为 ． 【变式7-2】（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知和是的两条高线，，交于点O．    (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【题型一】忽略三角形三边关系而致错 【例1】若等腰三角形两边长分别为4，9，则其周长为____. 易错警示 对于等腰三角形不能确定哪条边是腰或底边时，要分情况讨论，还要注意判断分情况后的三条线段能否构成三角形. 【变式1-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个三角形的第三边长是（   ） A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不对 【变式1-2】（24-25八年级上·河南安阳·期中）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【题型二】忽略用分类讨论思想确定三角形最大内角导致漏解 【例2】［2025河南商丘期末］在直角三角形中，，则 的值是 易错警示 没有确定三角形最大内角的情况下，应分类讨论作答，注意不要漏解. 【变式2-1】在直角三角形中，，则m的值是 ． 【变式2-2】（23-24八年级上·河南安阳·期中）在中，点在的边上，连接，，，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【变式2-3】在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为 ． 【题型三】忽视点的位置导致漏解 【例3】在中， ， ，平分交于点，点 为边上一点，，垂足为，则 的度数为___________. 易错警示 点P的位置需分两种情形：点P在线段CD上或在线段AD 上,不要漏解. 【变式3-1】已知的面积为24，是 边上的高（点不与点重合），若，，则 的长为( ) A.1 B.1或11 C.7 D.7或17 【变式3-2】在中，为边上的高，，，则是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式3-3】（23-24八年级上·安徽六安·期中）在中，，垂足为，平分．已知，；求的度数． 【题型一】A字模型 【模型解读】 【结论1】如图（1）∠DBC+∠ECB=180°+∠A . 证明：∵∠DBC=∠A+∠ACB ,∠ECB=∠A+∠ABC , ∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+180°. 【结论2】如图（2），∠ABC+∠ACB=∠D+∠E . 证明：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A+∠D+∠E=180° , ∴∠ABC+∠ACB=∠D+∠E . 【例1】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，按图中虚线剪去，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，中，若沿图中虚线剪去后，，则 ． 【变式1-2】（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，将一个三角形剪去一个角后，，则的度数为 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 【题型二】飞镖模型（或燕尾模型） 【模型解读】 结论：如图，∠BCD=∠A+∠B+∠D . 证明：延长BC交AD于点F .∵∠1=∠A+∠B ,∠BCD=∠1+∠D ,∴∠BCD=∠A+∠B+∠D . 【例2】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图是某零件的平面图，其中，则∠A的度数为 【变式2-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，交于点，的平分线与的外角的平分线交于点，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【题型三】8字模型 【模型解读】 结论：如图，∠A+∠B=∠C+∠D . 证明：∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B . ∵∠BEC是△CDE 的外角,∴∠BEC=∠C+∠D ,∴∠A+∠B=∠C+∠D . 【例3】（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，，与相交于点O，，．求的度数． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【题型四】 双内角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是， 的平分线，则 . 【例4】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，平分平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级上·江西赣州·期中）已知：，分别平分，则 ． 【变式4-3】如图，，，，则 度． 【题型五】内外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【例5】（24-25八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是多少？ 【变式5-1】（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 【变式5-2】（22-23八年级上·全国·期中）如图，中最大角是最小角的两倍，的角平分线与的外角平分线相交于E．求的取值范围． 【变式5-3】（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 【题型六】双外角平分线模型 【模型解读】 如图,，分别是，的平分线，则 . 【例6】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，分别是的外角平分线， (1)若，求的度数为 ． (2)若时，求的度数？ 【变式6-1】（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q．延长线段，交于点E． （1）的度数为 ． （2）在中，若等于的3倍，则的度数为 ． 【变式6-3】（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【题型七】高分线模型 【模型解读】 条件：是高， 是角平分线.结论： 条件：是高，是角平分线，是 延长线上一点，过作 . 结论： 【例7】（22-23八年级上·重庆潼南·期中）如图，在中，，，垂足为D，平分．已知，，求的度数． 【变式7-1】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图所示，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点M为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数． 【变式7-2】（22-23八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $