8.2.4 三角恒等变换的应用 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．sin 的值是(　　) A． B. C． D． 解析：选B.sin ＝＝＝ ＝＝.故选B. 2．已知sin α＝，cos α＝，则tan ＝(　　) A．2－ B．2＋ C．－2 D．±(－2) 解析：选C.方法一：因为sin α＝，cos α＝， 所以tan ＝＝－2. 方法二：因为sin α＝>0，cos α＝>0， 所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，所以tan >0， 故tan ＝＝＝－2. 3．设3π<α<4π，cos ＝m，那么cos ＝(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：选B.由cos ＝2cos2－1， 可得cos2＝. 又3π<α<4π，所以<<π. 所以 cos <0.又cos ＝m， 所以cos ＝－.故选B. 4．函数y＝cos cos 的最大值为(　　) A． B．－ C．1 D． 解析：选D.y＝ ＝ ＝－cos 2x， 因为－1≤cos 2x≤1， 所以ymax＝. 5．(2025·全国二卷)已知0＜α＜π，cos ＝，则sin (α－)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为cos ＝， 所以cos α＝2cos2－1＝－， 又0＜α＜π， 所以sinα＝＝＝， 则sin＝(sin α－cos α)＝×＝. 故选D. 6．(多选)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则以下判断正确的是(　　) A．sin 2α＝ B．cos (α－β)＝ C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝ 解析：选AC.因为cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－， 其中α，β为锐角，故α＋β∈(0，π)，2α∈(0，π)， 所以sin 2α＝＝，故A正确； 因为sin(α＋β)＝＝，所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝×(－)＋×＝，故B错误；cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]＝(－＋)＝，故C正确；sin αsin β＝[cos (α－β)－cos (α＋β)]＝＝，所以tan αtan β＝＝，故D错误．故选AC. 7．已知α∈(，π)，sin α＝，则sin ＝________． 解析：因为α∈(，π)，sin α＝， 所以∈(，)，cos α＝－， 所以sin ＝＝＝. 答案： 8．若θ是第二象限角且25sin2θ＋sinθ－24＝0，则cos θ＝________，cos ＝________． 解析：由25sin2θ＋sinθ－24＝0， θ是第二象限角， 得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去). 故cos θ＝－＝－. 由cos2＝，得cos2＝. 又是第一、三象限角， 所以cos＝±. 答案：－　± 9．在△ABC中，若cos B＝，则cos2＋tan2＝________． 解析：cos2＋tan2＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋＝＋＝. 答案： 10．(13分)(1)化简： (0＜α＜π)；(6分) (2)证明：＝.(7分) 解：(1)因为tan ＝＝＝， 所以(1＋cos α)tan ＝sin α. 又因为cos ＝－sin α， 且1－cos α＝2sin2， 所以原式＝＝＝ －， 因为0＜α＜π，所以0＜＜，所以sin ＞0. 所以原式＝－2cos . (2)证明：左边＝＝＝＝＝右边， 故＝成立． 11．已知α是锐角，cos α＝，则cos (＋)＝(　　) A．－ B．＋ C．－ D．－ 解析：选D.因为α是锐角，所以0<<， 因为sin2＝＝＝， cos2＝＝＝， 所以sin ＝，cos ＝， 所以cos (＋)＝cos cos －sin sin ＝×－×＝－.故选D. 12．(多选)已知函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最小正周期为 C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数 解析：选BD.因为f(x)＝(1＋cos2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos4x).又f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数，故选BD. 13．化简求值：＋＝____________． 解析：＋＝＋ ＝ ＝ ＝＝ ＝2cos 30°＝. 答案： 14．(13分)(2025·全国二卷)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝. (1)求φ；(6分) (2)设函数g(x)＝f(x)＋f(x－)，求g(x)的值域和单调区间．(7分) 解：(1)因为f(x)＝cos (2x＋φ)， 且f(0)＝cos φ＝，φ∈[0，π)，所以φ＝. (2)由(1)可知，f(x)＝cos ， 则g(x)＝cos ＋cos ＝cos ＋cos 2x ＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x ＝cos 2x－ sin 2x ＝ ＝ cos . 因为x∈R，所以cos ∈[－1，1]， 所以函数g(x)的值域为[－，]. 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z； 令2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ－]，k∈Z. 15.(15分)(2025·抚顺期末)如图，现有一块半径为10 m的半圆形草坪，圆心记为O，AD是圆O的一条直径，现计划在草坪内修建一条步道A－B－C－D，B和C在上(不与A，D重合)，且AB＝CD，设∠DOC＝θ. (1)用θ表示BC；(7分) (2)求步道长的最大值．(8分) 解：(1)取BC的中点M，连接OM，OB，依题意，△COB为等腰三角形， 因为AB＝CD， 所以＝，∠DOC＝∠AOB， 因为∠DOC＝θ， 所以∠COB＝π－2θ， 所以∠COM＝－θ， 所以CM＝BM＝10sin ＝10cos θ， 即BC＝20cos θ， 且0＜θ≤. (2)取CD的中点N，连接ON， 则ON⊥CD，则∠DON＝∠CON＝， 故CN＝DN＝10sin ， 所以AB＝CD＝20sin ，故AB＋CD＋BC＝20sin ＋20sin ＋20cos θ＝40sin ＋20＝－40sin2＋40sin＋20＝－40＋30， 因为0＜θ≤，所以0＜≤， 0＜sin ≤， 故当sin ＝，即θ＝时， －40＋30取得最大值，最大值为30， 故步道长的最大值为30 m． 学科网（北京）股份有限公司 $