8.1.1 向量数量积的概念（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量的数量积，涵盖向量夹角、数量积定义、性质及投影等核心知识点，以初中物理功的概念导入，通过“思考—知识梳理—即时练”搭建学习支架，衔接新旧知识，引导学生逐步理解概念内涵。 其亮点在于以问题驱动探究，如“功是否只与力和位移有关”培养数学眼光，例题解析结合正三角形、等腰梯形等实例，通过逻辑推理发展数学思维，用几何图形辅助表达数量关系，体现数学语言的严谨性。学生能提升抽象能力与应用意识，教师可借助系统练习和课堂小结高效开展教学。

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 1 8．1　向量的数量积 8．1.1　向量数量积的概念 2 新课导入 学习目标   在初中物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角．受此启发，我们引入向量“数量积”的概念． 1.理解平面向量夹角的概念，会求两向量的夹角． 2．理解平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积． 3．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 一　两个向量的夹角 思考　功只与所受力的大小与移动的位移有关，对吗？ 提示：不对，还与力与位移夹角的大小有关． 返回导航 非零 ∠AOB 垂直 点拨　只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． 返回导航 × √ × 返回导航 √ 返回导航 30° 60° 返回导航 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ. 返回导航 二　向量数量积的定义 思考　两个非零向量的数量积的结果是什么？ 提示：两个非零向量的数量积a·b是一个实数．既可以是正数，也可以是0，还可以是负数． 返回导航 [知识梳理] 一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|·cos 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉. 点拨　(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”． (2)当a与b至少有一个是零向量时，a·b＝0. 返回导航 [例1] (1)(对接教材例1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求a·b； 【解】由已知得a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝4×2×cos 120°＝－4. 返回导航 返回导航 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角θ，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 [例2] (1)(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题为真命题的是(　　) A．|a·b|＝|a||b|⇔a∥b B．a，b反向⇔a·b＝－|a||b| C．a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b| D．|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c| √ √ √ 返回导航 【解析】A中，设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ，所以由|a·b|＝|a||b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，所以θ＝0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故A是真命题； B中，若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故B是真命题； C中，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，故C是真命题； D中，当|a|＝|b|时，如果a与c的夹角和b与c的夹角不相等，则|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故D是假命题． 返回导航 (2)已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－12，则〈a，b〉＝________． π 返回导航 返回导航 √ 返回导航 四　向量的投影与向量数量积的几何意义 思考　如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，试用|OA|和θ表示|OD|. 提示：|OD|＝|OA|cos θ. 返回导航 [知识梳理] 1．投影向量 投影向量 投影 |a|cos〈a，b〉 一般地，如果a，b都是非零向量，则称_____________为向量a在向量b上的投影的数量． 返回导航 [例3] (1)已知|a|＝8，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则向量a在b上的投影为(　　) A．2 B．－2 C．2b D．－2b √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 √ 返回导航 (2)已知平面向量|a|＝3，|b|＝2，且a·b＝2，则b在a上的投影为________． 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 32 √ 解析：a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； √ 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 2 －2 返回导航 1．已学习：向量的夹角、向量的数量积定义、投影． 2．须贯通：向量的数量积是一个实数，不是向量；向量a在向量b上的投影是一个向量，不是数；二者都离不开向量的夹角，而解决向量的夹角时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法． 3．应注意：(1)用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点； (2)向量a在向量b上的投影与向量b在向量a上的投影不同． 返回导航 $