7.4 数学建模活动：周期现象的描述（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“周期现象的描述”，核心知识点为用三角函数模型刻画周期变化。课堂导入从地球自转公转、简谐运动等现实周期现象切入，衔接三角函数图象与性质，搭建从实际问题到数学建模的学习支架。 其亮点在于通过弹簧振子、电流、浪高数据等实例，引导学生用数学眼光观察周期规律，用数学思维分析参数（A、ω、φ）意义，用数学语言构建模型。采用探究式学习（思考问题、实例分析），小结明确建模步骤，提升学生应用意识和实践能力，为教师提供系统教学资源，助力高效教学。

7．4　数学建模活动：周期现象的描述 1 新课导入 学习目标 　　现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质可以解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题． 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 2．会用三角函数模型解决一些简单的实际问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　三角函数在物理学中的应用 一个弹簧振子做简谐振动，在完成一次全振动的过程中，位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间对应数据绘制成简图如图所示． 返回导航 思考1　若用函数y＝A sin (ωt＋φ)，A>0，ω>0，|φ|<π，来刻画位移y随时间t的变化规律，你能写出y关于t的函数解析式吗？ 思考2　函数y＝A sin (ωt＋φ)中的参数A，ω，φ对其图象有怎样的影响？ 提示：A影响函数的最值，ω影响函数的周期，φ决定函数的初始位置． 返回导航 [知识梳理] 函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞)中参数的物理意义 A 返回导航 [例1] 已知电流I与时间t的关系为I＝A sin (ωt＋φ). 返回导航 返回导航 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 返回导航 400π 返回导航 (1)求出函数f(x)的解析式； 【解】由题意得f(10)＝350，f(14)＝1 250， 且sin (14ω＋φ)＝1， 返回导航 返回导航 (2)腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字？ 解得x＝12或x＝16，结合函数图象(图略)及x∈[8，17]，可得当x∈[8，12]或x∈[16，17]时，可保证在场的游客都能得到福字，所以应选择在8点到12点或16点到17点两个时间段赠送福字． 返回导航 已知函数模型求解实际问题的一般思路 (1)这类题一般明确指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b或y＝A cos (ωx＋φ)＋b的函数来刻画，解这样的题只需根据已知条件确定参数，求出函数解析式，再代入计算即可． (2)对于函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，最大值为b＋A，最小值为b－A. 返回导航 返回导航 (1)求S(t)的解析式； 返回导航 (2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长． 返回导航 三　三角函数模型的拟合 [例3] 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(单位：米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 返回导航 (1)从y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b，y＝A cos (ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； 返回导航 (2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 返回导航 确定三角函数模型解决实际问题的步骤 (1)根据原始数据，绘出散点图； (2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数关系式； (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 返回导航 [跟踪训练3] (2025·东营期中)某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增．下表是2025年前四个月的统计情况： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 收购价格(元/斤) 8 9 8 7 养殖成本(元/斤) 5 5.58 6 6.32 现打算从以下两个函数模型：①y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，－π<φ<0)； ②y＝log2(x＋a)＋b中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系． 返回导航 (1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式； 解：由题表中数据可知，收购价格随月份的变化上下波动，应选模型①， 由题表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②， 返回导航 返回导航 (2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？ 当x＝5时，y1＝8>y2＝log26＋4； 当x＝6时，y1＝9>y2＝log27＋4； 当x＝7时，y1＝8>y2＝log28＋4； 当x＝8时，y1＝7<y2＝log29＋4， 这说明第5，6，7月份生猪养殖户可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损． 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 27 √ 返回导航 2．(多选)已知一质点做简谐运动的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A.该质点的运动周期为0.7 s B.该质点的振幅为5 C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 D.该质点的运动周期为0.8 s 解析：由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，所以A错误，D正确； 该质点的振幅为5，所以B正确； 由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确． 故选BCD. √ √ √ 返回导航 返回导航 4．如图，质点P在半径为2 cm的圆周上按逆时针方向匀速运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1 rad/s. (1)求点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式； 返回导航 (2)求点P的运动周期和频率． 返回导航 1．已学习：三角函数在物理及实际生活中的应用． 2．须贯通：面对实际问题，能够迅速地建立适当的数学模型是一种重要的基本技能，把问题中的“条件”逐条“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程． 3．应注意：确定函数模型，易忽略定义域；根据确定的模型解决问题后，最后结果要回归实际问题． 返回导航 解得所以S(t)＝40sin (t－)＋100. $