精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高三下学期3月阶段检测数学试题

高三数学 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，集合，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由得，所以， 由，所以， 所以，因此中有2个元素. 2. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， . 故选：B. 4. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 5. 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】解：因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B. 6. 已知函数，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意推出，利用导数判断函数的单调性，由此将化为，利用函数单调性即可求解. 【详解】由题意知函数的定义域为R， 则，则， 又， 故在R上单调递增， 故，即，即， 则，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C 7. 在中，已知,则的形状是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理与余弦定理化角为边得结果. 【详解】因为,所以， 因此或，即的形状是等腰三角形或直角三角形，选D. 【点睛】判断三角形形状的方法 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论． 8. 在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ） A. B. 64 C. D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】线段的垂直平分线交于两点,结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形,可设点坐标,通过几何关系求出点坐标,在代入抛物线方程即可求解. 【详解】因为线段的垂直平分线交于两点， 所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形. 设点且则线段的垂直平分线方程为， 令与轴交于点,又， 则在直角三角形中 继而可得， 所以点坐标为， 代入抛物线，可得，解得， 直角三角形中, 所以四边形的周长为. 故选：A. 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ） A. B. 平面． C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 与平面所成角为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用勾股定理得到，再由平面，得到，结合线面垂直判定定理，证得平面，即可判定A正确；由，得到，结合，即可证得平面，可判定B正确；把异面直线与所成角转化为与所成角，在直角，可判定C不正确；根据线面角的定义，得到为与平面所成角，在直角中可判定D不正确. 【详解】根据题意，设，则， 对于A中，由余弦定理可得， 所以，所以， 因为平面，且平面，可得， 又由且平面，所以平面， 因为平面，所以，所以A正确； 对于B中，由，因为，可得， 又由平面，且平面，可得， 又由且平面，所以平面，所以B正确； 对于C中，由底面为平行四边形，可得， 所以异面直线与所成角，即为与所成角，设， 在直角，可得，所以. 所以C不正确； 对于D中，因为底面，所以为与平面所成角， 可得，所以， 即直线与平面所成角为，所以D不正确. 故选：AB. 10. 在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（ ） A. q＝1 B. 数列{Sn+2}是等比数列 C. S8＝510 D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】 先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，可得到等比数列{an}的通项公式和前n项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0， 故a2＞0，a3＞0． 根据根与系数的关系，可知 a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根． 解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4． 故必有公比q＞0， ∴a10． ∵等比数列{an}是递增数列，∴q＞1． ∴a2＝4，a3＝8满足题意． ∴q＝2，a12．故选项A不正确． an＝a1•qn﹣1＝2n． ∵Sn2n+1﹣2． ∴Sn+2＝2n+1＝4•2n﹣1． ∴数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确． S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确． ∵lgan＝lg2n＝n． ∴数列{lgan}是公差为1的等差数列．故选项D不正确． 故选：BC 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 11. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BC边上的中线，则下列说法正确的有：（ ） A. B. C. D. ∠BAD的最大值为60° 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式,余弦定理及基本不等式对各个选项进行判断即可. 【详解】∵．A正确； ∵， ∴ ，故B正确； 由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立），由A选项知，∴，解得，故C正确；对于D，（当且仅当时，等号成立），∵，∴，又，∴∠BAD的最大值30°，D选项错误． 故选: ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出； 方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出． 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规． 13. 我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数） 【答案】16 【解析】 【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意得， 即， 故， 因为， 所以， 故， 所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放标准. 故答案为：16 14. 3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先对事件进行分类，分成女生0分，男生6分，或女生2分，男生4分，或女生4分，男生2分，女生的概率可以按照超几何概率求解，男生按照独立重复求解概率. 【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A， 则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件；女生得2分男生得4分，设为事件；女生得4分男生得2分，设为事件， 则：， ， ， . 故答案为： 【点睛】本题考查概率的应用问题，重点考查分类讨论，转化与化归的思想，熟练掌握概率类型，属于中档题型.本题的关键是对事件分类. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求的值； （2）若D为AB中点，且，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及可求出，利用诱导公式可求； （2）利用余弦定理和基本不等式求出，即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 在中，对于， 利用正弦定理得： ∵，∴. ∵，且 ∴， ∴. 【小问2详解】 由（1）.在中， ∴ ∴（当且仅当时取等号，此时， ）. ∴ ∴ 16. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行； （3）由（1）已得，可证平面，又因面，由线面平行的性质可推得，继而得到，利用平行线分线段成比例定理即可求得的值. 【小问1详解】 连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. 【小问3详解】 由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，． 17. 2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ： （1）确定 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ； （2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为. ①求的值 ； ②从这家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率. 【答案】（1），中位数. （2）①，②. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为即可计算，设中位数为，则在内，由即可计算； （2）①计算120家专项贷款金额在内的中小微企业的企业数，根据抽样比计算；②根据频率比，计算专项贷款金额在内和在内的企业数，然后根据古典概型计算概率即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为得 ， 解得. 设中位数为，则专项贷款金额在内的评率为， 在内的评率为， 所以在内， 则，解得， 所以估计120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为万元. 【小问2详解】 ①由题意，抽样比为， 专项贷款金额在内的中小微企业共有家， 所以应该抽取家，即. ②专项贷款金额在内和在内的频率之比为， 故在抽取的5家中小微企业中， 专项贷款金额在内的有家，分别记为, 专项贷款金额在内的有家，记为, 从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为 共10种， 其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在内的情况有 共4种， 所以所求概率为. 18. 已知是椭圆上的两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程． 【答案】（1）； （2），且. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上两点代入方程求解的值即可得椭圆方程； （2）设，线段的中点，分别讨论直线的斜率是否存在，当斜率存在时确定直线的方程与直线联立得横坐标与的关系，结合函数得的取值范围，结合圆的定义从而得的轨迹方程. 【小问1详解】 由题意解得，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，线段的中点，则，， ①当时，的中垂线为轴，过点向中垂线作垂线，垂足为点，此时AM重合，不合题意； ②当时，直线的斜率，则， 所以，将代入椭圆方程得， 所以，从而或， 线段的中垂线方程为，即． 故线段的中垂线过定点 故垂足轨迹是在以为圆心，半径为的圆弧，其方程为 过点与垂直的直线为， 联立方程组消去得，因为， 所以，综上， 所以垂足轨迹方程是，且． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若对定义域内的任意x，恒成立，求整数m的最小值. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减 （2）1 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，按分类求出函数的单调区间即可. （2）等价变形不等式并分离参数，再构造函数并利用导数求出最大值范围即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 依题意，恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递减， 而，，则，使得，即， 当时，，；当时，，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， ， 则，所以整数m的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，集合，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 4. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知,则的形状是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ） A. B. 64 C. D. 80 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ） A. B. 平面． C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 与平面所成角为 10. 在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（ ） A. q＝1 B. 数列{Sn+2}是等比数列 C. S8＝510 D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列 11. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BC边上的中线，则下列说法正确的有：（ ） A. B. C. D. ∠BAD的最大值为60° 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 13. 我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数） 14. 3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求的值； （2）若D为AB中点，且，求面积的最大值． 16. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 17. 2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ： （1）确定 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ； （2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为. ①求的值 ； ②从这家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率. 18. 已知是椭圆上的两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若对定义域内的任意x，恒成立，求整数m的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $