8.1.3 第1课时 向量的坐标与向量的数量积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的坐标运算，涵盖坐标表示、模及夹角公式等核心知识点。通过“隐形的翅膀”情境引入，联系几何与代数双重身份，从具体向量坐标问题出发推导公式，衔接向量数量积几何意义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以逻辑推理和数学运算素养为核心，通过问题链引导探究，分题型配例题与变式训练，结合预习自测和分层练习。帮助学生深化概念理解，提升运算能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

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(2)当a，b同向时， a·b＝|a||b|＝ eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))· eq \r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))； 当a，b反向时， a·b＝－|a||b|＝－eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))· eq \r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))； 当a，b垂直时， a·b＝|a||b|cos 90°＝x1x2＋y1y2＝0. (3)|a·b|≤|a||b|， 即|a·b|＝|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq \r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)). [知识点二]　向量模的计算公式　 1．若a＝(x，y)，则|a|＝　eq \r(x2＋y2)　. 2．如果向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么|a|＝　eq \r(x2－x12＋y2－y12)　. 3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝　eq \r(x1－x22＋y1－y22)　. 1.已知a＝(1,1)，b＝(2,3)，如何求|a＋b|? 提示：方法一：a＋b＝(1,1)＋(2,3)＝(3,4)， ∴|a＋b|＝eq \r(32＋42)＝5. 方法二：|a|2＝12＋12＝2，|b|2＝22＋32＝13， a·b＝1×2＋1×3＝5. ∴|a＋b|＝eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝eq \r(2＋2×5＋13)＝5. [知识点三]　向量的夹角公式　 cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝　eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))　. 2.a·b<0，能说明向量a·b的夹角θ是钝角吗？ 提示：不能．因为a·b<0还包括a、b反向，即a、b夹角是180°. [预习自测] 1．已知a＝(0,1)，b＝(2，－1)，则a·b等于(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 答案：B 2．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A.eq \f(63,65) B.eq \f(33,65) C．－eq \f(33,65) D．－eq \f(63,65) 答案：A 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,4)，若|b|＝2|a|，则x的值为(　　) A．4 B．2 C．±4 D．±2 解析：D　[|b|＝eq \r(x2＋16)，|a|＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5)， ∴eq \r(x2＋16)＝2eq \r(5)，解得x＝±2.] 向量数量积的坐标表示 [例1]　已知向量a＝(1,2)，b＝(3,4)，求a·b，(a－b)·(2a＋3b)． [思路点拨]　利用数量积的坐标表示可直接求a·b；(a－b)·(2a＋3b)可以先展开再求值，也可先分别求a－b及2a＋3b的坐标，再求值． [解]　(方法一)∵a＝(1,2)，b＝(3,4)， ∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2×(12＋22)＋11－3×(32＋42)＝－54. (方法二)∵a＝(1,2)，b＝(3,4)，∴a·b＝11. ∵a－b＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)， 2a＋3b＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)， ∴(a－b)·(2a＋3b)＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54. (1)涉及向量数量积的坐标表示一般利用公式a·b ＝x1x2＋y1y2求解，其关键是求出a，b的坐标．(2)若题中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之差求出向量的坐标，再由向量坐标求得数量积． [变式训练] 1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝20. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2,1)，求(b·c)·a. 解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴可设a＝λb＝λ(1,2)＝(λ，2λ)，且λ>0. 又由a·b＝20，可得1×λ＋2×2λ＝20， 解得λ＝4>0.∴a＝(4,8)． (2)∵b·c＝(1,2)·(2,1)＝1×2＋2×1＝4， ∴(b·c)·a＝4(4,8)＝(16,32)． 平面向量的模 [例2]　已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)． (1)求a－2b及其模的大小； (2)若c＝a－(a·b)b，求|c|. [思路点拨]　利用求模公式求解． [解]　(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)， ∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， ∴|a－2b|＝eq \r(72＋32)＝eq \r(58). (2)∵a·b＝－6＋5＝－1， ∴c＝a＋b＝(1,6)， ∴|c|＝eq \r(12＋62)＝eq \r(37). 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [变式训练] 2．(1)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq \r(2)，则|b|＝(　　) A.eq \r(5)　 B.eq \r(10)　　C．5　　D．