7.2.1 三角函数的定义（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦任意角三角函数的定义、求值及各象限符号，通过江南水乡水车情境导入，从初中锐角三角函数出发，结合相似变化、单位圆及终边上点的坐标表示等思考问题搭建学习支架，实现知识自然延伸。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实，“数学思维”贯穿分类讨论（如母题中参数a的正负分析）和逻辑推理（如例2充分必要条件判断），“数学语言”用符号定义与口诀简化记忆。实例丰富，如跟踪训练结合对数函数定点问题，助力学生发展抽象能力与推理意识，为教师提供系统教学资源，提升教学效果。

7．2　任意角的三角函数 7．2.1　三角函数的定义 1 新课导入 学习目标   江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然．若把水车放在坐标系中，则水车上的点就可以用水车转动的角度及水车的半径来表示． 1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 2．会利用任意角的三角函数的定义求值． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　任意角的正弦、余弦与正切的定义 在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，如图所示． 返回导航 思考1　定义中的三个三角函数，对于同样大的一个角来说，如果三角形的大小改变(相似变化)，其三角函数值是否改变？ 提示：不变． 思考2　如图，如果一个锐角α的终边与圆心在原点，半径为1的圆⊙O交于点P(x，y)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？ 返回导航 思考3　如图，如果一个角α的终边上有点P(x，y)，是否能用点P的坐标表示角α的sin α，cos α，tan α？ 返回导航 [知识梳理] 返回导航 定义 余弦 一般地，称________为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝________ 正切 当角α的终边不在y轴上时，称________为角α的正切，记作tan α，即tan α＝________ 角α的正弦、余弦与正切，都称为α的________ 三角函数 返回导航 √ 返回导航 母题探究　将本例中“点P(4，－3)”变为“点P(4a，－3a)(a≠0)” 求sin θ，cos θ，tan θ的值． 返回导航 返回导航 √ 返回导航 (2)若函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，若点A在角α的终边OP上(O是坐标原点)，则tan α＝____________. 返回导航 二　正弦、余弦与正切在各象限的符号 [知识梳理] 如图所示：   正弦：________象限正，________象限负． 余弦：________象限正，________象限负． 正切：________象限正，________象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 一二 三四 一四 二三 一三 二四 返回导航 [例2] (对接教材例4、例5)(1)设角α的始边为x轴的正半轴，则“sin α>0”是“角α的终边在第二象限”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 返回导航 所以“sin α>0”是“角α的终边在第二象限”的必要不充分条件．故选B. 返回导航 (2)tan 125°sin 223°___________0.(填“>”或“<”) 【解析】因为125°是第二象限角，所以tan 125°<0；223°为第三象限角，所以sin 223°<0，所以tan 125°sin 223°>0. >  返回导航 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限； (2)定符号：利用三角函数值的符号变化规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 返回导航 √ 返回导航 (2)已知tan x<0且cos x<0，则角x的终边在第__________象限． 解析：由tan x<0，得角x的终边在第二、四象限，因为 cos x<0，所以角x的终边在第二、三象限或x轴负半轴上，由于上述条件要同时成立，所以角x的终边在第二象限． 二 返回导航 √ 返回导航 (2)若角α的终边在直线3x＋y＝0上，则cos α＝______________． 返回导航 (1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． (2)由于角的终边是一条射线，则终边在已知直线上的角包含两类角，求解时应注意分类处理． 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 27 √ 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 1 返回导航 4．(教材P17T1改编)已知角α终边上一点P的坐标是(5a，12a)(a<0)，求sin α，cos α，tan α的值． 返回导航 返回导航 提示：设OP＝r＝，根据三角形的相似性，易得sin α＝，cos α＝， tan α＝(x≠0). 前提 如图，对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝ 定义 正弦 一般地，称________为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝________ [跟踪训练3] 在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边与圆心在原点，半径为1的圆交于点P，若α＝kπ－(k∈Z)，则符合条件的点P的坐标可以是_______________________________． $