数学二模模拟卷（江苏南通专用·新题型）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][CI[D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分） 11. 12. 13 14. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分) 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) B a A 6 20.(10分) A B D c 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) y M N D C 22.(10分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) B 12m 人a D 16m 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(13分) D A O G Q G 0 H E B E 图(1) 图(2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(13分)学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 3 4 5 6 7 8 10 B A C C D A D B B B 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分） 11. x2-4xy+y2习 12.6 13.240 14.29 15.-3 16.7W5 , 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本题10分) 【答案】解：(3-回-()厂+1-同 =1-4+V3-1(3分) =5-4.(5分) ②)原式=（号-品）小 m2-4 品 (m+2Xm-2 (m-2) (8分) =忌2，(10分) 18.(本题10分) 【答案】解：(1)七年级成绩重新排列为：71,76,79,83,84,86,87,90,90,94， 所以其中位数a=4=85,(3分) 2 八年级成绩的众数b=87,(5分) 故答案为：85,87； (2)A同学得了86分，高于七年级的中位数，由此可判断他是七年级的学生： 故答案为：七；(7分) 第1页，共1页 回学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)200×品+200×品=220()， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人.(10分) 19.(本题10分) 【答案】解：(（)逆命题为：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是 30°；(3分) (②)此命题是真命题，理由如下： 已知：在△ABC中，∠C=90°，AC=号AB' 求证：∠B=30°，(4分) 证明：延长AC至点D,使CD=AC,连接BD, 由条件可知BC是线段AD的垂直平分线， :AB=BD, AC=AB :BD=AB=AD ·△ABD是等边三角形，(8分) ·∠ABD=60°， :BC⊥AD ·∠ABC=克∠ABD=30°.(10分) b C D 20.(本题10分) 【答案】解：(1)小鸟落在草坪上的概率是， 故答案为：哥：（4分) (2)画树状图如图： 第1页，共1页 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 开始 D (6分) 个八个个N 个 A CD A B D A B C 共有12个等可能的结果，刚好选取A和C两个小方格空地种植草坪的结果有2个，(8分) :刚好选取A和C两个小方格空地种植草坪的概率为量=言·（10分) 21.(本题10分) 【答案】()证明：：AC是圆0的直径，∠CBA=90, :△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCA=90°， 由尺规作图可知：∠BAC=∠BCE ·∠BCE+∠BCA=90°， 即∠ECA=90°，(3分) ·AC⊥CE, :AC是圆O的直径， :CE是圆0的切线；(5分) (②)延长AD,BC相交于点K,如图所示： A M D P E :AC是圆O的直径， :∠ADC=∠CBA=∠CDK=90°， :△ABK和△CDK都是直角三角形， 在Rt△ABK中，∠BAD=60°， :∠K=90°-∠BAD=30°， 在Rt△CDK中，∠K=30,CD=2V5 第1页，共1页 学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :CK=2CD=45,(6分) BC=3 ·BK=BC+CK=5+45=55, 在Rt△ABK中，∠K=30°， tanK=最， .AB=BK·tanK=5V3×tan30o=51 在Rt△ABG中，由的限定型AC=Va+BC=5+同可=27G分》 :AC是圆0的直径， :圆0的半径0A=0C=支AC=V (1)可知：∠ECA=90, :△ACE是直角三角形， 在Rt△ACE中，tan∠BAC=聚， 在△RtABC中， tan∠BAC=器' ·聚=器 器-9 EC .(10分) 22. (本题10分) 【答案】解：(1)由函数图象可知， 当-4<x<0或x>3时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1>y2' 所以当y:>y,时，x的取值范围是-4<x<0或x>3;(4分) 2)将x=3代入反比例函数解析式得，y=令” 点B坐标为3，) 第1页，共1页 回学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 同理可得，点A的坐标为-4，一全) 将A,B坐标代入一次函数解析式得， 3+b=等 (-4+b=-年 解得∫k=12,(6分) (b=1 “一次函数的表达式为y1=x+1,反比例函数的表达式为y2=是：(7分) (3):一次函数为y,=x+1, P(0,1) 又：B为3,4) ÷BP=3-0+(4-=35 (8分) :直线y,=x+1与x轴夹角为45°， A当直线AB向左平移2个单位长度时，两平行线的距离h为三X2=V巨 :C到PB的距离为反， :△PBC的面积=专BPh=克×3E×V反=3(10分) 23.(本题12分) 【答案】解：(L)由题意得，AB⊥AC ∠CAB=90°， AC=3m,CF=2.2m, .AF=AC-CF=0.8(m)' (3分) AB =0.8m :AB =AF, ·△ABF是等腰直角三角形， :∠AFB=∠ABF=45°，(4分) 故答案为：45°； 第1页，共1页 回学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (②)过D作DH⊥AB'于H, H B 人a C D E 则四边形ACDH是矩形， DH=AC=3m,AH=CD=1.5m,∠DHB'=90°， AB'/CD, ·∠HB'D=∠B'DE=68°， tan∠HB'D=tan68°=器=品≈2.50 (6分) :B'H=1.2m AB'=AH+HB'=1.5+1.2=2.7m 故答案为：2.7m:(8分) (3)设小路的宽是xm 依题意，得(16-8(12-8)=支×16×12 (10分) 整理，得x2-28x+96=0, ÷(x-4)(x-24)=0, “X1=4,X2=24(不合题意，舍去)： 答：x的值是4m:(12分) 24.(本题13分) 【答案】(1)①证明：：四边形ABCD是正方形， D :AB=DA,∠ABE=90·=∠DAQ G :∠QA0+∠0AD=90°. p :AE⊥DQ, E ∠A0D=90°， 图(2) 第1页，共1页 回学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·∠AD0+∠0AD=90°. ：∠QA0=∠AD0. ·△ABE≌△DAQ(ASA),(3分) ·AB=DQ.(4分) ②解：结论：器=1(5分) 理由：：DQ⊥AE,FG⊥AE :DQ //FG FQ//DG :四边形DQFG是平行四边形， FG=DQ, AE=DQ, ÷FG=AE, 器=1(6分) 故答案为1； (②)解：结论：器=k 理由：如图2中，作GM⊥AB于M: 由折叠的性质可知：AE⊥GF, :∠A0F=∠GMF=∠ABE=90o, ·∠BAE+∠AF0=90°，∠AF0+∠FGM=90°， .∠BAE=∠FGM, ·△ABE∽△GMF,(7分) “服=器 :∠AMG=∠D=∠DAM=90°， :四边形AMGD是矩形， 第1页，共1页 学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 GM=AD ·器=器=器=k:(9分) (3)解：如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M、 FB//GC FE//GP :∠BFG+∠FGC=180°，∠EFG+∠FGP=180°， ·∠CGP=∠BFE, atan∠CGP=tanBFE=是=g器， :设BE=3n,则BF=4n,EF=AF=5n, :器=号G=2W0 AE=3V10,(11分) 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE2 ÷(3n)2+(9n)2=(310)2 ÷n=1或n=-1(舍弃)， ·BE=3,EF=5,AB=9, :脂= ·BC=6, BE=CE=3,AD=PE=BC=6 '∠FEP=∠PME=90°， ·∠FEB+∠PEM=90°，∠PEM+∠EPM=90°， ·∠FEB=∠EPM, ·△FBE△EMP, “器=器=器， “音=赤=成 EM=2跨，PM=S, 第1页，共1页 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 CM=EM-EC=咎-3=号： PC=VCM+PM=5·(13分) 25. (本题13分) 【答案】解：()C:y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a 顶点(1，-4a)围绕点P(m0)旋转180的对称点为2m-1,4a,(2分) C2y=-区-2m+1+4a'函数的对称轴为：x=2m-1 t=2m-1(3分) (2)a=-1时， C1y=-区-)2+4(4分) ①当号≤t<1时， X=时，有最小值y2=空， x=t时，有最大值， =-(（-+4 期-y,=-（t-+4-终=1 整理得：t2-2t+子=0 此时4<0，方程无实数根；(5分) ②1≤t≤是时， x=1时，有最大值y1=4, x=时，有最小值y2=, y1y2=幸≠1舍)：(6分) ③当t>昌时. x=1时，有最大值y1=4, x=街.有级小馆，=-（-+4 第1页，共1页 学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 yy=(（-2=1 解得：t=0或2（舍去0）： 故C2:y=(x-2)2-4=x2-4x 综上，C,的解析式为y=x2-4x.(7分) (3)m=0' C2:y=-ax+12+4a 点AB、D、A'、D'的坐标分别为1,0小(-3,0)(0,3a(0,1小(-3a,0)(8分) ①当a>0时，a越大，则0D越大，则点D'越靠左， ()当点D在点B左侧（含点B)时，线段A'D'与C2的图象有公共点（如图1）： ·-3a≤-3，解得a≥1(9分) (当点D'在点B右侧，且点A'在点D上方（含点D)时，线段A'D'与C2的图象有公共点（如图2） :3a≤1且-3a>-3,解得a≤ 故0<a≤：(10分) ②当a<0时， 当点D'在点A右侧（含点A时，线段A'D'与C2的图象有公共点（如图3）： -3a≥1，解得：a≤-专：(12分) 第1页，共1页 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）。 1.计算(    ) A. B. C. D. 2.某人工智能研究实验室新推出一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数，数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，将沿向右平移，得到点在线段上，若要使成立，则平移的距离是(    ) A. B. C. D. 4.时钟在点分时，时针和分针的夹角度数是(    ) A. B. C. D. 5.已知一次函数，函数值随的增大而减小，且其图象不经过第一象限，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.如图是一个正三棱柱，作出它的三视图，则这个正三棱柱的体积是(    ) A. B. C. D. 7.边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在的小正方形网格中，小正方形的边长均为，，，，均在格点上，与交于点，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，是边上的定点点从点出发，依次沿，两边匀速运动，运动到点时停止设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图所示，其中，分别是两段曲线的最低点点的纵坐标是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分）。 11.因式分解：        ． 12.如图，在等边中，点为的中点，于，若，则        ． 13.同学们去春游，若每辆车坐人，则有人没上车，若每辆车坐人，则可少用一辆车且刚好坐满，这次春游的同学总共      人 14.表示不超过的最大整数，函数称为取整函数，也叫做高斯函数如，，，，记，当取不同值时，将不能取到的正整数按从小到大排列，则第个数为        ． 15.如图，点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，经过原点，轴，若的面积为，则的值为          ． 16.（新题型）如图，已知是的直径，为上的点，且，，弦经过点当时，           ；的最大值为          ． 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.（本题10分）计算： ； ． 18.本小题分 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩单位：分进行统计，整理如表格： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 七年级： 八年级： 根据以上信息，回答下列问题： 填空：______，______； 同学说“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； 学校规定测试成绩不低于分为“优秀”，估计该校这两个年级成绩达到“优秀”的学生总人数． 19.（新题型）（本题10分） 【教材呈现】下面是八年级下册数学教材第页的部分内容： 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 请写出上述定理的逆命题； 判断中逆命题的真假，并说明理由． 20.（本题10分） 如图所示的方格地面上，标有编号、、、的四个小方格地面是空地，另外个小方格地面是草坪，除此之外小方格地面完全相同． 一只自由飞翔的小鸟随意地落在图中所示的个小方格地面中的一个，则小鸟刚好落在草坪上的概率是        ． 现从个小方格空地中任意选取个种植草坪，则刚好选取编号为和的个小方格空地种植草坪的概率是多少？请用画树状图或列表的方法说明． 21.本小题分 如图，四边形是圆的内接四边形，为圆的直径以点为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心、长为半径画弧，与射线交于点；以点为圆心、长为半径画弧，交以点为圆心且长为半径的弧于点，射线与射线交于点． 求证：是圆的切线； 若，求圆的半径及的长． 22.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和，与y轴交于点P． 当时，直接写出的取值范围； 求出一次函数和反比例函数的表达式； 将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 23.（新题型）本小题12分 为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚小强家也在墙上安装了一个伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． 如图，墙上有一扇窗户，某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______ ． 如图，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______ 参考数据：，， 小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路如图，并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为 ，求的值． 24.本小题13分 证明推断：如图，在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，． 求证：； 推断：的值为____； 类比探究：如图，在矩形中，为常数将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点试探究与之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用：在的条件下，连接，当时，若，，求的长． 25.本小题13分 把函数：的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数．的图象的对称轴与轴交点坐标为． 填空：的值为______用含的代数式表示； 若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的解析式； 当时，的图象与轴相交于，两点点在点的右侧，与轴相交于点把线段绕原点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线与的图象有公共点，结合函数图象，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）。 1.计算(    ) A. B. C. D. 2.某人工智能研究实验室新推出一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数，数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，将沿向右平移，得到点在线段上，若要使成立，则平移的距离是(    ) A. B. C. D. （第3题） （第4题） 4.时钟在点分时，时针和分针的夹角度数是(    ) A. B. C. D. 5.已知一次函数，函数值随的增大而减小，且其图象不经过第一象限，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.如图是一个正三棱柱，作出它的三视图，则这个正三棱柱的体积是(    ) A. B. C. D. 7.边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是(    ) A. B. C. D. （第7题） （第8题） 8.