7.2.3 同角三角函数的基本关系式（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系式，通过观察表格发现规律和单位圆验证的导入方式，搭建从具体观察到抽象证明的学习支架，衔接三角函数定义与基本关系的知识脉络。 其亮点在于以问题驱动引导学生用数学眼光发现规律，通过单位圆验证培养逻辑推理的数学思维，总结“知一求二”、齐次式转化等方法提升数学语言表达能力。例题分类讨论培养严谨性，课堂小结贯通知识，助力学生提升探究与解题能力，为教师提供系统教学支持。

7．2.3　同角三角函数的基本关系式 1 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　同角三角函数的基本关系式 思考1　观察下表，你能发现什么？ 提示：对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 返回导航 思考2　如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．你能验证思考1的猜想吗？ 返回导航 [知识梳理] 1．基本关系 1 1 tanα 商 返回导航 返回导航 点拨　(1)“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在式子有意义的前提下)关系式都成立； (2)sin2α是(sin α)2的缩写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sinα2，后者表示α2的正弦值，两者是不同的． 返回导航 返回导航 (2)已知tan α＝2，求sin α和cos α的值． 又由tanα＝2>0，知α是第一或第三象限角． 返回导航 已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解． (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解． 返回导航 提醒　当角θ的范围不确定且涉及开方时，常根据三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)进行讨论． 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (2)求2sin2α－3cos2α＋sinαcos α的值． 返回导航 tanα与sin α，cos α的齐次式的相互转化 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 返回导航 返回导航 返回导航 母题探究　本例条件不变，求tan α的值． 返回导航 sin θ±cos θ与sin θcos θ的关系 sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ. 注意　求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值时，往往先根据条件求出并利用sin θcos θ的值，进而根据sin θcos θ的符号来确定角θ的终边位置，从而确定sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的符号． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 35 √ 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 (2)证明：tan2αsin2α＝tan2α－sin2α. 返回导航 返回导航 1．已学习：同角三角函数的基本关系，利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明． 2．须贯通：同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，在化简、求值时，灵活运用“切化弦”“弦化切”的技巧，运用由部分到整体、整体代换的方法． 3．应注意：运用平方关系求值时，角α的取值范围决定三角函数值的符号． 返回导航 新课导入 学习目标 设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，根据三角函数的定义知y＝sin α，x＝cos α，＝tan α.能否根据x，y的关系得到sin α，cos α，tan α间的联系？它们之间到底有什么样的联系，就让我们一起去探索发现！ 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系． 2．会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明． α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 类别 关系式 文字表述 平方 关系 sin2α＋cos2α＝________ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于________ 商数 关系 ＝________ (α≠kπ＋，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的________等于角α的正切 2.公式变形 sin2α＋cos2α＝1⇒ tan α＝⇒ 解：证明：右边＝tan 2α－sin 2α ＝－sin 2α ＝sin 2α(－1) $