7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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(1)求这一天的最大温度差； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解析：(1)由题图可知，这段时间的最大温度差是20℃. (2)从题图中可看出，6～14时的图像是函数的半个周期的图像． 由y＝Asin(ωt＋φ)＋b， 得A＝eq \f(30－10,2)＝10，b＝eq \f(30＋10,2)＝20. ∵eq \f(1,2)·eq \f(2π,ω)＝14－6， ∴ω＝eq \f(π,8). 将t＝6，y＝10代入 y＝10sin(eq \f(π,8)t＋φ)＋20， 解得φ＝eq \f(3π,4). 综上，这段曲线的函数解析式为 y＝10sin(eq \f(π,8)t＋eq \f(3π,4))＋20，t∈[6,14]． 由模型解析式解决问题 [例2]　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))). (1)画出它的图像； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆一次需要多少时间？ [思路点拨]　根据图像研究物体的变化规律． [解]　(1)周期T＝eq \f(2π,2π)＝1(s)． 列表. t 0 eq \f(1,6) eq \f(5,12) eq \f(2,3) eq \f(11,12) 1 2πt＋eq \f(π,6) eq \f(π,6) eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π 2π＋eq \f(π,6) 6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))) 3 6 0 －6 0 3 作图，如图所示． (2)①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)． 在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中： (1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移； (2)T＝eq \f(2π,ω)称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间； (3)f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数． [变式训练] 2．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220eq \r(3)sin(100πt＋eq \f(π,6))来表示，求： (1)开始时的电压； (2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间． 解：(1)当t＝0时，E＝220eq \r(3)sineq \f(π,6)＝110eq \r(3)(伏)， 即开始时的电压为110eq \r(3)伏． (2)电压的最大值为220eq \r(3)伏， 当100πt＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即t＝eq \f(1,300)秒时第一次获得这个最大值． 　 确定模型解决问题 [例3]　下表是某地某年月平均气温(华氏)： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴． (1)描点作图，用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A； (3)下面三个函数模型中。哪一个最适合这些数据？ ①eq \f(y,A)＝coseq \f(πx,6)；②eq \f(y－46,A)＝coseq \f(πx,6)； ③eq \f(y－46,－A)＝coseq \f(πx,6). [思路点拨]　画出散点图，进行函数拟合，选择正确的模型求解． [解]　(1)如图． (2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0， 故eq \f(T,2)＝7－1＝6，所以T＝12. 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8. (3)因为x＝月份－1， 所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0. 代入①得eq \f(y,A)＝eq \f(26.0,25.8)>1≠coseq \f(π,6)，故①不适合． 代入②得eq \f(y－46,A)＝eq \f(26.0－46,25.8)<0≠coseq \f(π,6)，故②不适合． 所以应选③. 1．根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题． 2．解三角函数应用问题的基本步骤 [变式训练] 3．某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h 20 min，低潮时入口处水的深度为2.8 m，高潮时为8.4 m，已知一次高潮发生在10月3日2：00. (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系； (2)求出10月4日15：00入口处水的深度． 解析：(1)设此三角函数模型是d＝Asin(ωt＋φ)＋b(t≥0)，根据题意可知周期T＝eq \f(37,3)(h)． 所以ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(6π,37)，A＝eq \f(dmax－dmin,2)＝eq \f(8.4－2.8,2)＝2.8，b＝eq \f(dmax＋dmin,2)＝eq \f(8.4＋2.8,2)＝5.6. 所以d＝2.8sin(eq \f(6π,37)t＋φ)＋5.6(t≥0)，又因为当t＝2时， d取得最大值，所以2.8sin(eq \f(12π,37)＋φ)＋5.6＝8.4， 所以可取φ＝eq \f(13π,74)， 所以d＝2.8sin(eq \f(6π,37)t＋eq \f(13π,74))＋5.6(t≥o)． (2)10月4日15：00相当于t＝39，此时入口处水的深度d＝2.8sin(eq \f(6π,37)×39＋eq \f(13π,74))＋5.6＝8.4(米)． 1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(eq \f(π,6)x＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A．5　 B．6　　C．8　　D．10 解析：C　[根据图像得函数的最小值为2， 有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.] 2．弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(s)时离开平衡位置的位移s(cm)满足函数关系式s＝2sin(t＋eq \f(π,4))，给出下列三种说法：①小球开始时在平衡位置上方eq \r(2)cm处；②小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm处；③经过2π s小球重复振动一次，其中正确的说法是(　　) A．①②　　　　　　 B．②③ C．①③ D．①②③ 解析：D　[当t＝0时，s＝2sin(0＋eq \f(π,4))＝eq \r(2)，故①正确；smin＝－2，故②正确：函数的最小正周期T＝2π，故③正确．] 3．如图是一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足的函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　) A．ω＝eq \f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq \f(15,2π)，A＝3 C．ω＝eq \f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq \f(15,2π)，A＝5 解析：A　[由题目可知y的最大值为5，所以5＝A×1＋2，得A＝3，由于T＝15，所以ω＝eq \f(2π,15).] 4．已知一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若已知此振子的振幅为3，周期为eq \f(2π,7)，初相为eq \f(π,6)，则这个函数的解析式为　________　. 解析：依题意，A＝3，ω＝eq \f(2π,\f(2π,7))＝7，φ＝eq \f(π,6)，∴函数解析式为y＝3sin(7t＋eq \f(π,6))，t∈[0，＋∞)． 答案：y＝3sin(7t＋eq \f(π,6))，t∈[0，＋∞) 5．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃. (1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式； (2)29日上午9时某高中将举行期未考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 解：(1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＋b＝14，,－A＋b＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝8，,b＝6，)) 易知eq \f(T,2)＝14－2，所以T＝24，所以ω＝eq \f(π,12)， 易知8sin(eq \f(π,12)×2＋φ)＋6＝－2， 即sin(eq \f(π,12)×2＋φ)＝－1， 故eq \f(π,12)×2＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<π，得φ＝－eq \f(2π,3)， 所以y＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)x－\f(2π,3)))＋6(x∈[0,24))． (2)当x＝9时，y＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)×9－\f(2π,3)))＋6 ＝8sineq \f(π,12)＋6<8sineq \f(π,6)＋6＝10. 所以届时学校后勤应该开空调． $