7.3.2 正弦型函数的性质与图象(二) 课后达标检测(二)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．若点(a，0)是函数y＝sin (x＋)图象的一个对称中心，则a的值可以是(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选C.依题意可得a＋＝kπ，k∈Z，所以a＝kπ－，k∈Z，当k＝0时，a＝－.故选C. 2．已知函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ 解析：选D.依题意得T＝＝4×＝π，所以ω＝2.又sin ＝sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，由|φ|＜，得φ＝－.故选D. 3．(2025·大连月考)已知函数f(x)＝sin (2x－)在区间(0，a)上单调递增，则a的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由题意可得，当0<x<a时， －<2x－<2a－. 由f(x)在区间(0，a)上单调递增， 则－<2a－≤， 解得0<a≤， 即a的最大值为. 4．设函数f(x)＝sin ωx，若函数g(x)＝f(x)－1在[0，π]上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是(　　) A．(，) B．[，) C．(，) D．[，) 解析：选B.由题意可知g(x)＝f(x)－1＝0， 即sin ωx＝1在[0，π]上恰有3个解， 因为x∈[0，π]，ωx∈[0，ωπ]， 所以由正弦函数的图象与性质可知，ωπ∈[，)， 即ω∈[，).故选B. 5．(2025·潍坊期中)已知函数f(x)＝sin (3x＋φ)，若f(x＋)是偶函数，则f(x)图象的一条对称轴可能是(　　) A．直线x＝ B．直线x＝ C．直线x＝ D．直线x＝ 解析：选D.函数f(x＋)＝sin (3x＋＋φ)是偶函数， 则＋φ＝＋kπ，k∈Z， 得φ＝＋kπ，k∈Z， 令3x＋φ＝＋k1π，k1∈Z， 解得x＝＋(k1，k∈Z). 因为k1，k∈Z，则(k1－k)∈Z， 经验证只有D选项直线x＝满足题意， 此时k1－k＝2. 6．(多选)已知函数f(x)＝sin (3x＋)，则(　　) A．点(－，0)是f(x)图象的一个对称中心 B．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴 C．f(x)在[0，]上单调递增 D．f(x＋)＝f(x) 解析：选AB.函数f(x)＝sin (3x＋)， f(－)＝sin [3×(－)＋]＝sin 0＝0，点(－，0)是f(x)图象的一个对称中心，A选项正确； f()＝sin [3×()＋]＝sin ＝1，是函数最大值，所以直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，B选项正确； 当x∈[0，]时，3x＋∈[，]，[，]不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误； f(x＋)＝sin [3(x＋)＋]＝sin (3x＋π＋) ＝－sin (3x＋)＝－f(x)，D选项错误．故选AB. 7．将函数f(x)＝sin (2x－)的图象向左平移个单位，所得图象的一个对称中心为_______________． 解析：由题意知，所得函数解析式为 g(x)＝sin [2(x＋)－]＝sin (2x－)， 令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， 所以所得图象的对称中心为(＋，0)(k∈Z). 令k＝0，所得图象的一个对称中心为(，0)(答案不唯一). 答案：(，0)(答案不唯一) 8．已知函数f(x)＝2sin ，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为____________． 解析：由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立，可判断出f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为函数f(x)＝2sin 的半个最小正周期．因为f(x)＝2sin 的最小正周期为π，所以|x1－x2|的最小值为. 答案： 9．函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 030)＝________． 解析：由题图可知A＝2，φ＝2kπ，k∈Z，T＝8， 所以＝8，即ω＝，所以f(x)＝2sin x. 因为周期为8，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 030)＝253×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2sin ＋2sin ＋2sin ＋2sin π＋2sin ＋2sin ＝. 答案： 10．(13分)已知x＝是函数f(x)＝2sin (2x＋φ)－1的对称轴，其中φ∈(－，). (1)求φ的值；(6分) (2)当x∈时，求 f(x)的单调递增区间和值域．(7分) 解：(1)因为x＝是函数f(x)＝2sin (2x＋φ)－1的对称轴， 所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 即φ＝kπ＋(k∈Z). 又因为φ∈(－，)， 所以φ＝(k＝0). (2)由(1)知f(x)＝2sin (2x＋)－1， 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)， 当k＝0时，函数f(x)的单调递增区间是， 又因为x∈，所以f(x)的单调递增区间为.当x∈时，函数f(x)的最大值为f()，由对称性可知最小值为f(－) , f(－)＝2sin －1＝－2，f()＝2sin (2×＋)－1＝1，所以当x∈时，f(x)的值域为[－2，1]. 11．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－　 　 C． D． 解析：选D.由题意得×＝－，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点， 所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 得φ＝＋2kπ(k∈Z)， 于是f(x)＝sin (2x＋＋2kπ)＝sin (2x＋)，f(－)＝sin (－×2＋)＝sin ＝，故选D. 12．(多选)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的大致图象如图所示，则(　　) A.f(x)＝2sin (2x＋) B．f(x)＝2sin (4x－) C．f(x)的图象关于点(，0)中心对称 D．f(x)的图象关于直线x＝对称 解析：选ACD.根据题中的图象可得A＝2，周期T＝2×(＋)＝π，则＝π，得ω＝2.将点(，－2)代入f(x)＝2sin (2x＋φ)，得2sin (＋φ)＝－2，＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝，即f(x)＝2sin (2x＋)，故选项A正确，选项B错误； 因为f()＝2sin (2×＋)＝0，所以f(x)的图象关于点(，0)中心对称，故选项C正确； 因为f()＝2sin (2×＋)＝2，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故选项D正确．故选ACD. 13．设函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ≤π)是R上的奇函数，若f(x)的图象关于直线x＝对称，且f(x)在区间上单调，则f＝____________． 解析：函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ≤π)是R上的奇函数，则f(0)＝0，即sin φ＝0，因为0<φ≤π，则φ＝π，所以f(x)＝－sin ωx，其定义域为R且关于原点对称，f(－x)＝－sin ω(－x)＝sin ωx＝－f(x)，此时f(x)为奇函数．又f(x)的图象关于直线x＝对称可得＝＋kπ，k∈Z，即ω＝2＋4k，k∈Z.又因为ω>0，由函数的单调区间知≤·，即ω≤5.5.所以k＝0，ω＝2，则f(x)＝－sin 2x，则f＝－sin ＝－. 答案：－ 14．(13分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<. (1)求函数f(x)的解析式；(6分) (2)当x∈[－，]时，求函数f(x)的取值范围．(7分) 解：(1)由题中的图象可知，A＝＝2，B＝＝2， 设f(x)最小正周期为T，＝×＝－＝， 所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋φ)＋2， 又因为f()＝2sin (2×＋φ)＋2＝4， 且|φ|<， 所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin (2x＋)＋2. (2)当x∈[－，]时，2x＋∈[－，]，sin (2x＋)∈[－，1]， 所以函数f(x)＝2sin (2x＋)＋2的取值范围是[1，4]. 15．(15分)如图为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的部分图象． (1)求函数f(x)的解析式；(4分) (2)求函数f(x)的单调递增区间；(5分) (3)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．(6分) 解：(1)由题中的图象知，A＝2，＝－＝， 所以T＝π，ω＝＝2，因为图象过点， 所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝， 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin . (2)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (3)由题意得g(x)＝2sin 在上的图象如图所示， 由函数的图象可知，当m∈[，2)时，方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，故实数m的取值范围是[，2). 学科网（北京）股份有限公司 $