如图，在的小正方形网格中，小正方形的边长均为，，，，均在格点上，与交于点，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，是边上的定点点从点出发，依次沿，两边匀速运动，运动到点时停止设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图所示，其中，分别是两段曲线的最低点点的纵坐标是(     ) A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分）。 11.因式分解：        ． 12.如图，在等边中，点为的中点，于，若，则        ． 13.同学们去春游，若每辆车坐人，则有人没上车，若每辆车坐人，则可少用一辆车且刚好坐满，这次春游的同学总共      人 14.表示不超过的最大整数，函数称为取整函数，也叫做高斯函数如，，，，记，当取不同值时，将不能取到的正整数按从小到大排列，则第个数为        ． 15.如图，点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，经过原点，轴，若的面积为，则的值为          ． （第15题） （第16题） 16.（新题型）如图，已知是的直径，为上的点，且，，弦经过点当时，           ；的最大值为          ． 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.（本题10分）计算： ； ． 18.本小题分 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩单位：分进行统计，整理如表格： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 七年级： 八年级： 根据以上信息，回答下列问题： 填空：______，______； 同学说“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； 学校规定测试成绩不低于分为“优秀”，估计该校这两个年级成绩达到“优秀”的学生总人数． 19. （新题型）（本题10分） 【教材呈现】下面是八年级下册数学教材第页的部分内容： 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 请写出上述定理的逆命题； 判断中逆命题的真假，并说明理由． 20.（本题10分） 如图所示的方格地面上，标有编号、、、的四个小方格地面是空地，另外个小方格地面是草坪，除此之外小方格地面完全相同． 一只自由飞翔的小鸟随意地落在图中所示的个小方格地面中的一个，则小鸟刚好落在草坪上的概率是        ． 现从个小方格空地中任意选取个种植草坪，则刚好选取编号为和的个小方格空地种植草坪的概率是多少？请用画树状图或列表的方法说明． 21.本小题分 如图，四边形是圆的内接四边形，为圆的直径以点为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心、长为半径画弧，与射线交于点；以点为圆心、长为半径画弧，交以点为圆心且长为半径的弧于点，射线与射线交于点． 求证：是圆的切线； 若，求圆的半径及的长． 22.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和，与y轴交于点P． 当时，直接写出的取值范围； 求出一次函数和反比例函数的表达式； 将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 23. （新题型）本小题12分 为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚小强家也在墙上安装了一个伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． 如图，墙上有一扇窗户，某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______ ． 如图，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______ 参考数据：，， 小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路如图，并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为 ，求的值． 24. 本小题13分 证明推断：如图，在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，． 求证：； 推断：的值为____； 类比探究：如图，在矩形中，为常数将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点试探究与之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用：在的条件下，连接，当时，若，，求的长． 25. 本小题13分 把函数：的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数．的图象的对称轴与轴交点坐标为． 填空：的值为______用含的代数式表示； 若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的解析式； 当时，的图象与轴相交于，两点点在点的右侧，与轴相交于点把线段绕原点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线与的图象有公共点，结合函数图象，求的取值范围 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）。 1.计算(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：原式． 故选：． 根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法的运算法则是关键． 2.某人工智能研究实验室新推出一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数，数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3.如图，在中，将沿向右平移，得到点在线段上，若要使成立，则平移的距离是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由平移的性质可知，，， ， ， 故选：． 【分析】根据平移的性质可得，，由，得到即可． 本题考查平移的性质，掌握“平移前后对应线段相等”是正确解答的关键． 4.时钟在点分时，时针和分针的夹角度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由钟面角的定义可知，， ， 即在点分时，时针和分针所成角度， 故选：． 【分析】本题考查了钟面角，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．确定时针与分针相距的份数是解题关键． 5.已知一次函数，函数值随的增大而减小，且其图象不经过第一象限，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：一次函数，函数值随的增大而减小，且其图象不经过第一象限， ，， ． 故选：． 【分析】根据已知得出，，求出即可．本题考查了一次函数图象与系数的关系的应用，关键是能根据题意得出不等式，． 6.如图是一个正三棱柱，作出它的三视图，则这个正三棱柱的体积是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图，由题意可得，正三棱柱的底面为等边三角形，过作于点， ， ， ，即等边三角形的高为， 这个正三棱柱的体积是， 故选：． 【分析】由三视图得到正三棱柱的底面为等边三角形，等边三角形的高为，正三棱柱的高为，根据正三棱柱的体积为底面积乘以高，进行计算即可． 本题考查了根据三视图求几何体的体积，勾股定理，等边三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 7.边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：连接，作轴于点， 由条件可知， ， 由旋转性质可知与轴正半轴的夹角为， ， ， ，， ， ， ； 故选：． 【分析】连接，作轴于点，正方形的性质求出的长，旋转结合角的和差关系，求出，根据含度角的直角三角形的性质，求出点坐标，即可得出结果． 本题考查二次函数与几何的综合应用，熟练掌握二次函数性质是关键． 8.如图，在的小正方形网格中，小正方形的边长均为，，，，均在格点上，与交于点，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：连接，如图所示： 正方形网格中，小正方形的边长均为， ，， 由勾股定理得：，， ，是小正方形的对角线， ，， ， 是直角三角形， ， ，， 在和中， ， ≌， ， 在中，． 的值为． 故选：． 【分析】连接，依题意得，，，，由勾股定理得，，证明和全等得，然后在中，根据正切函数的定义即可得出的值． 此题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形网格的特点，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理是解决问题的关键． 9.如图，在中，是边上的定点点从点出发，依次沿，两边匀速运动，运动到点时停止设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图所示，其中，分别是两段曲线的最低点点的纵坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据图，，，，点到的距离，点的纵坐标表示点到的距离如图： 在中利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ，， ， ， ， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， 点的纵坐标是． 故选：． 【分析】由图可知、、的长度及点到的距离，点的纵坐标表示点到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点到的距离即可． 本题考查动点问题的函数图象，根据图得到、、的长度及点到的距离，点的纵坐标表示点到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键． 10.如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的变换旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用配方即可解决问题． 【解答】 解：作轴于点，轴于， 设，则，， ， ， ， 在和中， ≌， ，， ， ， ， 当时，有最小值为， 的最小值为， 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分）。 11.因式分解：       ． 【答案】  【解析】解：由题知， 原式 故答案为： 【分析】根据因式分解的步骤，对所给代数式进行因式分解即可． 本题主要考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 12.如图，在等边中，点为的中点，于，若，则        ． 【答案】  【解析】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是中点， ， ， ， 故答案为：． 【分析】先利用等边三角形的性质可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，可得，再利用线段的中点定义可得，，即可解答． 本题考查了含度角的直角三角形，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 13.同学们去春游，若每辆车坐人，则有人没上车，若每辆车坐人，则可少用一辆车且刚好坐满，这次春游的同学总共      人 【答案】  【解析】解：设有辆车，这次春游的同学总共有人， 由题意得：， 解得：， 即这次春游的同学总共人， 故答案为：． 【分析】设有辆车，这次春游的同学总共有人，根据若每辆车坐人，则有人没上车，若每辆车坐人，则可少用一辆车且刚好坐满，列出二元一次方程组，解方程组即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 14.表示不超过的最大整数，函数称为取整函数，也叫做高斯函数如，，，，记，当取不同值时，将不能取到的正整数按从小到大排列，则第个数为        ． 【答案】  【解析】解：由题知， 设的整数部分为， 则的整数部分为或． 因为， 所以或， 所以不能取到的正整数为， 当时， ， 则第个数为． 故答案为：． 【分析】根据题意，设出和的整数部分，再据此进行求解即可． 本题主要考查了数字变化的规律及解一元一次不等式组，能根据题意得出不能取到的正整数为是解题的关键． 15.如图，点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，经过原点，轴，若的面积为，则的值为          ． 【答案】  【解析】解：设， 轴， ， 经过原点，且，两点在反比例函数的图象上， 点和点关于原点对称， ， ，的面积为， ， ， 故答案为：， 解法二：连接，设于轴交于， 经过原点， ，关于原点对称， ， 的面积为， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ， 即， ， ． 16.如图，已知是的直径，为上的点，且，，弦经过点当时，           ；的最大值为          ． 【答案】      【解析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识点，由题意可知，，连接，，则，当时，由垂径定理可知，，结合勾股定理可得，则此时，；由，，可得，，即可得，由图可知，，当时，有最大值，此时，有最大值，再结合，判断存在使得，即存在当时，有最大值利用线段关系得面积关系是解决问题的关键． 【详解】解：是的直径，且，， ，， 连接，，则， 当时， 由垂径定理可知，， 在中，，则， 则此时，； ，， ，即， 同理：， ， 由图可知，，当时，有最大值， 此时，有最大值， 若，则，点到的距离为，此时， 即存在使得， 即存在当时，有最大值， 故答案为：，． 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.（本题10分）计算： ； ． 【答案】   【解析】解：      原式    ． 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18.本小题分 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩单位：分进行统计，整理如表格： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 七年级： 八年级： 根据以上信息，回答下列问题： 填空：______，______； 同学说“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； 学校规定测试成绩不低于分为“优秀”，估计该校这两个年级成绩达到“优秀”的学生总人数． 【答案】  七  该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为人  【解析】解：七年级成绩重新排列为：，，，，，，，，，， 所以其中位数， 八年级成绩的众数， 故答案为：，； 同学得了分，高于七年级的中位数，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：七； 人， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为人． 【分析】本题考查中位数、众数、以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 19. （本题10分） 【教材呈现】下面是八年级下册数学教材第页的部分内容： 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 请写出上述定理的逆命题； 判断中逆命题的真假，并说明理由． 【答案】逆命题为：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是  此命题是真命题，理由如下：   已知：在中，，   求证：   证明：延长至点，使，连接，   ，，   是线段的垂直平分线，   ，   ，   ，   是等边三角形，   ，   ，        【解析】解：逆命题为：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是；  此命题是真命题，理由如下：  已知：在中，，  求证：  证明：延长至点，使，连接，  由条件可知是线段的垂直平分线，  ，  ，  ，  是等边三角形，  ，  ，    【分析】此题考查了命题，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． 20. 本小题10分 如图所示的方格地面上，标有编号、、、的四个小方格地面是空地，另外个小方格地面是草坪，除此之外小方格地面完全相同． 一只自由飞翔的小鸟随意地落在图中所示的个小方格地面中的一个，则小鸟刚好落在草坪上的概率是        ． 现从个小方格空地中任意选取个种植草坪，则刚好选取编号为和的个小方格空地种植草坪的概率是多少？请用画树状图或列表的方法说明． 【答案】； 画树状图如图： 共有个等可能的结果，刚好选取和两个小方格空地种植草坪的结果有个， 刚好选取和两个小方格空地种植草坪的概率为．  【解析】解：小鸟落在草坪上的概率是， 故答案为：； 画树状图如图： 共有个等可能的结果，刚好选取和两个小方格空地种植草坪的结果有个， 刚好选取和两个小方格空地种植草坪的概率为． 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． 21. 本小题分 如图，四边形是圆的内接四边形，为圆的直径以点为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心、长为半径画弧，与射线交于点；以点为圆心、长为半径画弧，交以点为圆心且长为半径的弧于点，射线与射线交于点． 求证：是圆的切线； 若，求圆的半径及的长． 【答案】是圆的直径，， 是直角三角形， 在中，， 由尺规作图可知：， ， 即， ， 是圆的直径， 是圆的切线 ；  【解析】证明：是圆的直径，， 是直角三角形， 在中，， 由尺规作图可知：， ， 即， ， 是圆的直径， 是圆的切线； 延长，相交于点，如图所示： 是圆的直径， ， 和都是直角三角形， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 是圆的直径， 圆的半径； 由可知：， 是直角三角形， 在中，， 在中，， ， ， ． 【分析】 根据直径所对的圆周角是直角得，进而得，再根据由尺规作图得，进而得，则，然后根据切线的判定即可得出结论； 延长，相交于点，先求出，在中，根据，得，进而得，解得，在中，由勾股定理得，据此可得出圆的半径；在中，，在中，，由此得，进而得，据此可得出的长． 22. 本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和，与y轴交于点P． 当时，直接写出的取值范围； 求出一次函数和反比例函数的表达式； 将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】或  一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为    【解析】解：由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 所以当时，的取值范围是或； 将代入反比例函数解析式得，， 点坐标为， 同理可得，点的坐标为 将，坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； 一次函数为， ． 又为， ． 直线与轴夹角为， 当直线向左平移个单位长度时，两平行线的距离为． 到的距离为， 的面积． 【分析】 利用数形结合的数学思想即可解决问题； 用分别表示出点和点的坐标，再代入一次函数解析式计算即可； 依据题意，先求出，再由直线与轴夹角为，则当直线向左平移个单位长度时，两平行线的距离为，即到的距离为，从而可以计算得解． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 23.本小题12分 为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚小强家也在墙上安装了一个伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． 如图，墙上有一扇窗户，某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______ ． 如图，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______ 参考数据：，， 小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路如图，并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为 ，求的值． 【答案】    的值是  【解析】解：由题意得，，  ，  ，，  ，  ，  ，  是等腰直角三角形，  ，  故答案为：；  过作于，    则四边形是矩形，  ，，，  ，  ，  ，  ，  ，  故答案为：；  设小路的宽是   依题意，得，  整理，得，  ，  ，不合题意，舍去，  答：的值是． 【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 24.本小题13分 证明推断：如图，在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，． 求证：； 推断：的值为____； 类比探究：如图，在矩形中，为常数将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点试探究与之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用：在的条件下，连接，当时，若，，求的长． 【答案】证明：四边形是正方形， ，． ． ， ， ． ． ， ． ； 解：结论：． 理由：如图中，作于． 由折叠的性质可知：， ， ，， ， ∽， ， ， 四边形是矩形， ， ； 解：如图中，作交的延长线于． ，， ，， ， ， 设，则，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 或舍弃， ，，， ， ， ，， ， ，， ， ∽， ， ， ，， ， ．  【解析】 本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 由正方形的性质得，所以，又知，所以，于是，可得． 证明四边形是平行四边形即可解决问题． 结论：如图中，作于证明：∽即可解决问题． 如图中，作交的延长线于利用相似三角形的性质求出，即可解决问题． 【解答】 见答案； 解：结论：． 理由：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 故答案为； 见答案； 见答案． 25.本小题13分 把函数：的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数．的图象的对称轴与轴交点坐标为． 填空：的值为______用含的代数式表示； 若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的解析式； 当时，的图象与轴相交于，两点点在点的右侧，与轴相交于点把线段绕原点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线与的图象有公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】解：； 时， ：， 当时， 时，有最小值， 时，有最大值， 则， 整理得： 此时，方程无实数根； 时， 时，有最大值， 时，有最小值， 舍去； 当时， 时，有最大值， 时，有最小值， ， 解得：或舍去， 故C：； 综上，的解析式为． ， ：， 点、、、、的坐标分别为、、、、， 当时，越大，则越大，则点越靠左， 当点在点左侧含点时，线段与的图象有公共点如图， ，解得 当点在点右侧，且点在点上方含点时，线段与的图象有公共点如图， 且，解得 故； 当时， 当点在点右侧含点时，线段与的图象有公共点如图， ，解得：； 综上，的取值范围为或或．   【解析】【分析】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形的旋转等，其中，要注意分类求解，避免遗漏． ：，顶点围绕点旋转的对称点为，即可求解； 分、、三种情况，分别求解； 分、两种情况，分别求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 9.[A1[B1[CJ[D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分） 12. 13 14. 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分) 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) B C 20.(10分) A B D C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) A M D P B C δ 22.(10分) -4 A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) B y 12m E C D E 16m 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(13分) D 0 G O G F B E E 图(1) 图(2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(13分)