7.2.1 三角函数的定义-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦三角函数的定义及符号判断，通过摩天轮运动的情境导入，从实际问题出发引导学生抽象出任意角三角函数的定义，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解知识脉络。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过典例研析中的分类讨论（如终边在直线上求三角函数值）发展逻辑推理，结合通性通法总结提升数学语言表达能力。学生能提升运算与推理能力，教师可借助系统资源提高教学效率。

7.2.1　三角函数的定义 1 1.理解三角函数的定义，会求给定角的三角函数值（数学抽象、数学运算）. 2.会判断给定角的三角函数值的符号（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　如图所示是某游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为 h0，它的直径为2R，按逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒. 【问题】　若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你 离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点一　任意角的正弦、余弦与正切的定义 前 提 如图，角α终边上异于原点的任意一点P（x，y），r＝ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 定 义 正弦 称 　 　为角α的正弦，记作 sin α，即 sin α＝ 　 　 余弦 称 　 　为角α的余弦，记作 cos α，即 cos α＝ 　 　 正切 当角α的终边不在y轴上时，称 为角α的正切，记作 tan α，即tan α＝ ⁠. 角α的正弦、余弦、正切都称为α的 ⁠ 　 　 　 　 　 　 三角函数　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　　提醒：对三角函数定义的理解：①三角函数是一种函数，它满足函数 的定义，可以看成是从角的集合（弧度制）到一个比值的集合的对应；② 三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角 的范围. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 　三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？ 提示：无关.三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的 位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角α的大小 有关. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 已知角α的终边经过点P（3，－4），那么 sin α的值为（　　） A. － B. － C. － D. 解析：∵角α的终边经过点P（3，－4），∴ sin α＝ ＝－ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2.135°角的余弦函数值为 ，正切函数值为 ⁠. 解析：如图，在135°角的终边上取一点P，使OP＝1， 作PM垂直于x轴，垂足为点M，则∠POM＝45°.在 Rt△PMO中，OM＝MP＝ ，所以点P的坐标为 .所以 cos 135°＝－ ，tan 135°＝－1. － －1 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点二　正弦、余弦与正切在各象限的符号 　　提醒：三角函数值的符号：正弦、余弦和正切函数值在各象限的符号 可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.其含义是： 在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象 限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是三角形的内角，则必有 sin α＞0. （　√　） （2）若α是第二象限角，且P（x，y）是其终边与单位圆的交点，则 cos α＝－x. （　×　） （3）若 sin α＞0，则α是第一或第二象限角. （　×　） √ × × 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 确定下列各三角函数值的符号： （1） cos 260°； 解： 因为260°是第三象限角，所以 cos 260°＜0. （2） sin ； 解： 因为－ 是第四象限角，所以 sin ＜0. （3）tan . 解： 因为 是第三象限角，所以tan ＞0. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜任意角的三角函数的定义及应用 【例1】　（1）若 sin α＝ ， cos α＝－ ，则在角α终边上的点有（　　） A. （－4，3） B. （3，－4） C. （4，－3） D. （－3，4） 解析： 　由 sin α， cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题 意，故选A. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）已知角α的终边落在直线 x＋y＝0上，求 sin α， cos α，tan α的值. 解：直线 x＋y＝0，即y＝－ x，经过第二、四象限，在第二 象限取直线上的点（－1， ），则r＝ ＝2，所以 sin α＝ ， cos α＝－ ，tan α＝－ ；在第四象限取直线上的点（1，－ ），则r＝ ＝2，所以 sin α＝－ ， cos α＝ ，tan α ＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 （变条件）本例（2）中条件变为“角α的终边落在射线4x－3y＝0 （x≤0）上”，问题不变. 解：由条件知不妨令x＝－3，则y＝－4，∴r＝5，∴ cos α＝ ＝－ ， sin α＝ ＝－ ，tan α＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤 （1）已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的 定义求出相应三角函数值； ②在α的终边上任选一点P（x，y），P到原点的距离为r（r＞0），则 sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝ . （2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对参数正、 负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知α是第二象限角，P（x， ）为其终边上一点，且 cos α＝ x， 则x等于（　　） A. B. ± C. － D. － 解析： 　由三角函数的定义得 cos α＝ x＝ ，解得x＝0或x＝ ± .又点P 在第二象限内，所以x＝－ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知角α的终边落在直线y＝2x上，求 sin α， cos α，tan α的值. 解：若角α的终边在第一象限内，设点P（a，2a）（a＞0）是其终边上 任意一点， 因为r＝｜OP｜＝ ＝ a（a＞0），所以 sin α＝ ＝ ＝ ， cos α＝ ＝ ＝ ， tan α＝ ＝ ＝2. 若角α的终边在第三象限内，设点P（a，2a）（a＜0）是其终边上任意 一点， 因为r＝｜OP｜＝ ＝－ a（a＜0），所以 sin α＝ ＝ ＝－ ， cos α＝ ＝ ＝－ ，tan α＝ ＝ ＝2. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜三角函数值符号的判定 【例2】　（1）已知 sin θ cos θ＞0， sin θtan θ＜0，则角θ是（　C　） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 解析： 由 sin θ cos θ＞0可知θ是第一或第三象限角，由 sin θtan θ＜0 可知θ是第二或第三象限角，所以θ是第三象限角. （2）若α是第四象限角，则点P（ sin α，tan α）在（　C　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 由于α是第四象限角，故 sin α＜0，tan α＜0，故点P（ sin α， tan α）在第三象限. C C 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 正弦、余弦函数值的正负规律 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　〔多选〕下列三角函数判断正确的是（　　） A. sin 165°＞0 B. cos 280°＞0 C. tan 170°＞0 D. tan 310°＜0 解析： 　因为90°＜165°＜180°，所以 sin 165°＞0；因为270°＜ 280°＜360°，所以 cos 280°＞0；因为90°＜170°＜180°，所以tan 170°＜0；因为270°＜310°＜360°，所以tan 310°＜0.故选A、B、D. √ √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜三角函数式的化简 【例3】　当α为第二象限角时， － 的值是（　　） A. 1 B. 0 C. 2 D. －2 解析： 　∵α为第二象限角，∴ sin α＞0， cos α＜0. ∴ － ＝ － ＝2. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 　　带绝对值的问题，关键是去绝对值，去绝对值时，要注意绝对值内代 数式的正负. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　函数y＝ ＋ － 的值域是 ⁠ ⁠. {－4，0， 2} 解析：由 sin x≠0， cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，当x为第一 象限角时， sin x＞0， cos x＞0， sin x cos x＞0，y＝0；当x为第二象限角 时， sin x＞0， cos x＜0， sin x cos x＜0，y＝2；当x为第三象限角时， sin x＜0， cos x＜0， sin x cos x＞0，y＝－4；当x为第四象限角时， sin x＜ 0， cos x＞0， sin x cos x＜0，y＝2.故函数y＝ ＋ － 的值域为{－4，0，2}. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 已知角α的终边过点P（－4，3），则2 sin α＋tan α的值是（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　∵角α的终边经过点P（－4，3），∴r＝｜OP｜＝5.∴ sin α＝ ， cos α＝－ ，tan α＝－ .∴2 sin α＋tan α＝2× ＋ ＝ .故选B. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 若 cos α＞0， sin α＜0，则角α的终边在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 　由 cos α＞0，得角α的终边在第一象限或第四象限或x轴的正半 轴上.由 sin α＜0，得角α的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上. 综上可得，角α的终边在第四象限. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕已知角α的终边上一点P的坐标为（－1， ），则（　　） A. α为第四象限角 B. sin α＝ C. cos α＝－ D. tan α＝ 解析： 　由题意得α为第二象限角， sin α＝ ＝ ， cos α＝ ＝ － ，tan α＝－ . √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 判断下列各式的符号（填“＞”或“＜”）： （1） sin 328° 0；（2） cos π 0； （3）tan π 0. 解析：（1）因为270°＜328°＜360°，所以328°在第四象限，所以 sin 328°＜0. （2）因为π＜ π＜ π，所以 π在第三象限，所以 cos π＜0. （3）因为 π＜ π＜π，所以 π在第二象限，所以tan π＜0. ＜ ＜ ＜ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 已知角α的终边过点P（5，a），且tan α＝－ ，求 sin α＋ cos α的值. 解：根据三角函数的定义，tan α＝ ＝－ ， 所以a＝－12， 所以P（5，－12），r＝13， 所以 sin α＝－ ， cos α＝ ， 从而 sin α＋ cos α＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知点P（1，－5）是α终边上一点，则 sin α＝（　　） A. 1 B. －5 C. － D. 解析： 　因为x＝1，y＝－5，所以r＝ ，所以 sin α＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 如果α的终边过点P ，则 sin α的值等于（　　） A. B. － C. － D. － 解析： 　因为2 sin ＝1，－2 cos ＝－ ，所以r＝ ＝2，所以 sin α＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边上 有一点P（2，y），且 sin α＝－ ，则y＝（　　） A. 1 B. －1 C. ±1 D. 2 解析： 　根据题意可知 ＝－ ，解得y＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知角α的终边上有异于原点O的一点P，且｜PO｜＝r，则点P的坐 标为（　　） A. P（ sin α， cos α） B. P（ cos α， sin α） C. P（r sin α，r cos α） D. P（r cos α，r sin α） 解析： 　设P（x，y），则 sin α＝ ，所以y＝r sin α，又 cos α＝ ，所 以x＝r cos α，所以P（r cos α，r sin α），故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕若角α的终边上有一点P（a，2a）（a≠0），则2 sin α－ cos α的值可以是（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　因为角α的终边上有一点P（a，2a）（a≠0），r＝ ＝ ｜a｜.当a＞0时，2 sin α－ cos α＝2× － ＝ ； 当a＜0时，2 sin α－ cos α＝2× － ＝－ . √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 〔多选〕已知x∈{x｜x≠ ，k∈Z}，则函数y＝ － － 的值可能为（　　） A. 1 B. －1 C. －3 D. 3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 当x为第一象限角时， ＝ ＝ ＝1，即 y＝1－1－1＝－1；当x为第二象限角时， ＝－ ＝－ ＝1，即y＝1－（－1）－（－1）＝3；当x为第三象限角时，－ ＝－ ＝ ＝1，即y＝－1－（－1）－1＝－1；当x 为第四象限角时，－ ＝ ＝－ ＝1，即y＝－1－1 －（－1）＝－1.综上所述，y的值可能为3或－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且 sin α＞0， cos α≤0，则实 数a的取值范围是 ⁠. 解析：由三角函数的定义可知 sin α＞0，a＋2＞0， cos α≤0，3a－ 9≤0，解得－2＜a≤3. （－2，3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 如果 cos x＝｜ cos x｜，那么角x的取值范围 是 ⁠. 解析：∵ cos x＝｜ cos x｜，∴ cos x≥0，∴2kπ－ ≤x≤2kπ＋ （k∈Z）. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 已知角α的终边过点P（－8m，－3），且 cos α＝－ ，则m的值 为 　　​ 　　， sin α＝ 　　－ 　　. 解析：因为角α的终边过点P（－8m，－3），所以OP＝ （O 为坐标原点），因为 cos α＝ ＝－ ＜0，所以m＞0，角α是第三象 限角，且可得m＝ ，所以P（－4，－3），OP＝5， sin α＝－ . ​ － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知 ＝－ ，且lg（ cos α）有意义. （1）试判断角α是第几象限角； 解： 由 ＝－ ，可知 sin α＜0，由lg（ cos α）有意义可知 cos α＞0，所以角α是第四象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若角α的终边上一点M（ ，m），且｜OM｜＝1（O为坐标原 点），求m的值及 sin α的值. 解： 因为｜OM｜＝1，所以（ ）2＋m2＝1，解得m＝± .又α是第 四象限角，故m＜0，从而m＝－ . 由正弦的定义可知 sin α＝ ＝ ＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 〔多选〕已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，且tan α＝ .若角α的终边上有一点P，其纵坐标为－4，则下列结论正确的是 （　　） A. 点P的横坐标是6 B. α 是第二象限角 C. cos α＝－ D. sin α cos α＞0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由题意，可设P（x，－4），则tan α＝ ＝ ，解得x＝－ 6，所以点P的横坐标是－6，故A错误；因为P（－6，－4），所以角α是 第三象限角，故B错误；因为P（－6，－4），所以OP＝2 （O为坐 标原点），所以 cos α＝ ＝－ ，故C正确；因为角α是第三象限 角，所以 sin α＜0，所以 sin α cos α＞0，故D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 已知点P（3，y）在角α的终边上，且满足y＜0， cos α＝ ，则tan α 的值为 　　－ 　　， sin α的值为 　　－ 　　. 解析：因为 ＝ ，y＜0，所以y＝－4.所以tan α＝－ ， sin α＝ ＝－ . － － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 张明做作业时，遇到了这样的一道题：“若已知角θ终边上一点P （x，3）（x≠0），且 cos θ＝ x，问能否求出 sin θ， cos θ的值？若 能，求出其值；若不能，请说明理由.”他对此题百思不得其解，你能帮 张明解答此题吗？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解：由题意，得r＝OP＝ ，则 cos θ＝ ＝ .∵ cos θ＝ x，∴ ＝ x. ∵x≠0，∴x＝1或x＝－1. 当x＝1时，点P的坐标为（1，3），角θ为第一象限角， 此时， sin θ＝ ＝ ， cos θ＝ ； 当x＝－1时，点P的坐标为（－1，3），角θ为第二象限角， 此时， sin θ＝ ， cos θ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $