8.1.1 第1课时 两个向量的夹角、向量数量积的定义-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量的数量积，涵盖夹角概念、定义、性质及运算律，通过物理“功”的实例导入，搭建从力与位移的实际问题到向量数量积的认知桥梁，帮助学生建立前后知识联系。 其亮点在于以情境引入和问题链驱动数学抽象，通过概念辨析、运算训练及几何应用题型，培养学生逻辑推理与数学运算素养。例题与变式结合的设计，助力学生深化理解，教师可直接用于教学提升效率。

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[情境引入] 水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？ 问题　力对物体做功，由哪些量来确定？ 提示　由力和位移两个向量来确定，功可以看作力F和位移s这两个向量的某种运算结果． [知识梳理] [知识点一]　向量的夹角　 1．已知两个非零向量a和b，如图，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则θ＝　∠AOB　(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角． 2．当θ＝0°时．a与b　同向　；当θ＝180°时，a与b　反向　；当θ＝90°.a与b垂直，记作　a⊥b　. 3．由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定　零向量　可与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a. [知识点二]　两个向量数量积的定义　 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即　a·b＝|a||b|cos θ　. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 1.向量的线性运算的结果是一个向量，向量的数量积运算呢？ 提示：实数． [知识点三]　向量数量积的性质　 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则 (1)|a·b|≤　|a|·|b|　； (2)a·a＝　|a|2　，即|a|＝　eq \r(a·a)　. 一般地，a·a可以简写为a2，因此上述性质(2)也可改写为a2＝|a|2. 为了方便起见，当a与b至少有一个零向量时，称它们的数量积(即内积)为0，即a·b＝　0　. (3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a⊥b⇔　a·b＝0　. (4)当a与b同向时，a·b＝　|a||b|　； 当a与b反向时，a·b＝　－|a||b|　. 2.非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？ 提示：由两个非零向量的夹角决定． 当0°≤θ<90°，非零向量的数量积为正数． 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零． 当90°<θ≤180°时，非零向量的数量积为负数． 3．由a·b>0是否可以得到向量a，b的夹角θ为锐角？ 提示：因为a·b＝|a||b|cos θ，故由a·b>0可得cos θ>0，又θ∈[0，π]，故θ∈[0，eq \f(π,2))，即θ为锐角或零度角． [知识点五]　向量的数量积的运算律　 1．a·b＝　b·a　(交换律)； 2．(λ a)·b＝　λ(a·b)　＝　a·(λ b)　(结合律)； 3．(a＋b)·c＝　a·c＋b·c　(分配律)． 4.对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？ 提示：不一定成立．∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立． [预习自测] 1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角θ为45°，则m·n＝(　　) A．12　 B．12eq \r(2)　　C．－12eq \r(2)　　D．－12 解析：B　[m·n＝|m||n|cos θ＝4×6×eq \f(\r(2),2)＝12eq \r(2).] 2．(2021·浙江卷，3)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[若c⊥a且c⊥b，则a·c＝b·c＝0，但a不一定等于b，故充分性不成立；若a＝b，则a·c＝b·c，必要性成立，故为必要不充分条件．故选择：B.] 3．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3. (1)若θ＝135°，则a·b＝　________　； (2)若a∥b，则a·b＝　________　； (3)若a⊥b，则a·b＝　________　. 答案：(1)－3eq \r(2)　(2)±6　(3)0 数量积的基本概念 [例1]　下列判断： ①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦非零向量a·b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影长．其中正确的是　________　(填序号)． [思路点拨]　依据数量积的概念逐一判断。 [解析]　由于a2≥0.b2≥0，所以，若a2＋b2＝0.则a＝b＝0.故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量．所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③错误； 对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错误； 对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错误； 对于⑥，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确； 对于⑦，当a与b的夹角为0°时， 也有a·b>0，因此⑦错误； 对于⑧，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非射影长，故⑧错误． 综上可知①②⑥正确． [答案]　①②⑥ 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等． [变式训练] 1．绐出下列结论： ①若a≠0，a·b＝0，则b＝0：②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是　________　. 解析：因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确； 当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确； 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确； a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确． 答案：④ 数量积运算 [例2] 已知|a|＝6，|b|＝8，a与b的夹角为θ＝135°，求： (1)a·b； (2)(2a＋b)·(a－b)． [思路点拨]　利用向量数量积的定义和运算律计算． [解]　(1)a·b＝|a||b|cos θ ＝6×8×cos 135°＝－24eq \r(2). (2)(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2 ＝2|a|2－(－24eq \r(2))－|b|2 ＝2×62＋24eq \r(2)－82 ＝8＋24eq \r(2). (1)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ. (2)当求向量的数量积时，先利用向量数量积的运算律展开、化简，再由向量数量积的定义计算． [变式训练] 2．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,2Oeq \o(A,\s\up16(→))＋Aeq \o(B,\s\up16(→))＋Aeq \o(C,\s\up16(→))＝0，|Oeq \o(A,\s\up16(→))|＝|Aeq \o(B,\s\up16(→))|，则Ceq \o(A,\s\up16(→))·Ceq \o(B,\s\up16(→))的值是　________　. 解析：如图，D为BC中点， ∵2eq \o(OA,\s\up16(→))＋Aeq \o(B,\s\up16(→))＋Aeq \o(C,\s\up16(→))＝0， ∴2Oeq \o(A,\s\up16(→))＋2Aeq \o(D,\s\up16(→))＝0， ∴Aeq \o(D,\s\up16(→))＝－Oeq \o(A,\s\up16(→))，∴Aeq \o(D,\s\up16(→))＝Aeq \o(O,\s\up16(→)) ∵O与D重合，∴BC为圆的直径． ∵|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝|Aeq \o(B,\s\up16(→))|＝1，|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝2，∴|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(3)，∴∠ACB＝eq \f(π,6)，∴Ceq \o(A,\s\up16(→))·Ceq \o(B,\s\up16(→))＝|Ceq \o(A,\s\up16(→))|·|Ceq \o(B,\s\up16(→))|·cos∠ACB＝eq \r(3)·2·eq \f(\r(3),2)＝3. 答案：3 向量的夹角 [例3]　(1)已知向量|a|＝10，|b|＝12, 且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为(　　) A．60°　　　　　 B．120° C．135° D．150° (2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ＝(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2) [思路点拨]　求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． [解析]　(1)设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(－60,10×12)＝－eq \f(1,2)， ∴θ＝120°. (2)由题意，知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2， 即cos θ＝eq \f(1,2)，又0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(π,3). [答案]　(1)B　(2)C (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. [变式训练] 3．已知|a|＝9，|b|＝6eq \r(2)，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　) A．45°　 B．135°　　C．120°　　D．150° 解析：B　[∵cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－54,9×6\r(2))＝－eq \f(\r(2),2)， ∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝135°.] 几何图形中数量积的计算 [例4]　已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))；(2)eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→)). [思路点拨]　正确区分向量的夹角与三角形内角的异同． [解]　(1)∵eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))的夹角为60°. ∴eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))||eq \o(AC,\s\up16(→))|cos 60°＝1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). (2)∵eq \o(BC,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))的夹角为60°， ∴eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝|eq \o(BC,\s\up16(→))||eq \o(AC,\s\up16(→))|cos 60°＝1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ. 运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． [变式训练] 4．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝　________　，eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＝　________　，eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝　________　. 解析：由题意，得|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝4，|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝4，|eq \o(CA,\s\up16(→))|＝4eq \r(2)， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝4×4×cos 90°＝0，eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＝4×4eq \r(2)×cos 135°＝－16，eq \o(CA,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝4eq \r(2)×4×cos 135°＝－16. 答案：0　－16　－16 1．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(　　) A．60°　 B．120°　　C．30°　　　D．150° 解析：A　[向量－a与－b的夹角和a与b的夹角相等，为60°.] 2．已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为eq \f(π,4)，则a·b＝(　　) A．2eq \r(2) B．2 C.eq \r(2) D.eq \r(3) 解析：A　[a·b＝2×2×cos eq \f(π,4)＝2eq \r(2)，故选A.] 3．在△ABC中，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝13，|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝5，|eq \o(CA,\s\up16(→))|＝12，则eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))的值是　________　. 解析：易知|eq \o(AB,\s\up16(→))|2＝|eq \o(BC,\s\up16(→))|2＋|eq \o(CA,\s\up16(→))|2， C＝90°.cos B＝eq \f(5,13)， ∴cos〈eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))〉＝cos(180°－B) ＝－cos B＝－eq \f(5,13). ∴eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|·|eq \o(BC,\s\up16(→))|cos(180°－B)＝13×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))＝－25. 答案：－25 4．已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积． 解：(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，所以a·b＝|a||b|·cos 0°＝4×5×1＝20； 若a与b反向，则θ＝180°，所以a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°， 所以a·b＝|a||b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×eq \f(\r(3),2)＝10eq \r(3). $