25 (2)已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|＝　________　. 解析：(1)∵a＝(2,1)，∴a2＝5， 又|a＋b|＝5eq \r(2)，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. (2)由a＋b＝(1,3)，得a＝(2,1)，∴a－2b＝(4，－3)， ∴|a－2b|＝eq \r(42＋－32)＝5. 答案：(1)C　(2)5 两向量的夹角 [例3]　已知eq \o(OP,\s\up16(→))＝(2,1)，eq \o(OA,\s\up16(→))＝(1,7)，eq \o(OB,\s\up16(→))＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)． (1)求使eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(CB,\s\up16(→))取得最小值时的eq \o(OC,\s\up16(→))； (2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB. [思路点拨]　利用夹角公式直接求解． [解]　(1)∵点C是直线OP上的一点， ∴向量eq \o(OC,\s\up16(→))与eq \o(OP,\s\up16(→))共线， 设eq \o(OC,\s\up16(→))＝t eq \o(OP,\s\up16(→))(t∈R)，则eq \o(OC,\s\up16(→))＝t(2,1)＝(2t，t)， ∴eq \o(CA,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))＝(1－2t,7－t)， eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))＝(5－2t,1－t)， ∴eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(CB,\s\up16(→))＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8. ∴当t＝2时，eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(CB,\s\up16(→))取得最小值，此时eq \o(OC,\s\up16(→))＝(4,2)． (2)由(1)知eq \o(OC,\s\up16(→))＝(4,2)， ∴eq \o(CA,\s\up16(→))＝(－3,5)，eq \o(CB,\s\up16(→))＝(1，－1)， ∴|eq \o(CA,\s\up16(→))|＝eq \r(34)，|eq \o(CB,\s\up16(→))|＝eq \r(2)，eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(CB,\s\up16(→))＝－3－5＝－8. ∴cos∠ACB＝eq \f(\o(CA,\s\up16(→))·\o(CB,\s\up16(→)),\a\vs4\al(|\o(CA,\s\up16(→))||\o(CB,\s\up16(→))|))＝－eq \f(4\r(17),17). 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角． [变式训练] 3．已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)． (1)试计算a·b及|a＋b|的值； (2)求向量a与b夹角的余弦值． 解：(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1) b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)， ∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1， |a＋b|＝eq \r(4＋12＋3－12)＝eq \r(25＋4)＝eq \r(29). (2)设〈a，b〉＝θ，由a·b＝|a||b|cos θ， ∴cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,\r(2)×5)＝eq \f(\r(2),10). 1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x＝(　　) A．3　 B．－3　　C.eq \f(5,3)　　D．－eq \f(5,3) 解析：A　[a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.] 2．已知a＝(－eq \r(3)，－1)，b＝(1，eq \r(3))，那么a，b的夹角θ＝(　　) A.eq \f(π,6)　 B.eq \f(π,3)　　C.eq \f(2π,3)　　D.eq \f(5π,6) 解析：D　[cos θ＝eq \f(－\r(3)－\r(3),2×2)＝－eq \f(\r(3),2)，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(5π,6).] 3．已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，则实数m＝(　　) A．2eq \r(3)　 B.eq \r(3)　　C．0　　D．－eq \r(3) 解析：B　[∵a·b＝(1，eq \r(3))·(3，m)＝3＋eq \r(3)m， |a|＝2，|b|＝eq \r(9＋m2). ∴cos eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3＋\r(3)m,2×\r(9＋m2))，解得m＝eq \r(3).] 4．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝　________　. 解析：法一　a＋b＝(m＋1,3)， 又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2. ∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5， 解得m＝－2. 法二　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2， 得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2. 答案：－2 5．已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，则与向量eq \o(AB,\s\up16(→))同方向的单位向量是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))　　　 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5))) 解析：C　[与向量eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))同方向的单位向量是eq \f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2)),\r(\f(9,4)＋4))＝eq \f(2,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))).] $