7.3.1 第1课时 正弦函数的性质（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦正弦函数的性质，涵盖定义域、值域、奇偶性、周期性及单调性。通过“单位圆与三角函数的天然联系”导入，衔接三角函数定义，搭建从几何直观到代数性质的学习支架。 其亮点是通过“思考”引导探究，结合正弦线和诱导公式，培养数学眼光（从单位圆抽象性质）、数学思维（推理周期性与单调性）。如求y=-2sinx+1最值用有界性，比较sin194°与cos160°转化同名函数，助力学生掌握方法，教师可借系统结构提升教学效率。

7．3　三角函数的性质与图象 7．3.1　正弦函数的性质与图象 第1课时　正弦函数的性质 1 新课导入 学习目标 　　根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”，因此，单位圆的性质与三角函数的性质有着天然的联系，可以借助单位圆研究三角函数的性质，这节课就从单位圆入手开启正弦函数性质的学习吧！ 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．依据正弦线理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、单调区间及最值，会判断它的奇偶性． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　正弦函数的定义域与值域（最值） 思考　利用前面学过的正弦线，如图所示，如何探究函数y＝sin x的值域？ 返回导航 R [－1，1] 1 －1 返回导航 返回导航 (2)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域． 返回导航 求正弦函数的值域一般有以下两种方法 (1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题． (2)利用sin x的有界性求值域，如y＝a sin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b. 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 二　正弦函数的奇偶性与周期性 思考　如何探究函数y＝sin x的奇偶性与周期性？ 提示：因为sin (－x)＝－sin x， 所以y＝sin x是奇函数． 因为sin (2kπ＋x)＝sin x，k∈Z， 所以T＝2kπ，k∈Z是y＝sin x的周期， 所以y＝sin x的最小正周期为2π. 返回导航 [知识梳理] 1．正弦函数的奇偶性 由诱导公式sin (－x)＝－sin x可知，正弦函数y＝sin x是________函数，其图象关于原点中心对称． 2．周期函数 (1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足_________________，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期． (2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个______________，那么这个最小的正数就称为f(x) 的最小正周期． 奇 f(x＋T)＝f(x) 最小的正数 返回导航 3．正弦函数的周期性 由诱导公式sin (x＋k·2π)＝sin x(k∈Z)，可知，当自变量x的值每增加或减少2π的________时，正弦值重复出现，这种性质称为正弦函数的周期性． 整数倍 返回导航 返回导航 (2)f(x)＝|sin x|. 【解】易知x∈R，f(－x)＝|sin (－x)|＝|sin x|＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． 由f(x)＝|sin x|＝|sin (x＋kπ)|＝f(x＋kπ)，k∈Z， 可知f(x)的最小正周期为π. 返回导航 (1)求与正弦函数有关的周期的常用方法：①定义法；②公式法；③图象法． (2)当函数y＝sin x，x∈[a，b]为奇函数时，其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0，2π]是非奇非偶函数． 返回导航 [跟踪训练2] (1)(多选)关于x的函数f(x)＝sin (x＋φ)有以下说法，正确的是(　　) A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数 B．存在φ，使f(x)是奇函数 C．对任意的φ，f(x)都不是偶函数 D．不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数 √ √ 返回导航 无论φ为何值，f(x)不可能恒为0，故不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数，故D正确． 返回导航 返回导航 三　正弦函数的单调性及应用 思考　利用前面所学的正弦线，如图所示，如何探究函数y＝sin x的单调性？ 返回导航 返回导航 [例3] (1)函数y＝2－sin x的单调递减区间为_________________________． 返回导航 返回导航 ②sin 194°和cos 160°. 【解】sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. 因为y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增， 且0°<14°<70°<90°， 所以sin 14°<sin 70°， 所以－sin 14°>－sin 70°， 即sin 194°>cos 160°. 返回导航 (1)求形如y＝a sin x＋b的三角函数的单调性，当a<0时，要求y＝a sin x＋b的单调递增区间，即求y＝sin x的单调递减区间． (2)比较三角函数值大小的方法 ①同名函数：若两角在同一单调区间内，直接利用单调性得出；若两角不在同一单调区间，则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间，再进行比较． ②异名函数：先利用诱导公式转化为同名函数，再比较． 返回导航 √ [跟踪训练3] (1)下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．cos 10°<sin 168°<sin 11° 解析：因为sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°，因为函数y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C. 返回导航 (2)若x∈[0，π]，则函数y＝1－3sin x的单调递减区间为____________． 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 30 √ 返回导航 因为f(－x)＝sin (－x)＋1＝－sin x＋1≠－f(x)，故B不正确； f(x) 的最小正周期为2π，故C正确； f(x)的最大值为1＋1＝2，故D正确． 返回导航 2．(教材P43练习AT1改编)已知2a－1－3sin x＝0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，2) B．[0，1] C．(0，1) D．[－1，2] 解析：由题意得2a－1＝3sin x，因为sin x∈[－1，1]，所以－3≤2a－1≤3，即－1≤a≤2. √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 1．已学习：正弦函数的周期性与奇偶性、正弦函数的单调区间、比较三角函数值的大小、正弦函数的定义域与最值(值域). 2．须贯通：正弦函数的单调性及其应用、求函数的最值(值域). 3．应注意：(1)单调区间漏写k∈Z； (2)求值域时忽视sin x本身具有的范围． 返回导航 解：y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－＋. 因为－≤x≤，所以－≤sin x≤， 所以当x＝－，即sin x＝－时，函数y＝cos2x－sinx取得最大值，ymax＝； $